安徽省安庆市桐城市第二中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份安徽省安庆市桐城市第二中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．计算：（ ）
A．1B．C．2D．
2．抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的新抛物线解析式为( )
A．B．C．D．
3．若双曲线的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．两个相似三角形的相似比是，则其面积之比是（ ）
A．B．C．D．
5．已知C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列结论错误的是（ ）
A．AC2=BC·ABB．BC2=AC·ABC．D．
6．如图，，是以为直径的半圆周的三等分点，，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
7．在中，点D，E分别在边，上，则在下列条件中，不能使得以A，D，E为顶点的三角形与相似的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知y关于x的函数表达式是y=ax2﹣2x﹣a，下列结论不正确的是（ ）
A．若a=1，函数的最小值是﹣2
B．若a=﹣1，当x≤﹣1时，y随x的增大而增大
C．不论a为何值时，函数图象与x轴都有两个交点
D．不论a为何值时，函数图象一定经过点（1，﹣2）和（﹣1，2）
9．已知对于任意正整数n，都有a1+a2+a3+…+an＝n3，则＝（ ）
A．B．C．D．
10．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋（b－1）x＋c的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．已知，且，则的值为 ．
12．抛物线与坐标轴的交点个数为 个．
13．如图，以等腰的顶点为圆心的与相切于点，并与、交于、两点，连接．若，且的长为，则的长为 ．
14．如图，矩形中，，点E在上，且，点F在边上运动，以线段为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形，连接，当最小时，的值为 ．
三、解答题
15．计算：
16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的两点，与轴交于点，与轴交于点，点的坐标是，连接．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)根据图象直接写出当时，的取值范围．
17．如图,在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是, , .
（1）以点为位似中心,将缩小为原来的得到,请在轴右侧画出;
（2） 的正弦值为 .
18．观察点阵图中点与等式之间的关系，寻找规律．
①；
②；
③；
④；
…
按照你发现的规律解答下列问题：
（1）第⑥个等式是______；
（2）用含（为正整数）的等式表示第n个等式，并证明其正确性．
19．某社团在课余时间用无人机为学校航拍宣传片，如图所示的为无人机某次空中飞行轨迹，为延长线上一点，点，，，在同一平面内，，．若米，求的长．（结果保留整数，参考数据：，，，）
20．如图，是的直径，C是圆上一点，，垂足为E，交于点D，点P在延长线上，连接、，且．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求点B到的距离．
21．如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，设运动时间为秒，连接．
(1)若，求的值；
(2)若以为顶点的三角形与相似，求的值．
22．如图，抛物线经过点、.是线段上一动点（点不与、重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，交线段于点.过点作，垂足为点.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）试求线段的长关于点的横坐标的函数解析式，并求出的最大值.
