初中数学苏科版八年级下册第9章 中心对称图形——平行四边形9.3 平行四边形巩固练习

这是一份初中数学苏科版八年级下册第9章 中心对称图形——平行四边形9.3 平行四边形巩固练习，共62页。试卷主要包含了8秒或8秒或9等内容，欢迎下载使用。

班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题
1．（2022春·江苏常州·八年级统考期中）如图，▱的对角线，相交于点，过点且与，分别相交于点，，求证：．
2．（2022春·江苏连云港·八年级校考期中）如图，E、F是平行四边形对角线上的两点，且．求证：四边形是平行四边形．
3．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）已知：如图，，．求证：．
4．（2022春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在四边形中，AD//BC，点、在上，AE//CF，且．求证：四边形是平行四边形．
5．（2022春·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：四边形EGFH是平行四边形．
6．（2022春·江苏淮安·八年级校联考期中）已知点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，求证：四边形EBFD为平行四边形．
7．（2022春·江苏盐城·八年级景山中学校考期末）在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的长．
8．(2023春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AO+BO＝4，则AC+BD的长是___．
9．（2022春·江苏淮安·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线A、C上的两点，且AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．
10．(2023春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）已知：如图，在四边形中，分别是和的角平分线，交于点E，F连接．
(1)求证：互相平分；
(2)若，求四边形的周长和面积．
11．（2022春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，
(1)若点E、F是、的中点，连接、，求证：；
(2)若平分且交边于点F，如果，，试求线段的长．
12．(2023春·江苏苏州·八年级校联考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，直线，与CD、CB的延长线分别交于点E、F，交AB、AD于G、H．
(1)求证：四边形FBDH为平行四边形；
(2)求证：．
13．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB，交BC、AD于点E和点F．试说明：
(1)△ABE是等腰三角形；
(2)四边形AECF是平行四边形．
14．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）已知，如图在中，对角线AC和BD相交于点O，点E，F分别在OD，BO上，且OE＝OF，连接AE，CF．
(1)如图1，求证：AE＝CF；
(2)如图2，延长AE交CD于点G，延长CF交AB于点H．求证：AH＝CG．
15．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，用无刻度的直尺按下列要求作图．
(1)在图1中，作边AD上的中点F；
(2)在图2中，作边AB上的中点G．
16．（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，，，．
(1)求证：．
(2)连结，请判断四边形的形状，并证明你的结论．
17．(2023春·江苏常州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝5，将△ABC绕点C旋转，使得点D落在AB边上，点A落在点E处，连接AE．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）求△AFE的面积．
18．（2022春·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，在中，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）连接BD交EF于点O，当BE⊥EF且BE＝8，BF＝10时，求BD的长．
19．(2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，在□ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=AB．
（1）作∠BCD的角平分线CF，交AD于F点，交BE于G点；（尺规作图，保留痕迹，不写画法）
（2）在（1）的条件下，
①求∠BGC的度数；
②设AB=a，BC=b，则线段EF= （用含a,b的式子表示）；
③若AB=10，CF=12，求BE的长．
20．（2022春·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若＝m（0＜m＜1），AC＝4，连接OE；
①若m＝，求平行四边ABCD的面积；
②设＝k，试求k与m满足的关系．
21．（2022春·江苏无锡·八年级统考期中）如图，在四边形中，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）当时，若四边形是平行四边形，求出满足要求的t的值；
（2）当时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值；
（3）当时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值．
22．(2023春·江苏南通·八年级海安市曲塘中学校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，DE垂直于对角线AC，垂足是E，连接BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若△ABE是等边三角形，四边形BCDE的面积等于2，求CE的长．
23．(2023春·江苏连云港·八年级统考期末）定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形．
（1）在三等角四边形中，，则的取值范围为________．
（2）如图①，折叠平行四边形，使得顶点、分别落在边、上的点、处，折痕为、．求证：四边形为三等角四边形；
（3）如图②，三等角四边形中，，若，，，则 的长度为多少？
24．（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．
(1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
(2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积．
(3)如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
25．（2022春·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）问题：如图，在平行四边形ABCD中，AB＝7，AD＝4，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
(1)答案：EF＝_________．
(2)探究：把“问题”中的条件“AB＝7”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长．
(3)把“问题”中的条件“AB＝7，AD＝4”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
26．（2022春·江苏泰州·八年级泰州市第二中学附属初中校考期中）如图，在中，点E是边上的动点，已知，，现将沿折叠，点是点B的对应点，
(1)如图1，当点恰好落在边上时，求：的值．
(2)如图2，若，点落在上时，求（保留根号）．
(3)如图2，若，，当的值与的度数无关时，求m的值并求出此时的度数．
27．（2022·江苏·八年级假期作业）已知ABCD中，，．
(1)如图1，对角线AC、BD交于点O，若，求BD的长；
