初中数学9.3 平行四边形单元测试当堂达标检测题

这是一份初中数学9.3 平行四边形单元测试当堂达标检测题，共26页。
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春•常州期中）下列是四届冬奥会会徽的部分图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春•泰州月考）如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，F是CB延长线上一点，△ADE≌△ABF，则可把△ABF看作是以点A为旋转中心，把△ADE（ ）
A．顺时针旋转90°后得到的图形
B．顺时针旋转45°后得到的图形
C．逆时针旋转90°后得到的图形
D．逆时针旋转45°后得到的图形
3．（2022秋•北碚区校级期末）下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形两组对边分别平行
B．平行四边形的对角线互相平分
C．平行四边形的对角互补，邻角相等
D．平行四边形的两组对边分别平行且相等
4．（2022春•如皋市期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝110°，则∠D的度数为（ ）
A．70°B．80°C．110°D．120°
5．（2022春•崇川区期中）如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝10m，则A，B之间的距离是（ ）
A．5mB．10mC．20mD．40m
6．（2022春•张家港市校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，连接AE，CE，AF，CF．下列条件中，不能得出四边形AECF一定是平行四边形的为（ ）
A．BE＝DFB．AE＝CFC．AF∥CED．∠BAE＝∠DCF
7．（2022春•邗江区期末）如图，点E，F在菱形ABCD的对角线AC上，∠ADC＝120°，∠BEC＝∠CBF＝50°，ED与BF的延长线交于点M．则对于以下结论：
①∠BME＝30°；
②△ADE≌△ABE；
③EM＝BC．
其中正确结论的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
8．（2022春•张家港市校级月考）已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于（ ）
A．6B．5C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022秋•崇川区校级月考）以下图形中：①线段；②等边三角形；③矩形；④菱形；中心对称图形有 （填序号）．
10．（2022春•广陵区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，E，F，D分别是AB，BC，CA的中点，若CE＝5，则线段DF的长是 ．
11．（2022秋•海安市期中）如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转58°得到△ADE，点C落在DE边上，则∠B的度数是 ．
12．（2022春•盐都区期中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝14，AB＝4．则△OCD的周长为 ．
13．（2022秋•建邺区校级期中）如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边向外作等边△CDE，则∠AEC＝ °．
14．（2022春•张家港市校级月考）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为 ．
15．（2022春•靖江市期中）如图，四边形ABCD是个活动框架，对角线AC、BD是两根皮筋．如果扭动这个框架（BC位置不变），当扭动到∠A'BC＝90°时四边形A'BCD'是个矩形，A'C和BD'相交于点O．如果四边形OD'DC为菱形，则∠A'CB＝ °．
16．（2023春•靖江市校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，则四边形BDFG的周长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022春•江阴市校级月考）如图所示，已知线AB和点P，求作平行四边形ABCD，使点P是它的对称中心．
18．（2022秋•泗洪县期末）已知：如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
（1）AB＝6，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
（2）EF与AD有怎样的位置关系？证明你的结论．
19．（2023春•工业园区校级期中）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，0），B（﹣2，3），C（﹣1，0）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A'B'C'；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，画出对应的△A''B''C''，并写出点B''的坐标 ．
20．（2022•泉山区校级三模）已知，如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD的延长线上，BE＝DF，连接EF，分别交BC、AD于G、H．求证：EG＝FH．
21．（2022春•镇江期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE∥BD，AE与CB的延长线交于点E，DE交AB于F．