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，点P是AC边上的一个动点，延长DP到点E，使∠CAE＝∠CDE，作∠DCG＝∠ACE，其中G点在DE上．
（1）如图1，若∠B＝45°，则＝ ；
（2）如图2，若∠DCG＝30°，，求：＝ ；
（3）如图3，若∠ABC＝60°，延长CG至点M，使得MG＝GC，连接AM，BM．在点P运动的过程中，探究：当的值为多少时，线段AM与DM的长度之和取得最小值？
参考答案：
1．A
【分析】将代入即可求出结论．
【详解】解：
故选A．
【点睛】此题考查的是含特殊角的锐角三角函数值的运算，掌握30°的正弦值是解决此题的关键．
2．C
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向右平移3个单位长度所得的抛物线的解析式为：；
再向下平移两个单位长度所得抛物线的解析式为：，即．
故选：C
【点睛】本题考查的是二次函数的图象的平移，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
3．A
【分析】反比例函数的图象是双曲线，当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．
【详解】解：∵双曲线的图象的一支位于第三象限，
∴1﹣k＞0，
∴；
故选：A．
【点睛】此题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数y（k≠0），当k＞0时，图象在第一、三象限，且在每一个象限y随x的增大而减小；当k＜0时，函数图象在第二、四象限，且在每一个象限y随x的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．
4．D
【分析】直接利用相似三角形的性质分析得出答案．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是，
∴其面积之比是，
故选：D
【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题关键．
5．B
【分析】根据黄金分割的定义得出，从而判断各选项．
【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，
∴，即AC2=BC•AB，故A、C选项正确，不符合题意；
∴，故选项D正确，不符合题意；
由得不到，所以，选项B错误，符合题意，
故选：B．
【点睛】本题主要考查黄金分割：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．，掌握黄金分割的定义和性质是解题的关键．
6．D
【分析】连接OC、OD，根据C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，可得∠COD=60°，△OCD是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积求解即可．
【详解】如图，连接OC、OD．
∵C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
又∵OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠OCD=∠AOC=60°，OC=CD=6，
∴CD∥AB，
∴S△ACD=S△OCD，
∴S阴影=S扇形OCD==6π．
故选D．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，难度一般．
7．C
【分析】根据题意画出图形，再由相似三角形的判定定理进行解答即可．
【详解】解：如图，
A、∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，故A不符合题意；
B、∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，故B不符合题意；
C、，不能使△ADE和△ABC相似，故C符合题意；
D、∵，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，属于基础题，关键是掌握相似三角形的几种判定定理．
8．C
【分析】根据二次函数的性质逐个分析即可.
【详解】A.是正确的，当时，函数为
函数的最小值是;
B.是正确的，当当时，函数为
当时，随的增大而增大
C.是不正确的， 时，x轴只有一个交点
D.是正确的，当时，
函数一定通过
当时，
函数不一定通过
故选C
【点睛】本题考核知识点：二次函数. 解题关键点：熟记二次函数基本性质.
9．C
【分析】由题意知，，，把两式相减，得出的表达式，再根据进行解答即可．
【详解】解：，，两式相减，
得：，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查的是分式加法运算，属规律性题目，能根据题意得出是解答此题的关键．
10．A
【分析】由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b-1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b-1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b-1）x+c的对称轴x=-＞0，即可进行判断．
【详解】点P在抛物线上，设点P（x，ax2+bx+c），又因点P在直线y=x上，
∴x=ax2+bx+c，
∴ax2+（b-1）x+c=0；
由图象可知一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点，
∴方程ax2+（b-1）x+c=0有两个正实数根．
∴函数y=ax2+（b-1）x+c与x轴有两个交点，
又∵-＞0，a＞0
∴-=-+＞0
∴函数y=ax2+（b-1）x+c的对称轴x=-＞0，
∴A符合条件，
故选A．
11．12
【分析】直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b-2c=6，得出答案．
【详解】解：∵，
∴设a=6x，b=5x，c=4x，
∵a+b-2c=6，
∴6x+5x-8x=6，
解得：x=2，
故a=12．
故答案为12．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．
12．1