(2)点E是直线CD上的一个动点，直线BE交直线AC于点H，过点A作交直线CD于点F，垂足为点M，连接FH．
①如图2，当点E是边CD上一点（点E不与点C、D重合）时，判断线段BH、AF、FH的数量关系，并证明．
② 当点E在边DC的延长线上时，若，判断线段BH、AF、FH之间的数量关系，在图3中画出图形并直接写出结论，不需证明．
28．（2022春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）如图①，在平行四边形 ABCD 中，AB＝5cm，BC＝2cm，∠BCD＝120°，CE 平分∠BCD 交 AB 于点 E，点 P 从 A 点出发，沿 AB 方向以 1cm/s 的速度运动，连接 CP，将绕点 C 逆时针旋转 60°，使 CE 与 CB 重合，得到，连接 PQ．
(1)求证：是等边三角形；
(2)如图②，当点 P 在线段 EB 上运动时，的周长是否存在最小值？若存在求出周长的最小值；若不存在，请说明理由；
(3)如图③，当点 P 在射线 AM 上运动时，是否存在以点 P、B、Q 为顶点的直角三角形？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．
29．(2023春·江苏淮安·八年级校考期中）问题探究：已知平行四边形的面积为，是所在直线上一点．
如图：当点与重合时，________；
如图，当点与与均不重合时，________；
如图，当点在（或）的延长线时，________．
拓展推广：如图，平行四边形的面积为，、分别为、延长线上两点，连接、、、，求出图中阴影部分的面积，并说明理由．
实践应用：如图是一平行四边形绿地，、分别平行于、，它们相交于点，，，，，现进行绿地改造，在绿地内部作一个三角形区域（连接、、，图中阴影部分）种植不同的花草，求出三角形区域的面积．
30．（2023春·江苏盐城·八年级开学考试）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”．
性质：“朋友三角形”的面积相等．
如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线，
那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”．并且SACD=SBCD
应用：如图2，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90° ，AD∥BC, AB=AD=4，BC=6，点E在BC上，点F在AD上，BE=AF，AE与BF交于点O
（1）求证：△AOB和△AOF是“朋友三角形”;
（2）连接OD，若△AOF和△DOF是“朋友三角形”，求四边形CDOE 的面积 ．
图1 图2 图3
拓展：如图3， 在△ABC中，∠A＝30° ，AB=8 ，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“朋友三角形” ，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A'CD，若△A'CD与△ABC 重合部分的面积等于△ABC面积的 ，则△ABC的面积是 (请直接写出答案)．
专题9.11平行四边形的性质与判定大题提升训练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题
1．（2022春·江苏常州·八年级统考期中）如图，▱的对角线，相交于点，过点且与，分别相交于点，，求证：．
【答案】见解析
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得OA＝OC，，继而可证得△AOE≌△COF（ASA），则可证得结论．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，，
≌（ASA），
．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
2．（2022春·江苏连云港·八年级校考期中）如图，E、F是平行四边形对角线上的两点，且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】连接AC，交BD于点O，由“平行四边形ABCD的对角线互相平分”得到OA=OC，OB=OD；然后结合已知条件证得OE=OF，则“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，即可得出结论．
【详解】证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF，
∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，熟记对角线互相平分的四边形是平行四边形是解决问题的关键．
3．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）已知：如图，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质得到，利用角的转化证明，证明四边形为平行四边形，即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
即：，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质．根据平行线的性质和判定证明四边形为平行四边形是解题的关键．
4．（2022春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在四边形中，AD//BC，点、在上，AE//CF，且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】先根据AD//BC、AE//CF得出等角，再证明，得到，从而证明四边形是平行四边形．
【详解】∵AD//BC
（两直线平行，内错角相等）
又∵AE//CF
（两直线平行，内错角相等）
在与中，
四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
【点睛】本题考查平行四边形的判定，解决本题的关键是熟知平行四边形的判定定理．
5．（2022春·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：四边形EGFH是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质得到AB//CD，AB= CD，根据平行线的性质得到∠GAE=∠HCF，得△AGE≌△CHF（SAS），根据全等三角形的性质得到GE= HF，∠AEG =∠CFH，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB＝CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH，
在△AGE和△CHF中，
，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE//HF，
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形判定与的性质是解题的关键．
6．（2022春·江苏淮安·八年级校联考期中）已知点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，求证：四边形EBFD为平行四边形．
【答案】见解析
【分析】由平行四边形的性质得AD=BC，AD∥BC，再由中点的定义得DE=AD，BF=BC，则DE=BF，DE∥BF，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，
∴DE＝AD，BF＝BC，
∴DE＝BF，DE∥BF，
∴四边形EBFD为平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
7．（2022春·江苏盐城·八年级景山中学校考期末）在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】（1）根据两组对边分别平行证明该四边形为平行四边形．
（2）利用等面积法求出CD长．
【详解】（1）
证明：∵AD//BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠BAD+∠D＝180°，
∴AB//CD，
又∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴平行四边形的面积＝BC×AE＝CD×AF，
∵AF＝2AE，
∴BC＝2CD＝6，
∴CD＝3．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和等面积法的使用，掌握这两点是解题关键．