（1）求证：BC＝BE；
（2）连接CF，若∠FDA＝∠FCB，判断四边形ABCD的形状并说明理由．
22．（2022•亭湖区校级三模）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连接BF，CE．
（1）求证：四边形BECF是平行四边形．
（2）当△ABC满足 条件时，四边形BECF为菱形．（填写序号）
①AB＝AC．②∠BAC＝90°，③AB＝BC，④∠BCA＝90°．
23．（2022•连云港模拟）如图，在▱ABCD的纸片中，AC⊥AB，AC与BD相交于点O，将△ABC沿对角线AC翻转180°，得到△AB′C．
（1）求证：四边形ACDB'为矩形．
（2）若四边形ABCD的面积S＝12cm2，求翻转后纸片重叠部分△ACE的面积．
24．（2022秋•溧阳市期中）已知：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、AD上，CE＝CD＝1，∠EFB＝∠FBC．
（1）求DF的长；
（2）若点E、F分别在边DC、AD的延长线上（如图2），且上述条件不变，请你求出DF的长．
专题第9章中心对称图形—平行四边形单元测试（基础过关卷）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春•常州期中）下列是四届冬奥会会徽的部分图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
2．(2023春•泰州月考）如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，F是CB延长线上一点，△ADE≌△ABF，则可把△ABF看作是以点A为旋转中心，把△ADE（ ）
A．顺时针旋转90°后得到的图形
B．顺时针旋转45°后得到的图形
C．逆时针旋转90°后得到的图形
D．逆时针旋转45°后得到的图形
【分析】由旋转的性质可求解．
【解答】解：∵E是正方形ABCD中CD边上任意一点，F是CB延长线上一点，△ADE≌△ABF，
∴可把△ABF看作是以点A为旋转中心，把△ADE顺时针旋转90°后得到的图形，
故选：A．
3．（2022秋•北碚区校级期末）下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形两组对边分别平行
B．平行四边形的对角线互相平分
C．平行四边形的对角互补，邻角相等
D．平行四边形的两组对边分别平行且相等
【分析】根据平行四边形的性质判断即可．
【解答】解：A、平行四边形两组对边分别平行，说法正确，不符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，说法正确，不符合题意；
C、平行四边形的对角相等，邻角互补，说法错误，符合题意；
D、平行四边形的两组对边分别平行且相等，说法正确，不符合题意；
故选：C．
4．（2022春•如皋市期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝110°，则∠D的度数为（ ）
A．70°B．80°C．110°D．120°
【分析】根据平行四边形的性质得出AB∥CD，根据平行线的性质推出∠A+∠D＝180°，即可求出答案．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A＝110°，
∴∠D＝180°﹣∠A＝180°﹣110°＝70°，
故选：A．
5．（2022春•崇川区期中）如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝10m，则A，B之间的距离是（ ）
A．5mB．10mC．20mD．40m
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵点C，D分别是OA，OB的中点，
∴AB＝2CD＝20（m），
故选：C．
6．（2022春•张家港市校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，连接AE，CE，AF，CF．下列条件中，不能得出四边形AECF一定是平行四边形的为（ ）
A．BE＝DFB．AE＝CFC．AF∥CED．∠BAE＝∠DCF
【分析】由平行四边形的性质或全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、连接AC，交BD于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AE＝CF不能判定四边形AECF一定是平行四边形，故选项B符合题意；
C、∵AF∥CE，
∴∠AFB＝∠CED，
∴∠AFD＝∠CEB，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
7．（2022春•邗江区期末）如图，点E，F在菱形ABCD的对角线AC上，∠ADC＝120°，∠BEC＝∠CBF＝50°，ED与BF的延长线交于点M．则对于以下结论：
①∠BME＝30°；
②△ADE≌△ABE；
③EM＝BC．
其中正确结论的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】先由菱形的性质得AD＝AB＝BC＝CD，∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAE＝∠BAE，∠DCE＝∠BCE＝30°，再由三角形的外角性质得∠BFE＝80°，则∠EBF＝50°，然后证△CDE≌△CBE（SAS），得∠DEC＝∠BEC＝50°，进而得出①正确；由SAS证△ADE≌△ABE，得②正确；证出△BEM≌△EBC（AAS），得BM＝EC，EM＝BC，③正确；连接BD交AC于O，由菱形的性质得AC⊥BD，再由直角三角形的性质得OD＝CD＝BC，OC＝OD，则OC＝BC，进而得出④正确即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，