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点以及一元二次方程的解法，其中令抛物线解析式中，求出的值即为抛物线与轴交点的纵坐标；令，求出对应的的值，即为抛物线与轴交点的横坐标．
【详解】当时，，则与轴的交点坐标为，
当时，，
，
所以，该方程无解，即抛物线与轴没有交点．
综上所述，抛物线与坐标轴的交点个数是1个．
故答案为：1．
13．
【分析】由等腰三角形的性质求得∠AOC=120º，由圆的切线定理得OE⊥AB，可证得∠COE=BOE=60º，进而证得OF⊥CD，CF=DF，再由弧长公式求得OC=OD=2，然后由CF=OC·sin60º即可解得CD的长．
【详解】设OE与CD交于点F，
∵△AOB是等腰三角形，∠A=30º，
∴∠AOB=120º，
∵与相切于点，
∴OE⊥AB，
∴∠COE=BOE=60º，
∵OC=OD，
∴OF⊥CD，CF=DF，
∵的长为，
∴，即OC=2，
∴CF=OC·sin60º=，
∴CD=2CF=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、切线定理、弧长公式、特殊角的三角函数、解直角三角形，熟练掌握这些知识的运用是解答的关键．
14．
【分析】如图1，取的中点O，连接，作射线，证明B，E，G，F在以O为圆心的圆上，得点G在的平分线上，当时，最小，此时，画出图2，根据是以为斜边的等腰直角三角形，证明，可得，设，根据，可得，根据含30度角的直角三角形可得，进而可得结论．
【详解】解：如图1，取的中点O，连接，作射线，
∵四边形是矩形，
，
∵O是的中点，
，
，O是的中点，
，
，
∴B，E，G，F在以O为圆心的圆上，
，
，
，
，
平分，
∴点G在的平分线上，
∴当时，最小，
此时，如图2，
平分，
∴，
，
是以为斜边的等腰直角三角形，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
∵四边形是矩形，
，
设，
∵，
∴，
在中，，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题属于几何综合题，是中考选择题的压轴题，考查了矩形的性质，四点共圆，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是准确作辅助线综合运用以上知识．
15．
【分析】根据，，，然后根据实数的混合运算，即可．
【详解】
．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，实数的混合运算，解题的关键是掌握，，，实数的混合运算法则．
16．(1)
(2)当时，的取值范围是或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及解直角三角形。
（1）过点A作轴于点，设反比例函数解析式为．通过解直角三角形求出线段的长度，即求出点的坐标，再由点的坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）求出点B的坐标，观察图象可得x的取值范围.
【详解】（1）解：过点A作轴于点，
设反比例函数的解析式为
，
在中，，
，
点在反比例函数上
；
（2）点B在函数上，
，
由函数图象知：当时，
的取值范围是：或．
17．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接、，分别取、、的中点即可画出△，
（2）利用正弦函数的定义可知．由，即可解决问题．
【详解】解：（1）连接OA、OC，分别取OA、OB、OC的中点 、、，顺次连接 、、，△即为所求，如图所示，
（2），，，

，
．
，
．
【点睛】本题考查位似变换、平移变换等知识，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握位似变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．注意：记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
18．（1）；（2），证明见解析
【分析】（1）接着第4个等式，写出第5个和第6个等式即可；
（2）根据前四个等式与n的关系，写出第n个等式，利用完全平方公式展开证明等式成立即可．
【详解】解：（1）接着第4个等式，得：
第5个等式为：，
第6个等式为：，
故答案为：；
（2）,
证明：左边，右边，
∴左边右边，等式成立．
【点睛】本题考查探究数字型变化规律、完全平方公式，认真观察，仔细思考，善用联想并借用公式证明是解决这类题的方法．
19．的长约为157米．
【分析】根据题意，过点作，交的延长线于点，先通过求出AF，然后再根据进行求解即可．
【详解】如下图，过点作，交的延长线于点
在中，米，
∴米
在中，
∴米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握解直角三角形的方法以及构造直角三角形并通过锐角三角函数表示各边之间的关系是解决本题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，则，，根据垂径定理得出，则，最后根据，得出，即可求证；
（2）过点B作于点H，通过证明，得出，易得，设，则，根据勾股定理可得：，列出方程求解，最后根据，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线是的切线；
（2）解：过点B作于点H，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
根据勾股定理可得：，
即，
解得：（舍去），
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，熟练掌握相关定理是解题的关键．
21．(1)
(2)若以为顶点的三角形与相似，的值为或.
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理．
（1）利用勾股定理求得的长，由题意得，，根据，列式计算即可求解；
（2）分两种情况讨论，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】（1）解：在中，，，，
∴，
由题意知：，，
∴，，
∵，
∴，
解得；
（2）解：若以为顶点的三角形与相似，分两种情况，
①若，
则，即，
解得；
②若，
则，即，
解得，
若以为顶点的三角形与相似，的值为或．
22．（1）；（2）=，当时，取最大值，.