8．(2023春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AO+BO＝4，则AC+BD的长是___．
【答案】8
【分析】由平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，即可求出AC+BD＝2（OA+OB）．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴AC+BD＝2（OA+OB）＝8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的对角线性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的对角线性质——平行四边形对角线互相平分．
9．（2022春·江苏淮安·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线A、C上的两点，且AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】连接DB，交AC于点O，由平行四边形的性质得出AO=CO，DO=BO，证出EO=FO，即可得出结论．
【详解】证明：连接DB，交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，DO=BO，
又∵AE=CF，
∴EO=FO，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
10．(2023春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）已知：如图，在四边形中，分别是和的角平分线，交于点E，F连接．
(1)求证：互相平分；
(2)若，求四边形的周长和面积．
【答案】(1)见解析
(2)四边形的周长为12，四边形的面积为
【分析】（1）证明互相平分，只要证是平行四边形，利用两组对边分别平行来证明．
（2）首先证明出是等边三角形，然后根据平行四边形的周长公式求解，过D点作于点G，根据勾股定理求出，然后利用平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形
∴，
∵分别是和的角平分线
∴
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∴即
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴互相平分；
（2）∵，
∴是等边三角形
∵，
∴，
∵，
∴
∴四边形的周长；
过D点作于点G，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
11．（2022春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，
(1)若点E、F是、的中点，连接、，求证：；
(2)若平分且交边于点F，如果，，试求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形可得，AD=BC，再由点E、F是、的中点，可得DE=BF，即可求证；
（2）根据和平分可得∠CFD=∠CDF，从而得到CF=CD=5，即可求解．
（1）
证明∶∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AD=BC，
∵点E、F是、的中点，
∴，
∴DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF；
（2）
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴， CD=AB=5，
∴∠ADF=∠CFD，
∵平分，
∴∠ADF=∠CDF，
∴∠CFD=∠CDF，
∴CF=CD=5，
∴BF=BC-CF=8-5=3．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟记平行四边形的性质，证出CF=CD是解决问题（2）的关键．
12．(2023春·江苏苏州·八年级校联考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，直线，与CD、CB的延长线分别交于点E、F，交AB、AD于G、H．
(1)求证：四边形FBDH为平行四边形；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据四边形ABCD为平行四边形，可得，根据已知条件可得，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得证；
（2）同（1）的方法证明四边形BDEG为平行四边形，得出由四边形FBDH为平行四边形，可得，进而可得，根据，即可得证．
（1）
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形FBDH为平行四边形，
（2）
∵四边形FBDH为平行四边形，
∴，
∵，，
∴四边形BDEG为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边的性质与判定是解题的关键．
13．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB，交BC、AD于点E和点F．试说明：
(1)△ABE是等腰三角形；
(2)四边形AECF是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得，得；根据平分，得，等量代换得，根据等角对等边，即可证明是等腰三角形．
（2）根据题（1）得，，同理可证是等腰三角形，得，根据四边形是平行四边形，得，，，得，，；根据平行四边形的判定定理，即可证明四边形是平行四边形．
（1）
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∵平分
∴
∴
∴
∴是等腰三角形．
（2）
由（1）得，
同理可得是等腰三角形
∴
∵四边形是平行四边形
∴，，
∴，
∴
∴
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查等腰三角形和平行四边形的综合应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和判定定理和平行四边形的性质和判定定理．
14．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）已知，如图在中，对角线AC和BD相交于点O，点E，F分别在OD，BO上，且OE＝OF，连接AE，CF．
(1)如图1，求证：AE＝CF；
(2)如图2，延长AE交CD于点G，延长CF交AB于点H．求证：AH＝CG．
【答案】(1)证明见解析．
(2)证明见解析．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得OA=OC，又因为 ，OE=OF，进而可证明，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）由（1）得，根据全等三角形的性质可得，进而可得 ；根据平行四边形的性质可得 ，进而可证四边形AHCG是平行四边形，从而得出AH=CG．
（1）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC
又 ，OE=OF
∴(SAS)
∴AE=CF．
（2）
证明：由（1）得，
∴
∴
四边形ABCD是平行四边形
∴
即
∴四边形AHCG是平行四边形
∴AH=CG．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，平行四边形的性质与判定，熟练掌握性质与判定定理是解决本题的关键．
15．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，用无刻度的直尺按下列要求作图．
(1)在图1中，作边AD上的中点F；
(2)在图2中，作边AB上的中点G．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质即可在图1中，作边AD上的中点F；
（2）根据平行四边形的性质在图2中，作两次平行四边形即可作边AB上的中点G．
（1）
解：在图1中，点F即为边AD上的中点；
（2）
在图2中，点G即为边AB上的中点．
【点睛】本题考查了作图一复杂作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质，解决本题的关键是准确画图．