∴AD＝AB＝BC＝CD，∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAE＝∠BAE，∠DCE＝∠BCE＝∠BCD＝30°，
∵∠BFE＝∠BCE+∠CBF＝30°+50°＝80°，
∴∠EBF＝180°﹣∠BEC﹣∠BFE＝180°﹣50°﹣80°＝50°，
在△CDE和△CBE中，
，
∴△CDE≌△CBE（SAS），
∴∠DEC＝∠BEC＝50°，
∴∠BEM＝∠DEC+∠BEC＝100°，
∴∠BME＝180°﹣∠BEM﹣∠EBF＝180°﹣100°﹣50°＝30°，故①正确；
在△ADE和△ABE中，
，
∴△ADE≌△ABE（SAS），故②正确；
∵∠EBC＝∠EBF+∠CBF＝100°，
∴∠BEM＝∠EBC，
在△BEM和△EBC中，
，
∴△BEM≌△EBC（AAS），
∴BM＝EC，EM＝BC，故③正确；
正确结论的个数是3个，
故选：D．
8．（2022春•张家港市校级月考）已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于（ ）
A．6B．5C．D．
【分析】首先连接OP．由矩形ABCD的两边AB＝5，BC＝12，可求得OA＝OD＝，然后由S△AOD＝S△AOP+S△DOP求得答案．
【解答】解：连接PO，
∵矩形ABCD的两边AB＝5，BC＝12，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝＝13，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝15，OA＝OD＝AC＝，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝××（PE+PF）＝15，
∴PE+PF＝，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022秋•崇川区校级月考）以下图形中：①线段；②等边三角形；③矩形；④菱形；中心对称图形有 ①③④ （填序号）．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【解答】解：等边三角形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
线段、矩形、菱形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故答案为：①③④．
10．（2022春•广陵区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，E，F，D分别是AB，BC，CA的中点，若CE＝5，则线段DF的长是 5 ．
【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理求出DF．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，E是AB的中点，
∴AB＝2CE＝10，
∵D、F分别是AC、BC的中点，
∴DF＝AB＝5，
故答案为：5．
11．（2022秋•海安市期中）如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转58°得到△ADE，点C落在DE边上，则∠B的度数是 29° ．
【分析】由旋转的性质可得∠EAC＝∠DAB＝58°，∠BAC＝∠DAE＝90°，AE＝AC，∠B＝∠D，由等腰三角形的性质可求∠E的度数，即可求解．
【解答】解：∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转58°得到△ADE，
∴∠EAC＝∠DAB＝58°，∠BAC＝∠DAE＝90°，AE＝AC，∠B＝∠D，
∴∠E＝∠ACE＝61°，
∴∠D＝29°＝∠B，
故答案为：29°．
12．（2022春•盐都区期中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝14，AB＝4．则△OCD的周长为 11 ．
【分析】根据平行四边形对角线互相平分，求出OC+OD即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，
∵AC+BD＝14，
∴CO+DO＝7，
∵AB＝CD＝4，
∴△OCD的周长为OD+OC+CD＝7+4＝11．
故答案为：11．
13．（2022秋•建邺区校级期中）如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边向外作等边△CDE，则∠AEC＝ 45 °．
【分析】根据题意知△ADE是等腰三角形，且∠ADE＝90°+60°＝150°．根据三角形内角和定理及等腰三角形性质可求出底角∠AED的度数，然后利用等边三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，
∴AD＝CD＝DE，∠ADE＝90°+60°＝150°，∠DEC＝60°，
∴∠AED＝（180°﹣150°）÷2＝15°．
∴∠AEC＝∠DEC﹣∠DEA＝45°．
故答案为：45．
14．（2022春•张家港市校级月考）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为 2 ．
【分析】连接MC，证出四边形MECF为矩形，由矩形的性质得出EF＝MC，当MC⊥BD时，MC取得最小值，此时△BCM是等腰直角三角形，得出MC＝BC＝2，即可得出结果．
【解答】解：连接MC，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，∠DBC＝45°，
∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F
∴四边形MECF为矩形，
∴EF＝MC，
当MC⊥BD时，MC取得最小值，
