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苏科版八年级下册9.3 平行四边形优秀巩固练习
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这是一份苏科版八年级下册9.3 平行四边形优秀巩固练习，文件包含专题01平行四边形教师版docx、专题01平行四边形学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
考试时间：100分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.40
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合
题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）
1．（2分）（2023春•吴江区校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．平行四边形的对角互补
C．有两组对角相等的四边形是平行四边形
D．平行四边形的对角线平分每一组对角
解：A．∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形或平行四边形，
∴A错误，不符合题意；
B．∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴B错误，不符合题意；
C．∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴C正确，符合题意；
D．∵菱形对角线平分每一组对角，平行四边形的对角线不平分每一组对角，
∴D错误，不符合题意；
故选：C．
2．（2分）（2023春•工业园区校级月考）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．OA＝OC，OB＝ODB．AB＝CD，AO＝CO
C．AB＝CD，AD＝BCD．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AB＝CD，AO＝CO不能判断四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意；
C、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
3．（2分）（2022春•张家港市校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，连接AE，CE，AF，CF．下列条件中，不能得出四边形AECF一定是平行四边形的为（ ）
A．BE＝DFB．AE＝CFC．AF∥CED．∠BAE＝∠DCF
解：A、连接AC，交BD于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AE＝CF不能判定四边形AECF一定是平行四边形，故选项B符合题意；
C、∵AF∥CE，
∴∠AFB＝∠CED，
∴∠AFD＝∠CEB，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
4．（2分）（2023春•东海县期末）如图1，直线l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论：
①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形；
②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确B．①错误，②正确
C．①②都错误D．①正确，②错误
解：根据作图过程可知：AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，
∵l1∥l2，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝CB，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD对角线互相垂直．
∴①错误，②正确．
故选B．
5．（2分）（2023春•锡山区期中）如图，在面积是12的平行四边形ABCD中，对角线AC绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AD、BC于点E、F，若BF＝2CF，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．6B．4C．3D．2
解：连接BD，
∵点O是AC的中点，
∴点O在BD上，且点O是BD的中点，
∴△COB的面积＝四边形ABCD的面积＝3，
∵BF＝2CF，
∴△FOC的面积＝×△COB的面积＝1，
由旋转性质同理可得，△EOA的面积＝1，
∴图中阴影部分的面积＝1+1＝2，
故选：D．
6．（2分）（2023春•高港区月考）如图，▱ABCD中，点E在BC上运动，连接AE、DE，以AE、DE为邻边作▱AEDF，当E从B向C运动时，▱AEDF的面积将（ ）
A．逐渐增大B．逐渐减小
C．先增大再减小D．不变
解：设BC＝a，▱ABCD的高为h，BE＝x，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴S△AED＝S▱ABCD﹣S△ABE﹣S△CDE
＝
＝，
∴S▱AEDF＝ah，
∵▱ABCD的边长和高都是不变的，
∴▱AEDF的面积不变，
故选：D．
7．（2分）（2023春•东台市月考）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；成立的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴AB＝EB，
∵∠ABE＝∠ADC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE＝AE，
∵AB＝BC，
∴BE＝BC，
∴BE＝CE＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝2∠ECA＝60°，
∴∠ECA＝30°，
∴∠CAD＝∠ECA＝30°，
故①正确；
∵∠EAC＝∠ECA＝30°，∠BAE＝60°，
∴∠BAC＝∠EAC+∠BAE＝30°+60°＝90°，
∴AC⊥AB，
∴S▱ABCD＝AB•AC，
故②正确；
AB⊥OA，
∴OB＞AB，
∴OB≠AB，
故③错误，
故选：C．