16．（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，，，．
(1)求证：．
(2)连结，请判断四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)四边形是平行四边形，证明见解析
【分析】（1）由推出，进而根据AAS证明即可；
（2）由全等三角形的性质得到，，推出BCEF，即可证得四边形是平行四边形．
（1）
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）
结论：四边形是平行四边形
如图，
，
∵，
∴，，
∴BCEF，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，熟记各判定定理及性质定理是解题的关键．
17．(2023春·江苏常州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝5，将△ABC绕点C旋转，使得点D落在AB边上，点A落在点E处，连接AE．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）求△AFE的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）证明AB∥CE，AB＝CE即可；
（2）如图，过点C作CT⊥AB于T，CK⊥DE于K，过点A作AJ⊥EF于J．证明＝，求出CT，△ACE的面积，即可解决问题．
【详解】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵将△ABC绕点C旋转，使得点D落在AB边上，
∴AC＝CE＝AB，∠ACB＝∠DCE，CB＝CD，
∴∠B＝∠CDB，
∴∠CDB＝∠DCE，
∴AB∥CE，
∴四边形ABCE是平行四边形．
（2）如图，过点C作CT⊥AB于T，CK⊥DE于K，过点A作AJ⊥EF于J．
∵CB＝CD＝5，CT⊥BD，
∴BT＝DT，
设BT＝x，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵
∴，
∴＝＝，
∴AF＝AC，
∴S△AEF＝S△AEC＝××7×＝．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的证明以及勾股定理的应用，熟练掌握平行四边形的证明方法以及勾股定理的应用是解题的关键．
18．（2022春·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，在中，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）连接BD交EF于点O，当BE⊥EF且BE＝8，BF＝10时，求BD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）先由得对角线互相平分且相等OA＝OC，OB＝OD，再由条件中AE=CF得到要证明的四边形BEDF的对角线互相平分且相等，即可证明BEDF为平行四边形．
（2）在Rt△BEF中已知BE＝8，BF＝10，利用勾股定理可求得EF的长，进而即可得到EO的长，再在Rt△BEO中，利用勾股定理求得BO的长，即可得到BD长．
【详解】解：（1）证明：连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，∵OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）∵BE⊥AC，
∴∠BEF＝90°，
在Rt△BEF中，EF＝＝6，
∴OE＝OF＝3，
在Rt△BEO中，OB＝，
∴BD＝2OB＝．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及判定、应用勾股定理解三角形，重点在于根据已知找到各线段间关系．
19．(2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，在□ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=AB．
（1）作∠BCD的角平分线CF，交AD于F点，交BE于G点；（尺规作图，保留痕迹，不写画法）
（2）在（1）的条件下，
①求∠BGC的度数；
②设AB=a，BC=b，则线段EF= （用含a,b的式子表示）；
③若AB=10，CF=12，求BE的长．
【答案】（1）见解析；（2）①90°；②；③
【分析】（1）以点D为圆心，DC为半径作圆交AD于点F，连接CF交BE于点G即为所作；
（2）①根据角平分线的定义和平行线的性质，就可求出；
②根据角平分线的定义和平行线的性质可得出DC=DF，再因为AB=AE即可求出；
③根据平行线+角平分线可推出等腰三角形，进而可证得四边形AHCF是平行四边形，因为∠BGC=90°可得∠AMB=90°，所以点M是BE的中点也是AH的中点，再根据勾股定理可求出BM的值，即可求出答案．
【详解】（1）如下图所示：
此图即为所作．
（2）①∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=∠BCD，
∴∠CBE+∠BCF=90°，
∴∠BGC=180°-90°=90°
②∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=∠DCF
∵AD∥BC，
∴∠BCF=∠DFC，
∴∠DFC=∠DCF，
∴DF=DC，
∵AB=a，BC=b，
∴EF=，
③作∠BAD的平分线交BC于点H，交BE于点M，如下图所示：
∵AH平分∠BAD，
∴∠BAH=∠DAH,
∵AD∥BC，
∴∠BAH=∠AHB，
∴AB=BH，△ABH是等腰三角形，
∵DC=DF,
∴BH=DF
∴HC=BC-BH=AD-DF=AF，
∵AD∥BC，
∴四边形AHCF是平行四边形，
∴AH∥CF，
∴∠BMH=∠BGC=90°，
∴点M是AH的中点，
∵AB=AE，
∴△ABE是等腰三角形，
∴点M是BE的中点，
∵AB=10，CF=12，
∴AH=CF=10，
∴AM=6，
在△AMB中，由勾股定理得：
,
∴BE=16．
【点睛】本题考查了尺规作图，平行四边形的性质和判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的运用等，综合性较强，平行线＋角平分线可推出等腰三角形是本题的重要结论，扎实基础的性质和作图方法是解决本题的关键．
20．（2022春·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若＝m（0＜m＜1），AC＝4，连接OE；
①若m＝，求平行四边ABCD的面积；
②设＝k，试求k与m满足的关系．
【答案】（1）见解析；（2）①16；②m+k＝2．
【分析】（1）根据▱ABCD中，∠ADC=60°，可得△ABE是等边三角形，进而可以证明结论；
（2）①根据 ，可得AB=BC，证明∠BAC=90°，再利用含30度角的直角三角形可得AB的长，进而可得平行四边ABCD的面积； ②根据四边形ABCD是平行四边形，可得S△AOD=S△BOC，S△BOC=S△BCD，由△ABE是等边三角形，可得BE=AB=mBC，由△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，设BC边上的高为h，BC的长为b，分别表示出四边形OECD和三角形AOD的面积，进而可得k与m满足的关系．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE；
（2）解：①∵，
∴AB＝BC，
∴AE＝BE＝BC，
∴AE＝CE，
∵∠ABC＝60°，，
∴∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝90°，
当AC＝时，AB＝4，
∴平行四边ABCD的面积＝2S△ABC＝2×AB•AC＝4×＝16；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BCD，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝mBC，
∵△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，
设BC边上的高为h，BC的长为b，
∴S△BCD＝×bh，S△OBE＝××mb＝，
∴S四边形OECD＝S△BCD﹣S△OBE＝﹣＝（﹣）bh，
∵S△AOD＝＝，
∴，
∴2﹣m＝k，
∴m+k＝2．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是要熟练掌握平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质.