此时△BCM是等腰直角三角形，
∴MC＝BC＝2，
∴EF的最小值为2；
故答案为：2．
15．（2022春•靖江市期中）如图，四边形ABCD是个活动框架，对角线AC、BD是两根皮筋．如果扭动这个框架（BC位置不变），当扭动到∠A'BC＝90°时四边形A'BCD'是个矩形，A'C和BD'相交于点O．如果四边形OD'DC为菱形，则∠A'CB＝ 30 °．
【分析】由题意得，CD′＝CD，根据菱形的性质得到DD′＝CD，推出△CDD′是等边三角形，求得∠D′CO＝60°，根据矩形的性质得到∠BCD′＝90°，于是得到结论．
【解答】解：由题意得，CD′＝CD，
∵四边形OD'DC为菱形，
∴DD′＝CD，
∴CD′＝DD′＝CD，
∴△CDD′是等边三角形，
∴∠DCD′＝60°，
∴∠D′CO＝60°，
∵四边形A'BCD'是个矩形，
∴∠BCD′＝90°，
∴∠A'CB＝30°，
故答案为：30．
16．(2023春•靖江市校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，则四边形BDFG的周长为 20 ．
【分析】首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD＝FD，则可判断四边形BGFD是菱形，设GF＝x，则AF＝13﹣x，AC＝2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值．
【解答】解：∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD＝DF＝AC，
∴四边形BGFD是菱形，
设GF＝x，则AF＝13﹣x，AC＝2x，
∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，
∴AF2+CF2＝AC2，即（13﹣x）2+62＝（2x）2，
解得：x＝5，
故四边形BDFG的周长＝4GF＝20．
故答案为：20．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022春•江阴市校级月考）如图所示，已知线AB和点P，求作平行四边形ABCD，使点P是它的对称中心．
【分析】根据中心对称的概念及平行四边形的性质可得P为四边形的对角线的交点，由此作图即可．
【解答】解：如答图所示．
作法：①连接AP并延长至C，使PC＝PA．
②连接BP并延长至D，使PD＝PB．
③连接BC、CD、DA．
四边形ABCD即为所求．
18．（2022秋•泗洪县期末）已知：如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
（1）AB＝6，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
（2）EF与AD有怎样的位置关系？证明你的结论．
【分析】（1）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得ED＝EB＝AB，DF＝FC＝AC，再由AB＝6，AC＝8，可得答案；
（2）根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线证明．
【解答】（1）解：∵AD是高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴ED＝EB＝AB，DF＝FC＝AC，
∵AB＝6，AC＝8，
∴AE+ED＝6，AF+DF＝8，
∴四边形AEDF的周长为6+8＝14；
（2）证明：EF⊥AD，
理由：∵DE＝AE，DF＝AF，
∴点E、F在线段AD的垂直平分线上，
∴EF⊥AD．
19．(2023春•工业园区校级期中）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，0），B（﹣2，3），C（﹣1，0）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A'B'C'；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，画出对应的△A''B''C''，并写出点B''的坐标 （3，2） ．
【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A′、B′、C′点的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A″、B″、C″即可．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'为所作；
（2）如图，△A''B''C''为所作，点B''的坐标为（3，2）．
故答案为（3，2）．
20．（2022•泉山区校级三模）已知，如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD的延长线上，BE＝DF，连接EF，分别交BC、AD于G、H．求证：EG＝FH．
【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠CDA，
∴∠EBG＝∠FDH，∠E＝∠F，
在△BEG与△DFH中，
，
∴△BEG≌△DFH（ASA），
∴EG＝FH．
21．（2022春•镇江期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE∥BD，AE与CB的延长线交于点E，DE交AB于F．
（1）求证：BC＝BE；
（2）连接CF，若∠FDA＝∠FCB，判断四边形ABCD的形状并说明理由．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得：AD∥BC，AD＝BC，又由平行四边形的判定得：四边形AEBD是平行四边形，又由平行四边形的对边相等可得结论；