8．（2分）（2023春•工业园区校级月考）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S▱ABCD＝AC•CD；④S四边形OECD＝S△AOD，其中成立的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD，
∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE，
∵AB＝BC，
∴EC＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠CAD＝30°，故①正确；
∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝90°，
∴BO＞AB，
∴OD＞AB，故②错误；
∴S▱ABCD＝AB•AC＝AC•CD，故③正确；
∵∠BAC＝90°，BC＝2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD＝1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD＝3：4，
∴S四边形OECD：S▱ABCD＝3：8，
∵S△AOD：S▱ABCD＝1：4，
∴S四边形OECD＝S△AOD，故④正确．
故选：C．
9．（2分）（2023春•沭阳县月考）如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①CE＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④∠BHD＝∠BDG；⑤BH2+BG2＝AG2．其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
解：∵∠DBC＝45°，DE⊥BC，
∴△DEB是等腰直角三角形，
∴BE＝DE，
∵BF⊥CD，
∴∠FHD+∠FDH＝90°，
∵∠C+∠FDH＝90°，
∴∠C＝∠FHD，
∵∠C＝∠A，∠FHD＝∠BHE，
∴∠A＝∠BHE，故②正确；
在△BEH和△DEC中，
，
∴△BEH≌△DEC（AAS），
∴EH＝EC，
∵H不是DE的中点，
∴BE＝DE≠2EC，故①错误；
∵AB＝CD，BH＝CD，
∴AB＝BH，故③正确；
∵∠BHD＝90°+∠HBE，∠BDG＝90°+∠BDE，
∵∠BDE＞∠HBE，
∴∠BDG＞∠BHD，故④错误；
∵BF⊥CD，AB∥CD，
∴BF⊥AB，
∴∠ABG＝90°，
∴AB2+BG2＝AG2，
∵AB＝BH，
∴BH2+BG2＝AG2，故⑤正确．
∴其中正确的结论有②③⑤，共3个．
故选：C．
10．（2分）（2021春•沭阳县期中）如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，下列结论：①CF平分∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＜2S△CEF．其中一定成立的是（ ）
A．①③B．①②C．②③D．①②③
解：①∵F是AD的中点，
∴AF＝FD，
在▱ABCD中，AD＝2AB，
∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴CF平分∠BCD，故①正确；
②如图，延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴CF＝EF，故②正确；
③∵EF＝FM，
∴S△EFC＝S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故③正确；
∴其中一定成立的是①②③．
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）
11．（2分）（2023春•秦淮区期中）如图，A、B两点的坐标分别为（4，0）、（6，3），C是平面直角坐标系内一点．若四边形OABC是平行四边形，则点C的坐标为 （2，3） ．
解：∵点A（4，0），
∴OA＝4，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC＝AO＝4，AO∥BC，
∵点B（6，3），
∴点C（2，3），
故答案为：（2，3）．
12．（2分）（2023春•盱眙县期末）如图，在▱ABCD中，∠BCD的平分线交AD于点E，AB＝3，AE＝1，则BC＝ 4 ．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝3，AD＝BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠ECD，
∴∠DEC＝∠ECD，
∴DE＝CD＝3，
∴BC＝AD＝AE+DE＝1+3＝4；
故答案为：4．
13．（2分）（2023春•高港区月考）▱ABCD，AB＝4，∠A＝60°，E为AD上一动点，连接EB、EC，以EB、EC为邻边作▱EBHC，EH的最小值为 ．
解：∵四边形EBHC是平行四边形，
∴EH＝2EO，
∴当EO⊥BC时，EO有最小值，即EH有最小值，
过点B作BF⊥BC交AD于点F，
∴BF∥EO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BF⊥AD，EF∥BO，
∴四边形BFEO是平行四边形，
∵EO⊥BC，即∠EOB＝90°，
∴四边形BFEO是矩形，
∴BF＝EO，
在Rt△ABF中，AB＝4，∠A＝60°，
∴∠ABF＝30°，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．（2分）（2023春•大丰区期中）如图所示，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点M，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则▱ABCD的面积为 24 ．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴四边形ABCD是中心对称图形，
∴△CON≌△AOM，
∴S△AOD＝4+2＝6，
又∵OB＝OD，
∴S△AOB＝S△AOD＝6；
∴▱ABCD的面积＝4×6＝24．
故答案为：24．
15．（2分）（2023春•沭阳县月考）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是E、F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，则平行四边形ABCD的周长为 20 ．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，AF⊥AB，AE⊥AD，