21．（2022春·江苏无锡·八年级统考期中）如图，在四边形中，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）当时，若四边形是平行四边形，求出满足要求的t的值；
（2）当时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值；
（3）当时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值．
【答案】（1）t=5；（2）t=9；（3）t=15
【分析】（1）由平行四边形的性质得出DQ=CP，当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，由题意得出方程，解方程即可；
（2）当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，由梯形面积公式得出方程，解方程即可；
（3）当10.5≤t＜16时，点P到达C点返回，由梯形面积公式得出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形，
∴DQ=CP，
当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，如图1所示：
∵DQ=AD-AQ=16-t，
CP=21-2t
∴16-t=21-2t
解得：t=5；
即当t=5秒时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，如图1所示：
CP=21-2t，DQ=16-t，
若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，
则（DQ+CP）×AB=60，
即（16-t+21-2t）×12=60，
解得：t=9；
即当0＜t＜10.5时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，t的值为9秒；
（3）当10.5≤t＜16时，如图2所示，点P到达C点返回，CP=2t-21，DQ=16-t，
则同（2）得：（DQ+CP）×AB=60，
即（16-t+2t-21）×12=60，
解得：t=15．
即当10.5≤t＜16时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，t的值为15秒．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定与性质、梯形的面积等知识，熟练掌握直角梯形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
22．(2023春·江苏南通·八年级海安市曲塘中学校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，DE垂直于对角线AC，垂足是E，连接BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若△ABE是等边三角形，四边形BCDE的面积等于2，求CE的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）利用两组对角相等的四边形是平行四边形进行证明；
（2）设CD的长为a，则CE＝a，，DE＝a，S△CED＝a2，由面积关系可得a2+a2＝2，可求a的值，即可求CE的长．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠DAB+∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠DAB＝∠BCD，且∠ABC＝∠ADC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝CD，∠BAC＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝60°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90，
在Rt△CDE中，设CD的长为a，
则CE＝a，DE＝a，S△CED＝a2．
因为△CED与△CEB是同底等高的三角形，
∴S△CED＝S△CEB，
又∵S四边形BCDE＝S△CED+S△CEB＝2，
∴a2+a2＝2，
∴a＝2，
∴CE＝a＝.
【点睛】此题考查平行四边形的判定及性质，勾股定理，同底等高三角形面积的关系，题中证明S△CED＝S△CEB是解题的关键，由此将不规则四边形的面积转化为三角形的面积，且是直角三角形，降低了解题的难度.
23．(2023春·江苏连云港·八年级统考期末）定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形．
（1）在三等角四边形中，，则的取值范围为________．
（2）如图①，折叠平行四边形，使得顶点、分别落在边、上的点、处，折痕为、．求证：四边形为三等角四边形；
（3）如图②，三等角四边形中，，若，，，则 的长度为多少？
【答案】（1）；（2）见解析；（3）的长度为.
【分析】（1）根据四边形的内角和是360°，确定出∠BAD的范围；
（2）由四边形DEBF为平行四边形，得到∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°，再根据等角的补角相等，判断出∠DAB=∠DCB=∠ABC即可；
（3）延长BA，过D点作DG⊥BA，继续延长BA，使得AG=EG，连接DE；延长BC，过D点作DH⊥BC，继续延长BC，使得CH=HF，连接DF，由SAS证明△DEG≌△DAG，得出AD=DE=，∠DAG=∠DEA，由SAS证明△DFH≌△DCH，得出CD=DF=6，∠DCH=∠DFH，证出DE∥BF，BE∥DF，得出四边形DEBF是平行四边形，得出DF=BE=6，DE=BF=，由等腰三角形的性质得出EG=AG=（BE-AB）=1，在Rt△DGA中，由勾股定理求出DG==4，由平行四边形DEBF的面积求出，在Rt△DCH中，由勾股定理求出，即可得出BC的长度．
【详解】（1）∵
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为
（2）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴
∵，
∴
∵，，
∴
∴四边形是三等角四边形；
（3）延长，过点作，继续延长，使得，连接；延长，过点作，继续延长，使得，连接，如图所示：
在和中，
∴ ，
∴，
同理可得，
∴，
∵
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴
在中,
∵平行四边形的面积，
即：
∴
在中，
∴
故答案为的长度为.