【分析】（1）把代入解析式即可求出抛物线的解析式；（2）利用得，求得，再求出直线BC的解析式为，得点坐标为，坐标为
∴= ，即可表示出DF的函数为- ，即可求出最值.
【详解】（1）∵抛物线过点．
∴可得，解得
∴抛物线的解析式为
（2）∵
∴，∴
∴，∴
∴
∵，∴
∴
∵直线经过点
∴，∴点坐标为
∵点坐标为
∴
=
∴
=
=
∴当时，取最大值，
【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知三角函数的性质.
23．（1）；（2）；（3）当时，线段AM与DM的长度之和取得最小值．
【分析】（1）如图1，根据△ABC是等腰直角三角形，得BC=AC，由点D是BC边上的中点，可知2CD=AC，得AC与CD的比，证明△DCG∽△ACE，列比例式可得结论；
（2）如图2，连接AD，同理得△DCG∽△ACE，可得 ，设AB=AC=5k，BD=CD=4k，则AD=3k，由此即可解决问题；
（3）如图3中，由题意，当A，M，D共线时，AM+DM的值最小．想办法证明∠GDM=∠GDC=45°，设CH=a，则PC=2a，PH=DH=a，推出AC=2CD=2（a+a），由此即可解决问题．
【详解】解：（1）如图1，
∵AB＝AC．∠B＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵BC＝AC，
又∵点D是BC边上的中点，
∴BC＝2CD，
∴2CD＝AC，
∴＝＝，
∵∠CAE＝∠CDE，∠DCG＝∠ACE，
∴△DCG∽△ACE，
∴＝；
故答案为：；
（2）如图2．连接AD，
∵∠CAE＝∠CDE．∠ECA＝∠GCD，
∴△DCG∽△ACE，
∴＝，
又∵AB＝AC，点D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，AD⊥BC，
设AB＝AC＝5k．BD＝DC＝4k，
由勾股定理可得AD＝3k，
∵∠ECA＝∠GCD，
∴∠ACD＝∠ECG
∵
∴
∴△ADC∽△EGC，
∴∠ADC＝∠EGC＝90°
可得EG⊥GC，
又∵D，G，E三点共线，
∴∠DGC＝90°，
又∵∠DCG＝30°，
可得DG＝2k，GC＝2k，
∴S△DGC＝×2k×k＝2k2，
S△ABC＝×8k×3k＝12k2，
∴＝＝；
故答案为：；
（3）如图3，当A，M．D三点共线时，AM+DM的值最小，
连接EM，取AC的中点O，连接OE，OD．作PH⊥CD于点H，
∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
又∵BC＝AC．∠ACB＝60°，
∴∠DAC＝∠HPC＝30°，
∵BD＝CD，AC＝BC，
∴AC＝2CD，
∵∠CAE＝∠CDE，∠ECA＝∠GCD，
∴△DCG∽△ACE，
∴，
∴EC＝2CG，
又∵CG＝MG，
∴MC＝CE，
又∵∠ACD＝60°，
∴∠MCE＝60°，
∴△MCE是等边三角形，
又∵O是中点，
∴DC＝CO，∠ECO＝∠MCD，MC＝CE，
∴△MDC≌△EOC（SAS），
∴OE＝DM，
又∵∠CDE＝∠CAE，
∴A，D，C，E四点共圆，
∴∠ADC+∠AEC＝180°，
∴∠AEC＝90°，
∴AO＝OC，
∴EO＝OC＝CD＝MD，
又∵CG＝GM，CD＝DM，
∴∠GDM＝∠GDC＝45°，∠PDH＝∠DPH＝45°，
∴PH＝DH，
设CH＝a，则PC＝2a，PH＝DH＝，
∴AC＝2CD＝2（a+），
∴．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．