∴∠BAF＝∠DAE＝90°，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠DAF＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝2BE，AD＝2DF
∵BE＝2，DF＝3，
∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝6，
∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（4+6）＝20，
故答案为：20．
16．（2分）（2023春•海安市期中）如图，在平行四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，BD＝2，且两个顶点B、D分别在x轴，y轴上滑动，连接OC，则OC的最小值是 ﹣1 ．
解：如图所示：过点C作CE⊥BD于点E，
∵△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD＝2，∠BAD＝60°，
平行四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，∠BAD＝∠BCD＝60°，
∴CD＝BC＝BD＝2，
∴△CBD是等边三角形，∠CBD＝60°，
∵CE⊥BD，△CBD是等边三角形，
∴E为BD中点，
∵∠DOB＝90°，E为BD中点，
∴，
∵，
∴，
当点C，O，E在一条直线上，此时OC最短，
故OC的最小值为：．
故答案为：
17．（2分）（2022春•南京期末）如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t＝ 秒或8秒 时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴PD∥BQ．
若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．
当5＜t≤时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm，
∴10﹣t＝30﹣4t，
解得：t＝；
当＜t≤10时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm，
∴10﹣t＝4t﹣30，
解得：t＝8．
综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．
故答案为：秒或8秒．
18．（2分）（2022春•鼓楼区期末）如图，在▱ABCD中，点D是定点，点A、C是直线l1和l2上两动点，l1∥l2，且点D到直线l1和l2的距离分别是1和4，则对角线BD长度的最小值是 5 ．
解：如图，过点D作DM⊥l1于点M，延长DM交l2于点H，过点B作BN⊥l2于点N，连接MN，设CD与l1交于点E，AB与l2交于点F，
∵DM⊥l1，l1∥l2，
∴DM⊥l2，∠AED＝∠DCF，
∵点D是定点，且点D到直线l1和l2的距离分别是1和4，
∴DM＝1，DH＝4，
∴MH＝DH﹣DM＝4﹣1＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC，∠ADC＝∠CBA，
∴∠BFC＝∠DCF，
∴∠AED＝∠BFC，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴BN＝DM＝1，
根据垂线段最短、两点之间线段最短可得，
当MN⊥l1时，BD的长度取最小值，最小值为DM+BN+MH的长，
∴对角线BD长度的最小值是1+3+1＝5，
故答案为：5．
19．（2分）（2021春•东台市月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发 4或5 秒后其中一个新四边形为平行四边形．
解：根据题意有AP＝t cm，CQ＝2t cm，PD＝（12﹣t）cm，BQ＝（15﹣2t）cm．
①∵AD∥BC，
∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t＝15﹣2t，
解得t＝5．
∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；
②AP＝t cm，CQ＝2t cm，
∵AD＝12cm，BC＝15cm，
∴PD＝AD﹣AP＝（12﹣t）cm，
∵AD∥BC，
∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即：12﹣t＝2t，
解得t＝4s，
∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
综上所述，当P，Q同时出发4或5秒后其中一个新四边形为平行四边形．
故答案为：4或5．
20．（2分）（2022春•铜山区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，对角线AC、BD相交于点E，E为BD中点，且AD＝BD，AB＝2，∠BAC＝30°，则DC＝ ．
解：如图，在EA上取一点K，使得EK＝CE，连接DK，BK，延长DK交AB于点H．
∵DE＝EB，CE＝EK，
∴四边形BCDK是平行四边形，
∴CD＝BK，DK∥BC，
∵BC⊥AB，
∴DH⊥AB，
∵DA＝DB，
∴AH＝HB＝1，
∴KA＝KB＝CD，
在Rt△AKH中，AK＝AH÷cs30°＝，
∴CD＝，
故答案为．
三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（6分）（2022春•镇江月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的度数．
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝CB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：设∠ABE＝x，则∠DBF＝2x，
由（1）得：四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，
∵EF⊥BD，
∴BE＝DE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，
∵∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB＝180°，
∴100°+x+2x+2x＝180°，
解得：x＝16°，
即∠ABE＝16°．