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了三等角四边形的判定与性质，翻折变换-折叠问题，四边形的内角和定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和运用勾股定理是解决问题的关键．
24．（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．
(1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
(2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积．
(3)如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
【答案】(1)60°
(2)
(3)当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【分析】（1）易证∠DPC=∠DCP，得DP=CD，又CD=CP，则△PDC是等边三角形，即可得出结果；
（2）如图②中，由四边形ABCD是平行四边形，推出ABCD，BCAD，，推出，推出，可得由此即可解决问题；
（3）若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD=BQ，设运动时间为t秒，分①当0＜t≤3时；②当3＜t≤6时；③当6＜t≤9时；④当9＜t≤12时，四种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠DPC＝∠PCB
∵CP平分∠BCD，
∴∠PCD＝∠PCB，
∴∠DPC＝∠DCP，
∴DP＝DC．
∵CD＝CP，
∴PC＝CD＝PD，
∴△PDC是等边三角形
∴∠D＝∠B＝60° ；
（2）解：如图②中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，BCAD，，
∴，
∴
∴
∴，
∵△PCD为等边三角形，
∴PD=CD=8cm，PD边上的高为=，
∴；
（3）解：解：四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，
∴PDBC
若要使四边形PDQB是平行四边形，则PD＝BQ，
设运动时间为t秒，
①当0＜t≤3时，PD＝12-t，BQ＝12-4t，
∴12-t＝12-4t，解得t＝0，不合题意，舍去；
②当3＜t≤6时，PD＝12-t，BQ＝4（t-3）=4t-12，
∴12-t＝4t-12，解得t＝4.8；
③当6＜t≤9时，PD＝12-t，BQ＝12-4（t-6）=36-4t，
∴12-t＝36-4t，解得t＝8；
④当9＜t≤12时，PD＝12-t，BQ＝4（t-9）=4t-36，
∴12-t＝4t-36，解得t＝9.6；
综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
25．（2022春·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）问题：如图，在平行四边形ABCD中，AB＝7，AD＝4，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
(1)答案：EF＝_________．
(2)探究：把“问题”中的条件“AB＝7”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长．
(3)把“问题”中的条件“AB＝7，AD＝4”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
【答案】(1)1
(2)①8；②4
(3)2或或
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义可得DE=AD=4，CF=BC=4，可求解；
（2）①证∠DEA=∠DAE，得DE=AD=4，同理BC=CF=4，即可求解；
②由题意得DE=AD=4，再由CF=BC=4，即可求解；
（3）分三种情况，由（l）的结果结合点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，分别求解即可．
（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=7，BC=AD=4，AB∥CD，∴∠DEA=∠BAE，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠BAE，∴∠DEA=∠DAE，∴.DE=AD=4，同理可得CF=BC=4，∴EF=DE+FC-CD=1，故答案为：1；
（2）①如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，BC=AD=4，AB∥CD，∴∠DEA=∠BAE，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠BAE，∴∠DEA=∠DAE，∴DE=AD=4，同理：BC=CF=4，∵点E与点F重合，∴AB=CD=DE+CF=8；②如图2所示：∵点E与点C重合，∴DE=AD=4，∵CF=BC=4，∴点F与点D重合，∴EF=DC=4；
（3）分三种情况①如图3所示：同（1）得：AD=DE，∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，∴AD=DE=EF=CF，∴；②如图4所示：同（1）得：AD=DE=CF，∵DF=FE=CE，∴；③如图5所示：同（1）得：AD=DE=CF，∵DF=DC=CE，∴；综上所述，的值为2或或．
【点睛】本题四边形综合题，考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
26．（2022春·江苏泰州·八年级泰州市第二中学附属初中校考期中）如图，在中，点E是边上的动点，已知，，现将沿折叠，点是点B的对应点，
(1)如图1，当点恰好落在边上时，求：的值．
(2)如图2，若，点落在上时，求（保留根号）．
(3)如图2，若，，当的值与的度数无关时，求m的值并求出此时的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)；
【分析】（1）证明AB=BE，得到BE=AE=4，从而得到EC=BC-BE=6-4=2即可．
（2）过点A作AM⊥DE，垂足为M，根据折叠的性质，运用勾股定理求得M=2，DM=，继而得到．
（3）设∠CDA=x，则∠AED=180°-m(180°-x)-(1-2m)x=180°-180°m+(3m-1)x，根据的值与的度数无关，确定3m-1=0，代入计算即可．
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠AEB，根据折叠的性质，得∠DAC=∠BAE，AB=，∴∠BAE =∠AEB，∴AB=BE，∴BE=AE=4，∴EC=BC-BE=6-4=2．