（2）利用“有一内角为直角的平行四边形是矩形”推知四边形ABCD是矩形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∵AE∥BD，
∴四边形AEBD是平行四边形．
∴AD＝EB．
∴BC＝BE；
（2）四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵AD∥EC，
∴∠FDA＝∠FEC．
∵∠FDA＝∠FCB，
∴∠FEC＝∠FCB，
∴FF＝FC．
又∵BC＝BE，
∴FB⊥BC，即∠BCD＝90°．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
22．（2022•亭湖区校级三模）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连接BF，CE．
（1）求证：四边形BECF是平行四边形．
（2）当△ABC满足 ① 条件时，四边形BECF为菱形．（填写序号）
①AB＝AC．②∠BAC＝90°，③AB＝BC，④∠BCA＝90°．
【分析】（1）由已知条件，据AAS证得△CFD≌△BED，则可证得CF＝BE，继而证得四边形BECF是平行四边形；
（2）由AB＝AC，BD＝CD，得到FE⊥BC，由△BDE≌△CDF得ED＝FD，即EF、BC互相垂直平分，然后根据菱形的判定，可得四边形BECF是菱形．
【解答】（1）证明：在△ABC中，D是BC边的中点，
∴BD＝CD，
∵CF∥BE，
∴∠CFD＝∠BED，
在△CFD和△BED中，
∴△CFD≌△BED（AAS），
∴CF＝BE，
∴四边形BFCE是平行四边形；
（2）解：满足条件①时四边形BECF为菱形．
理由：若AB＝AC时，△ABC为等腰三角形，
∵AD为中线，
∴AD⊥BC，
即FE⊥BC，
由（1）知，△CFD≌△BED，
∴BD＝CD，ED＝FD，
∴平行四边形BECF为菱形．
故答案为：①．
23．（2022•连云港模拟）如图，在▱ABCD的纸片中，AC⊥AB，AC与BD相交于点O，将△ABC沿对角线AC翻转180°，得到△AB′C．
（1）求证：四边形ACDB'为矩形．
（2）若四边形ABCD的面积S＝12cm2，求翻转后纸片重叠部分△ACE的面积．
【分析】（1）根据平行四边形的性质以及已知条件求证出四边形ACDB′是平行四边形，进而求出四边形ACDB′是矩形；
（2）根据矩形的性质以及平行四边形的性质求出△ACD的面积，因为△AEC和△EDC可以看作是等底同高的三角形，所以S△AEC＝S△ACD＝3cm2．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AB平行且等于CD．
∵△AB′C是由△ABC翻折得到的，AB⊥AC，
∴AB＝AB′，点A、B、B′在同一条直线上．
∴AB′∥CD，AB'＝CD，
∴四边形ACDB′是平行四边形．
∵B′C＝BC＝AD．
∴四边形ACDB′是矩形；
（2）解：由四边形ACDB′是矩形，得AE＝DE．
∵S▱ABCD＝12cm2，
∴S△ACD＝6cm2，
∴S△AEC＝S△ACD＝3cm2．
24．（2022秋•溧阳市期中）已知：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、AD上，CE＝CD＝1，∠EFB＝∠FBC．
（1）求DF的长；
（2）若点E、F分别在边DC、AD的延长线上（如图2），且上述条件不变，请你求出DF的长．
【分析】（1）作BG⊥EF于点G，由AD∥BC，得∠AFB＝∠FBC，而∠EFB＝∠FBC，所以∠AFB＝∠EFB，可证明△AFB≌△GFB，得AB＝GB，AF＝GF，则CB＝GB，再证明Rt△CBE≌Rt△GBE，由CE＝CD＝1，得GE＝CE＝1，AD＝CD＝4，则DE＝3，EF＝4﹣DF+1＝5﹣DF，由勾股定理得DF2+32＝（5﹣DF）2，即可求得DF＝；
（2）作BG⊥FE交FE的延长线于点G，可证明△AFB≌△GFB，得AB＝GB，AF＝GF，则CB＝GB，再证明Rt△CBE≌Rt△GBE，得GE＝CE＝1，则DE＝5，EF＝GF﹣GE＝3+DF，根据勾股定理得DF2+52＝（3+DF）2，即可求得DF＝．
【解答】解：（1）如图1，作BG⊥EF于点G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠BGF＝∠C＝∠BGE＝∠D＝90°，AD∥BC，AB＝CB，
∴∠AFB＝∠FBC，
∵∠EFB＝∠FBC，
∴∠AFB＝∠EFB，
在△AFB和△GFB中，
，
∴△AFB≌△GFB（AAS），
∴AB＝GB，AF＝GF，
∴CB＝GB，
在Rt△CBE和Rt△GBE中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△GBE（HL），
∵CE＝CD＝1，
∴GE＝CE＝1，AD＝CD＝4，
∴DE＝CD﹣CE＝3，GF＝AF＝4﹣DF，
∴EF＝GF+GE＝4﹣DF+1＝5﹣DF，
∵DF2+DE2＝EF2，
∴DF2+32＝（5﹣DF）2，
∴DF＝，
∴DF的长是．
（2）如图2，作BG⊥FE交FE的延长线于点G，
∵∠BCE＝180°﹣∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BGF＝∠BCE＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBC，
∵∠EFB＝∠FBC，
∴∠AFB＝∠EFB，
在△AFB和△GFB中，
，
∴△AFB≌△GFB（AAS），
∴AB＝GB，AF＝GF，
∴CB＝GB，
在Rt△CBE和Rt△GBE中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△GBE（HL），
∴GE＝CE＝1，
∴DE＝CD+CE＝5，GF＝AF＝4+DF，
∴EF＝GF﹣GE＝4+DF﹣1＝3+DF，
∵DF2+DE2＝EF2，
∴DF2+52＝（3+DF）2，
∴DF＝，
∴DF的长是．