22．（6分）（2023秋•海门区期末）如图，▱ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，求AC、OA以及▱ABCD的面积．
解：∵▱ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，
∴BC＝8，则AC＝＝6，
∴AO＝CO＝3，
∴▱ABCD的面积为：AC×BC＝6×8＝48．
23．（8分）（2023春•姜堰区月考）在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD＝．CE＝2时，求BE的长；
②求证：CD＝CH．
（1）证明：在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，
∴AD∥BC，BO＝DO，
∴∠ADB＝∠CBD，
在△BOE与△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴DF＝BE，
∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）①解：如图，过点D作DN⊥EC于点N，
∵DE＝DC＝，DN⊥EC，CE＝2，
∴EN＝CN＝1，
∴DN＝＝3，
∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，
∴∠DBC＝∠BDN＝45°，
∴DN＝BN＝3，
∴BE＝BN﹣EN＝3﹣1＝2，
②证明：∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，
∴∠EDN＝∠ECG，
∵DE＝DC，DN⊥EC，
∴∠EDN＝∠CDN，
∴∠ECG＝∠CDN，
∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，
∴∠CDB＝∠DHC，
∴CD＝CH．
24．（8分）（2023•邗江区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
（1）证明：在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（ASA），
∴OD＝OE，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵AB＝BC，AO＝CO，
∴OB⊥AC，
∴平行四边形AECD是菱形，
∵AC＝8，
∴CO＝AC＝4，
在Rt△COD中，由勾股定理得：OD＝＝＝3，
∴DE＝2OD＝6，
∴菱形AECD的面积＝AC×DE＝×8×6＝24．
25．（8分）（2023春•鼓楼区校级月考）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1＝∠2，求证：
（1）BE＝DF；
（2）AF∥CE．
证明：
（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵∠1＝∠2，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和CDF中
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF；
（2）由（1）可知△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∵∠1＝∠2，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF∥CE．
26．（8分）（2015春•淮安校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示：
AP＝ t ；DP＝ 12﹣t ；BQ＝ 15﹣2t ；CQ＝ 2t ．
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
解：（1）t，12﹣t，15﹣2t，2t
（2）根据题意有AP＝t cm，CQ＝2t cm，PD＝（12﹣t）cm，BQ＝（15﹣2t）cm．
∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t＝15﹣2t，解得t＝5．
∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；
（3）由AP＝t cm，CQ＝2t cm，
∵AD＝12cm，BC＝15cm，
∴PD＝AD﹣AP＝（12﹣t）cm，
如图1，∵AD∥BC，即PD∥CQ，
∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即：12﹣t＝2t，
解得t＝4s，
∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
27．（8分）（2023春•沭阳县月考）如图，在平行四边形ABCD内有一点E，且∠CBE＝∠CDE＝90°．
（1）请在下面三个结论中，选出一个正确的结论并证明：
①∠BED＝2∠ABE；②∠BED﹣∠ABE＝90°；③∠BED﹣∠CBD＝90°．
（2）若BD平分∠CDE，求证：BC＝BE．
（1）解：正确的结论为：②∠BED﹣∠ABE＝90°，证明过程如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠C+∠ABC＝180°，
∵∠CBE＝∠CDE＝90°，
∴∠BED+∠C＝180°，
∴∠BED＝∠ABC，
∴∠BED﹣∠ABE＝∠ABC﹣∠ABE＝∠CBE＝90°；
（2）证明：如图，在DC上截取DF＝DE，
∵BD平分∠CDE，
∴∠BDE＝∠BDF，
在△BDE和△BDF中，
，
∴△BDE≌△BDF（SAS），
∴BE＝BF，∠BED＝∠BFD，
由（1）知：∠BED+∠C＝180°，∠BFD+∠BFC＝180°，
∴∠BFC＝∠C，
∴BF＝BC，
∴BC＝BE．
28．（8分）（2021春•邗江区期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠B、∠C的平分线交于P，且分别与AD交于E、F，
（1）求证：△BPC为直角三角形；
（2）若BC＝16，CD＝3，PE＝8，求△PEF的面积．
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠B、∠C的平分线交于P，
∴∠PBC＝∠ABC，∠BCP＝∠BCD，
∴∠PBC+∠BCP＝（∠ABC+∠BCD ）＝90°，
∴∠BPC＝90°，即△BPC为直角三角形；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠CBE＝∠BEA，∠BCF＝∠CFD，