（2）如图，过点A作AM⊥DE，垂足为M，根据折叠的性质，得，，∴，∴M=2，AM=，∴DM=，∴．
（3）设∠CDA=x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=180°-∠CDA=180°-x，∵，，∴，，∴∠AED=180°-∠EAD-∠EDA=180°-m(180°-x)-(1-2m)x=180°-180°m+(3m-1)x，∵的值与的度数无关，∴3m-1=0，∴，∴∠AED=180°-180°×=120°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，代数式的值无关型计算，熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理，取值无关的意义是解题的关键．
27．（2022·江苏·八年级假期作业）已知ABCD中，，．
(1)如图1，对角线AC、BD交于点O，若，求BD的长；
(2)点E是直线CD上的一个动点，直线BE交直线AC于点H，过点A作交直线CD于点F，垂足为点M，连接FH．
①如图2，当点E是边CD上一点（点E不与点C、D重合）时，判断线段BH、AF、FH的数量关系，并证明．
② 当点E在边DC的延长线上时，若，判断线段BH、AF、FH之间的数量关系，在图3中画出图形并直接写出结论，不需证明．
【答案】(1)BD＝
(2)①BH＝AF＋FH，证明见解析；②画图见解析；当时，有AF＝BH＋FH；当45∘<∠BEC<90∘时，有FH＝BH＋AF；当时，点F不存在
【分析】（1）先由ABCD性质求出OC=2，在Rt△BCO中，由勾股定理求解即可；
（2）①延长AF和BC交于点G，先证 △BCH≌△ACG(ASA)，得BH＝AG，HC＝CG，再证△FCH≌△FCG(SAS)，得HF＝FG，即可得出结论BH＝AG＝AF＋FG＝AF＋FH ；
②分三种情况：当时，有AF＝BH＋FH，画出图形；当时，有FH＝BH＋AF，画出图形；当时，点F不存在；
(1)
解：∵ABCD，
∴0C＝， ，
∵AC⊥BC，AC＝BC，BC＝4，
∴OC＝，
在Rt△BCO中，
，
∴BD＝；
(2)
①BH＝AF＋FH，
证明：延长AF和BC交于点G，
∵AC⊥BC，AF⊥BE，
∴∠HBC＋∠BHC＝∠AHM＋∠HAF＝，
∵∠BHC＝∠AHM，
∴∠HBC＝∠HAF，
在△BCH和△ACG中，
，
∴△BCH≌△ACG(ASA)，
∴BH＝AG，HC＝CG，
在△FCH和△FCG中，
，
∴△FCH≌△FCG(SAS)，
∴HF＝FG，
∴BH＝AG＝AF＋FG＝AF＋FH ，
②当时，有AF＝BH＋FH，如图，
理由：延长FH、BC相交于G，连接AG，设AF交BC于N，
∵，
∴∠HBC+∠BHC=90°，
∵，
∴∠HAM+∠BHC=90°，
∴∠HBC=∠HAM，即∠HBC=∠CAN，
在△BCH和△ACN中，
，
∴△BCH≌△ACN(ASA)，
∴CH＝CN，∠BHC=∠ANC，
∵，，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∵ABCD，
∴DCAB，
∴∠FCB=∠ABC=45°，∠FCH=∠BAC=45°，
∴∠FCB=∠FCH，
在△FCN和△FCH中，
在△FCN和△FCH中，
，
∴△FCN≌△FCH(SAS)，
∴∠CFN=∠CFH，
∵∠GHC=∠CFG+∠FCH，∠ANC=∠FCN+∠CFN，
∵∠BHC=∠ANC，
∴∠GHC=∠BHC，
在△BCH和△GCH中，
，
∴△BCH≌△GCH(ASA)，
∴GH=BH，BH=CH，∠HBC=∠HGC，
∴CH=AC，∠FAH=∠HGC，
∴∠CAG=∠CGA，
∴∠FAH+∠CAG=∠FGC+∠CHA，即∠FAG=FGA，
∴AF=GF=FH+HG，
∴AF= BH+FH；
当时，有FH＝BH＋AF，如图，
理由：延长AM、CB相交于G，
∵，
∴∠G+∠GAC=90°，
∵，
∴∠BHC+∠GAC=90°，
∴∠G=∠BHC，
在△ACG和△BCH中，
，
∴△ACG≌△BCH(ASA)，
∴AG=BH，CG=CH，
∵，AC=BC，
∴∠BAC=45°，
∵ABCD，
∴DCAB，
∴∠ACF=∠BAC=45°，
∴∠GCF=∠ACB+∠ACF=90°+45°=135°
∵∠BCH=90°，
∴∠HCF=360°-∠GCF-∠BCH=360°-135°-90°=135°，
∴∠GCF=∠HCF，
在△FCG和△FCH中，
，
∴△FCG≌△FCH(SAS)，
∴FG=FH，
∴FH=AF+AG=AF+BH
当时，则CD⊥BE，因AF⊥BE，所以AFCD，即AF与CD无交点，如图，所以点F不存在．
综上，当时，有AF＝BH＋FH；当时，有FH＝BH＋AF；当∠BCE=90° 时，点F不存在．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，属三角形综合性探究题目，注意分类讨论，以免漏解．
28．（2022春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）如图①，在平行四边形 ABCD 中，AB＝5cm，BC＝2cm，∠BCD＝120°，CE 平分∠BCD 交 AB 于点 E，点 P 从 A 点出发，沿 AB 方向以 1cm/s 的速度运动，连接 CP，将绕点 C 逆时针旋转 60°，使 CE 与 CB 重合，得到，连接 PQ．
(1)求证：是等边三角形；
(2)如图②，当点 P 在线段 EB 上运动时，的周长是否存在最小值？若存在求出周长的最小值；若不存在，请说明理由；
(3)如图③，当点 P 在射线 AM 上运动时，是否存在以点 P、B、Q 为顶点的直角三角形？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，最小值为cm
(3)为1s或7s时，以点、、 为顶点的直角三角形
【分析】（1）根据旋转的性质得到，由该全等三角形的性质、平行四边形的性质和角平分线的性质推知即可；
（2）易推知为等边三角形，则cm，由旋转的性质得到：，所以当时，周长最小；
（3）需要分类讨论：①当点与点重合时，，，不能构成三角形；
②当时，，，所以可能为直角；
③当时，由，所以不存在；
④当时，由旋转得：，，从而，所以，故cm，即可求解．
（1）
证明：将绕点逆时针旋转，使与重合，得到，
，
，，
，平分，
，
，即，
为等边三角形；
（2）
解：存在，理由如下：
平分，
，
在平行四边形 中，
，
，
为等边三角形，
cm，
将绕点逆时针旋转，
，
，
，
时，周长最小，
当时，，
周长最小为cm；
（3）
解：①当点与点重合时，，，不能构成三角形；
②当时，由旋转可知，，
，
则：，
又，
，
，，
所以可能为直角；
由（1）知，为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
s，
③当时，由，所以不存在；
④当时，由旋转得：，由（1）得，