∴∠ABE＝∠BEA，∠DCF＝∠CFD，
∴AB＝AE＝3，CD＝DF＝3，
∴EF＝10，
∴Rt△PEF中，PE＝8，EF＝10，
∴PF＝6，
∴△PEF的面积＝24．
考试时间：100分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.40
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合
题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）
1．（2分）（2023春•吴江区校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．平行四边形的对角互补
C．有两组对角相等的四边形是平行四边形
D．平行四边形的对角线平分每一组对角
解：A．∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形或平行四边形，
∴A错误，不符合题意；
B．∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴B错误，不符合题意；
C．∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴C正确，符合题意；
D．∵菱形对角线平分每一组对角，平行四边形的对角线不平分每一组对角，
∴D错误，不符合题意；
故选：C．
2．（2分）（2023春•工业园区校级月考）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．OA＝OC，OB＝ODB．AB＝CD，AO＝CO
C．AB＝CD，AD＝BCD．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AB＝CD，AO＝CO不能判断四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意；
C、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
3．（2分）（2022春•张家港市校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，连接AE，CE，AF，CF．下列条件中，不能得出四边形AECF一定是平行四边形的为（ ）
A．BE＝DFB．AE＝CFC．AF∥CED．∠BAE＝∠DCF
解：A、连接AC，交BD于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AE＝CF不能判定四边形AECF一定是平行四边形，故选项B符合题意；
C、∵AF∥CE，
∴∠AFB＝∠CED，
∴∠AFD＝∠CEB，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
4．（2分）（2023春•东海县期末）如图1，直线l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论：
①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形；
②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确B．①错误，②正确
C．①②都错误D．①正确，②错误
解：根据作图过程可知：AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，
∵l1∥l2，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝CB，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD对角线互相垂直．
∴①错误，②正确．
故选B．
5．（2分）（2023春•锡山区期中）如图，在面积是12的平行四边形ABCD中，对角线AC绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AD、BC于点E、F，若BF＝2CF，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．6B．4C．3D．2
解：连接BD，
∵点O是AC的中点，
∴点O在BD上，且点O是BD的中点，
∴△COB的面积＝四边形ABCD的面积＝3，
∵BF＝2CF，
∴△FOC的面积＝×△COB的面积＝1，
由旋转性质同理可得，△EOA的面积＝1，
∴图中阴影部分的面积＝1+1＝2，
故选：D．
6．（2分）（2023春•高港区月考）如图，▱ABCD中，点E在BC上运动，连接AE、DE，以AE、DE为邻边作▱AEDF，当E从B向C运动时，▱AEDF的面积将（ ）
A．逐渐增大B．逐渐减小
C．先增大再减小D．不变
解：设BC＝a，▱ABCD的高为h，BE＝x，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴S△AED＝S▱ABCD﹣S△ABE﹣S△CDE
＝
＝，
∴S▱AEDF＝ah，
∵▱ABCD的边长和高都是不变的，
∴▱AEDF的面积不变，
故选：D．
7．（2分）（2023春•东台市月考）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；成立的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴AB＝EB，
∵∠ABE＝∠ADC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE＝AE，
∵AB＝BC，
∴BE＝BC，
∴BE＝CE＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝2∠ECA＝60°，
∴∠ECA＝30°，
∴∠CAD＝∠ECA＝30°，
故①正确；
∵∠EAC＝∠ECA＝30°，∠BAE＝60°，
∴∠BAC＝∠EAC+∠BAE＝30°+60°＝90°，
∴AC⊥AB，
∴S▱ABCD＝AB•AC，
故②正确；
AB⊥OA，
∴OB＞AB，
∴OB≠AB，
故③错误，
故选：C．
8．（2分）（2023春•工业园区校级月考）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S▱ABCD＝AC•CD；④S四边形OECD＝S△AOD，其中成立的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD，
∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE，