，
而，
，
，从而，
，
cm，
s，
综上所述：为1s或7s时，以点、、为顶点的直角三角形．
【点睛】本题是平行四边形综合题．需要掌握旋转的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形周长的计算、直角三角形的判定等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
29．(2023春·江苏淮安·八年级校考期中）问题探究：已知平行四边形的面积为，是所在直线上一点．
如图：当点与重合时，________；
如图，当点与与均不重合时，________；
如图，当点在（或）的延长线时，________．
拓展推广：如图，平行四边形的面积为，、分别为、延长线上两点，连接、、、，求出图中阴影部分的面积，并说明理由．
实践应用：如图是一平行四边形绿地，、分别平行于、，它们相交于点，，，，，现进行绿地改造，在绿地内部作一个三角形区域（连接、、，图中阴影部分）种植不同的花草，求出三角形区域的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）；拓展推广：阴影部分的面积；实践应用：三角形区域的面积．
【分析】(1)平行四边形的面积等于底乘以高，设平行四边形ABCD的高为h， △DCM边CD的高也为h，由题S平行四边形ABCD=CD×h，S△DCM=CD×h=S平行四边形ABCD=50；
(2)由（1）同理可得S△DCM =50；
(3)由（1）同理可得S△DCM =50；
拓展推广：由（1）的结论可得S△ADF=a， S△ABE=a，由此即可得阴影部分的面积；
应用，由推广的结论，有，，，由此即可求出三角形区域的面积.
【详解】 设平行四边形ABCD的边CD上的高为h，则△DCM边CD的高也为h，
∵S平行四边形ABCD=CD×h，则平行四边形的面积，
；
与同理可得；
与同理可得；
拓展推广：
根据的结论，，
，
∴阴影部分的面积；
实践应用：
根据前面信息，，
，
，
∴三角形区域的面积．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等底同高的三角形的面积等知识，弄懂题意，结合图形、熟练运用相关知识是解题的关键.
30．（2023春·江苏盐城·八年级开学考试）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”．
性质：“朋友三角形”的面积相等．
如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线，
那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”．并且SACD=SBCD
应用：如图2，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90° ，AD∥BC, AB=AD=4，BC=6，点E在BC上，点F在AD上，BE=AF，AE与BF交于点O
（1）求证：△AOB和△AOF是“朋友三角形”;
（2）连接OD，若△AOF和△DOF是“朋友三角形”，求四边形CDOE 的面积 ．
图1 图2 图3
拓展：如图3， 在△ABC中，∠A＝30° ，AB=8 ，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“朋友三角形” ，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A'CD，若△A'CD与△ABC 重合部分的面积等于△ABC面积的 ，则△ABC的面积是 (请直接写出答案)．
【答案】（1）△AOB和△AOF是“朋友三角形”（2）12（3） 8
【详解】试题分析：应用：（1）由AAS证明△AOF≌△EOB，得出OF=OB，AO是△ABF的中线，即可得出结论；
（2）△AOE和△DOE是“朋友三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE和梯形ABCD的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解．
拓展：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面积．即可求出△ABC的面积
试题解析：（1）∵AD∥BC，
∴∠OAF=∠OEB，
在△AOF和△EOB中，
，
∴△AOF≌△EOB（AAS），
∴OF=OB，
则AO是△ABF的中线．
∴△AOB和△AOF是“朋友三角形”；
（2）∵△AOF和△DOF是“朋友三角形”，
∴S△AOF=S△DOF，
∵△AOF≌△EOB，
∴S△AOB=S△EOB，
∵△AOB和△AOF是“朋友三角形”
∴S△AOB=S△AOF，
∴S△AOF=S△DOF=S△AOB=S△EOB=×4×2=4，
∴四边形CDOE 的面积=S梯形ABCD-2S△ABE=×（4+6）×4-2×4=12；
拓展：分为两种情况：①如图1所示：
∵S△ACD=S△BCD．
∴AD=BD=AB=4，
∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD=A′D=AB=×8=4，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，
∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，
∴DO=OB，A′O=CO，
∴四边形A′DCB是平行四边形，
∴BC=A′D=4，
过B作BM⊥AC于M，
∵AB=8，∠BAC=30°，
∴BM=AB=4=BC，
即C和M重合，
∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC= ，
∴△ABC的面积=×BC×AC=×4×4=8
②如图2所示：
∵S△ACD=S△BCD．
∴AD=BD=AB，
∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD=A′D=AB=×8=4，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，
∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，
∴DO=OA′，BO=CO，
∴四边形A′BDC是平行四边形，
∴A′C=BD=4，
过C作CQ⊥A′D于Q，
∵A′C=4，∠DA′C=∠BAC=30°，
∴CQ=A′C=2，
∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××4×2=8；
即△ABC的面积是8或8．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了平行四边形性质和判定，三角形的面积，勾股定理的应用，解这个题的关键是能根据已知题意和所学的定理进行推理．题目比较好，但是有一定的难度．