∵AB＝BC，
∴EC＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠CAD＝30°，故①正确；
∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝90°，
∴BO＞AB，
∴OD＞AB，故②错误；
∴S▱ABCD＝AB•AC＝AC•CD，故③正确；
∵∠BAC＝90°，BC＝2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD＝1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD＝3：4，
∴S四边形OECD：S▱ABCD＝3：8，
∵S△AOD：S▱ABCD＝1：4，
∴S四边形OECD＝S△AOD，故④正确．
故选：C．
9．（2分）（2023春•沭阳县月考）如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①CE＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④∠BHD＝∠BDG；⑤BH2+BG2＝AG2．其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
解：∵∠DBC＝45°，DE⊥BC，
∴△DEB是等腰直角三角形，
∴BE＝DE，
∵BF⊥CD，
∴∠FHD+∠FDH＝90°，
∵∠C+∠FDH＝90°，
∴∠C＝∠FHD，
∵∠C＝∠A，∠FHD＝∠BHE，
∴∠A＝∠BHE，故②正确；
在△BEH和△DEC中，
，
∴△BEH≌△DEC（AAS），
∴EH＝EC，
∵H不是DE的中点，
∴BE＝DE≠2EC，故①错误；
∵AB＝CD，BH＝CD，
∴AB＝BH，故③正确；
∵∠BHD＝90°+∠HBE，∠BDG＝90°+∠BDE，
∵∠BDE＞∠HBE，
∴∠BDG＞∠BHD，故④错误；
∵BF⊥CD，AB∥CD，
∴BF⊥AB，
∴∠ABG＝90°，
∴AB2+BG2＝AG2，
∵AB＝BH，
∴BH2+BG2＝AG2，故⑤正确．
∴其中正确的结论有②③⑤，共3个．
故选：C．
10．（2分）（2021春•沭阳县期中）如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，下列结论：①CF平分∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＜2S△CEF．其中一定成立的是（ ）
A．①③B．①②C．②③D．①②③
解：①∵F是AD的中点，
∴AF＝FD，
在▱ABCD中，AD＝2AB，
∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴CF平分∠BCD，故①正确；
②如图，延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴CF＝EF，故②正确；
③∵EF＝FM，
∴S△EFC＝S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故③正确；
∴其中一定成立的是①②③．
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）
11．（2分）（2023春•秦淮区期中）如图，A、B两点的坐标分别为（4，0）、（6，3），C是平面直角坐标系内一点．若四边形OABC是平行四边形，则点C的坐标为 （2，3） ．
解：∵点A（4，0），
∴OA＝4，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC＝AO＝4，AO∥BC，
∵点B（6，3），
∴点C（2，3），
故答案为：（2，3）．
12．（2分）（2023春•盱眙县期末）如图，在▱ABCD中，∠BCD的平分线交AD于点E，AB＝3，AE＝1，则BC＝ 4 ．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝3，AD＝BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠ECD，
∴∠DEC＝∠ECD，
∴DE＝CD＝3，
∴BC＝AD＝AE+DE＝1+3＝4；
故答案为：4．
13．（2分）（2023春•高港区月考）▱ABCD，AB＝4，∠A＝60°，E为AD上一动点，连接EB、EC，以EB、EC为邻边作▱EBHC，EH的最小值为 ．
解：∵四边形EBHC是平行四边形，
∴EH＝2EO，
∴当EO⊥BC时，EO有最小值，即EH有最小值，
过点B作BF⊥BC交AD于点F，
∴BF∥EO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BF⊥AD，EF∥BO，
∴四边形BFEO是平行四边形，
∵EO⊥BC，即∠EOB＝90°，
∴四边形BFEO是矩形，
∴BF＝EO，
在Rt△ABF中，AB＝4，∠A＝60°，
∴∠ABF＝30°，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．（2分）（2023春•大丰区期中）如图所示，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点M，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则▱ABCD的面积为 24 ．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴四边形ABCD是中心对称图形，
∴△CON≌△AOM，
∴S△AOD＝4+2＝6，
又∵OB＝OD，
∴S△AOB＝S△AOD＝6；
∴▱ABCD的面积＝4×6＝24．
故答案为：24．
15．（2分）（2023春•沭阳县月考）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是E、F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，则平行四边形ABCD的周长为 20 ．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，AF⊥AB，AE⊥AD，
∴∠BAF＝∠DAE＝90°，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠DAF＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝2BE，AD＝2DF
∵BE＝2，DF＝3，
∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝6，
∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（4+6）＝20，
故答案为：20．
16．（2分）（2023春•海安市期中）如图，在平行四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，BD＝2，且两个顶点B、D分别在x轴，y轴上滑动，连接OC，则OC的最小值是 ﹣1 ．
解：如图所示：过点C作CE⊥BD于点E，
∵△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD＝2，∠BAD＝60°，
平行四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，∠BAD＝∠BCD＝60°，
∴CD＝BC＝BD＝2，
∴△CBD是等边三角形，∠CBD＝60°，
∵CE⊥BD，△CBD是等边三角形，
∴E为BD中点，
∵∠DOB＝90°，E为BD中点，
∴，
∵，
∴，
当点C，O，E在一条直线上，此时OC最短，
故OC的最小值为：．
故答案为：
17．（2分）（2022春•南京期末）如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t＝ 秒或8秒 时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴PD∥BQ．
若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．
当5＜t≤时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm，
∴10﹣t＝30﹣4t，
解得：t＝；
当＜t≤10时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm，
∴10﹣t＝4t﹣30，
解得：t＝8．
综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．
故答案为：秒或8秒．
18．（2分）（2022春•鼓楼区期末）如图，在▱ABCD中，点D是定点，点A、C是直线l1和l2上两动点，l1∥l2，且点D到直线l1和l2的距离分别是1和4，则对角线BD长度的最小值是 5 ．
解：如图，过点D作DM⊥l1于点M，延长DM交l2于点H，过点B作BN⊥l2于点N，连接MN，设CD与l1交于点E，AB与l2交于点F，
∵DM⊥l1，l1∥l2，
∴DM⊥l2，∠AED＝∠DCF，
∵点D是定点，且点D到直线l1和l2的距离分别是1和4，
∴DM＝1，DH＝4，
∴MH＝DH﹣DM＝4﹣1＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC，∠ADC＝∠CBA，
∴∠BFC＝∠DCF，
∴∠AED＝∠BFC，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴BN＝DM＝1，
根据垂线段最短、两点之间线段最短可得，
当MN⊥l1时，BD的长度取最小值，最小值为DM+BN+MH的长，
∴对角线BD长度的最小值是1+3+1＝5，
故答案为：5．
19．（2分）（2021春•东台市月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发 4或5 秒后其中一个新四边形为平行四边形．
解：根据题意有AP＝t cm，CQ＝2t cm，PD＝（12﹣t）cm，BQ＝（15﹣2t）cm．
①∵AD∥BC，
∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t＝15﹣2t，
解得t＝5．
∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；
②AP＝t cm，CQ＝2t cm，
∵AD＝12cm，BC＝15cm，
∴PD＝AD﹣AP＝（12﹣t）cm，
∵AD∥BC，
∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即：12﹣t＝2t，
解得t＝4s，
∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
综上所述，当P，Q同时出发4或5秒后其中一个新四边形为平行四边形．
故答案为：4或5．
20．（2分）（2022春•铜山区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，对角线AC、BD相交于点E，E为BD中点，且AD＝BD，AB＝2，∠BAC＝30°，则DC＝ ．
解：如图，在EA上取一点K，使得EK＝CE，连接DK，BK，延长DK交AB于点H．
∵DE＝EB，CE＝EK，
∴四边形BCDK是平行四边形，
∴CD＝BK，DK∥BC，
∵BC⊥AB，
∴DH⊥AB，
∵DA＝DB，
∴AH＝HB＝1，
∴KA＝KB＝CD，
在Rt△AKH中，AK＝AH÷cs30°＝，
∴CD＝，
故答案为．
三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（6分）（2022春•镇江月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的度数．
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝CB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：设∠ABE＝x，则∠DBF＝2x，
由（1）得：四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，
∵EF⊥BD，
∴BE＝DE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，
∵∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB＝180°，
∴100°+x+2x+2x＝180°，
解得：x＝16°，
即∠ABE＝16°．
22．（6分）（2023秋•海门区期末）如图，▱ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，求AC、OA以及▱ABCD的面积．
解：∵▱ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，
∴BC＝8，则AC＝＝6，
∴AO＝CO＝3，
∴▱ABCD的面积为：AC×BC＝6×8＝48．
23．（8分）（2023春•姜堰区月考）在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD＝．CE＝2时，求BE的长；
②求证：CD＝CH．
（1）证明：在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，
∴AD∥BC，BO＝DO，
∴∠ADB＝∠CBD，
在△BOE与△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴DF＝BE，
∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）①解：如图，过点D作DN⊥EC于点N，
∵DE＝DC＝，DN⊥EC，CE＝2，
∴EN＝CN＝1，
∴DN＝＝3，
∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，
∴∠DBC＝∠BDN＝45°，
∴DN＝BN＝3，
∴BE＝BN﹣EN＝3﹣1＝2，
②证明：∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，
∴∠EDN＝∠ECG，
∵DE＝DC，DN⊥EC，
∴∠EDN＝∠CDN，
∴∠ECG＝∠CDN，
∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，
∴∠CDB＝∠DHC，
∴CD＝CH．
24．（8分）（2023•邗江区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
（1）证明：在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（ASA），
∴OD＝OE，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵AB＝BC，AO＝CO，
∴OB⊥AC，
∴平行四边形AECD是菱形，
∵AC＝8，
∴CO＝AC＝4，
在Rt△COD中，由勾股定理得：OD＝＝＝3，
∴DE＝2OD＝6，
∴菱形AECD的面积＝AC×DE＝×8×6＝24．
25．（8分）（2023春•鼓楼区校级月考）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1＝∠2，求证：
（1）BE＝DF；
（2）AF∥CE．
证明：
（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵∠1＝∠2，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和CDF中
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF；
（2）由（1）可知△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∵∠1＝∠2，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF∥CE．
26．（8分）（2015春•淮安校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示：
AP＝ t ；DP＝ 12﹣t ；BQ＝ 15﹣2t ；CQ＝ 2t ．
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
解：（1）t，12﹣t，15﹣2t，2t
（2）根据题意有AP＝t cm，CQ＝2t cm，PD＝（12﹣t）cm，BQ＝（15﹣2t）cm．
∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t＝15﹣2t，解得t＝5．
∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；
（3）由AP＝t cm，CQ＝2t cm，
∵AD＝12cm，BC＝15cm，
∴PD＝AD﹣AP＝（12﹣t）cm，
如图1，∵AD∥BC，即PD∥CQ，
∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即：12﹣t＝2t，
解得t＝4s，
∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
27．（8分）（2023春•沭阳县月考）如图，在平行四边形ABCD内有一点E，且∠CBE＝∠CDE＝90°．
（1）请在下面三个结论中，选出一个正确的结论并证明：
①∠BED＝2∠ABE；②∠BED﹣∠ABE＝90°；③∠BED﹣∠CBD＝90°．
（2）若BD平分∠CDE，求证：BC＝BE．
（1）解：正确的结论为：②∠BED﹣∠ABE＝90°，证明过程如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠C+∠ABC＝180°，
∵∠CBE＝∠CDE＝90°，
∴∠BED+∠C＝180°，
∴∠BED＝∠ABC，
∴∠BED﹣∠ABE＝∠ABC﹣∠ABE＝∠CBE＝90°；
（2）证明：如图，在DC上截取DF＝DE，
∵BD平分∠CDE，
∴∠BDE＝∠BDF，
在△BDE和△BDF中，
，
∴△BDE≌△BDF（SAS），
∴BE＝BF，∠BED＝∠BFD，
由（1）知：∠BED+∠C＝180°，∠BFD+∠BFC＝180°，
∴∠BFC＝∠C，
∴BF＝BC，
∴BC＝BE．
28．（8分）（2021春•邗江区期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠B、∠C的平分线交于P，且分别与AD交于E、F，
（1）求证：△BPC为直角三角形；
（2）若BC＝16，CD＝3，PE＝8，求△PEF的面积．
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠B、∠C的平分线交于P，
∴∠PBC＝∠ABC，∠BCP＝∠BCD，
∴∠PBC+∠BCP＝（∠ABC+∠BCD ）＝90°，
∴∠BPC＝90°，即△BPC为直角三角形；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠CBE＝∠BEA，∠BCF＝∠CFD，
∴∠ABE＝∠BEA，∠DCF＝∠CFD，
∴AB＝AE＝3，CD＝DF＝3，
∴EF＝10，
∴Rt△PEF中，PE＝8，EF＝10，
∴PF＝6，
∴△PEF的面积＝24．
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