初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理课时作业

这是一份初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理课时作业，共37页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，已知，P是线段上的任意一点，在的同侧分别以为边作等边三角形和等边三角形，则的最小值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．如图，在中，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点E，F，再分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点O，P为射线上任意一点，过点P作，交于点M，连接，若，，则长度的最小值为（ ）
A．B．C．4D．
3．如图，在中，，，，以为边在外作 ，且，则的最小值是 （ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，，，D为上一动点，，，则的最小值等于（ ）
A．4B．C．D．
5．如图，在中，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为（ ）
A．B．3C．3D．2
7．如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（ ）
A．B．C．6D．3
8．如图，在等腰直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝10，E为AC上的一动点（不与C重合），△CDE为等边三角形，过E作EF⊥DE，F为此垂线上的动点，连接DF，并取DF得中点G，连接AG，则线段AG的最小值是( )
A．B．C．D．
9．如图，在中，，cm，cm，点、分别在、边上．现将沿翻折，使点落在点处．连接，则长度的最小值为（ ）
A．0B．2C．4D．6
10．如图，中，，，分别是，边的中点，是上的动点，的最小值为（ ）
A．3B．C．4D．
11．如图，在△ABC中，∠ABC为钝角，AB＝2，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值（ ）
A．1B．2C．D．2
12．如图，在中，点D，E分别是边、上的两点，连接，，，已知，，则的最小值是（ ）
A．B．10C．9.6D．
二、填空题
13．如图，中，，，点为边上一点，，点为边的中点，连接，点为线段上的动点，连接，，则的最小值为___________．
14．如图，为等边三角形，平分，的面积为，点为上动点，连接，则的最小值为 __．
15．如图，在中，，，，平分交于点，，分别是，上的动点，则的最小值为______．
16．如图，在四边形中，，，，点P是线段上的动点，连接，，若周长的最小值为16，则的长为_________________．
17．如图，等腰三角形的底边，面积为30，点在边上，且，是腰的中垂线，若点在上运动，则的周长的最小值为___________．
18．在平面直角坐标系中，，，点为轴上一点，则的最小值为_________．
19．如图，长方形中，，E为边上的动点，F为的中点，连接，则的最小值为________
20．如图，在中，，，，点在边上，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点处，若点是直线上的动点，连接，则的周长的最小值为______．
21．如图，将沿折叠，使顶点C恰好落在边上的点M处，点D在上，点P在线段上移动，若，则周长的最小值为________．
22．如图，，点，分别在边，上，且，，点，分别在边，上，则的最小值是______．
23．如图，为等边的BC边上的高，E、F分别为线段上的动点，且，若时，则的最小值为_____，若时，的最小值为_____．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，点P是边BC上一动点，点D在边AB上，且BD=AB，则PA+PD的最小值为________．
三、解答题
25．如图，和都是等边三角形，且点、、在一条直线上，连接，，点、分别是线段、上的两个动点，完成以下问题．
发现问题：
当，时，的形状是______．
类比探究：
当，时，（1）结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请举出反例．
拓展应用：
若，，在、运动过程中，请直接写出的面积的最小值．
26．如图，已知，，连接，过点作的垂线段，使，连接．
如图1，直接写出点坐标；
如图2，当点在线段（不与重合）上，连接，作等腰直角，，连接，求证：；
在（2）的条件下：
①若、、三点共线，直接写出此时的度数及点坐标．
②直接写出面积的最小值和此时的长度．
27．如图，在网格中，每个小正方形的边长都为1，点，
建立平面直角坐标系，并写出点的坐标___________．
若与关于轴对称，则的坐标为___________．
在轴上找一点，使最小，则最小值是___________．
28．在中，，，，的中垂线交于D，交于点E．
如图1，连接，请求出的长；
如图2，延长交的延长线于点F，连接，请求出的长；
如图3，点P为直线上一动点，点Q为直线上一动点，则的最小值为 ．
参考答案
1．C
【分析】过点C作于E，过点D作于F，过点D作于G，根据勾股定理可以求得，从而可根据的取值范围求得的最小值，即可解题．
解：如图，过点C作于E，过点D作于F，过点D作于G．
∵和都为等边三角形，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴当时，有最小值，即此时P为中点，
∴，即长度的最小值是．
故选C．
【点拨】本题考查勾股定理，等边三角形的性质．理解当时，有最小值，且此时P为中点是解题关键．
2．B
【分析】如图，过点P作于T，过点C作于R，利用面积法求出，再证明，即可求出长度的最小值．
解：如图，过点P作于T，过点C作于R，
在中，，，，
，
，
，
，
由作图可知，平分，
，，
，
，
，
，
的最小值为，
故选：B．
【点拨】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是证明，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
3．C
【分析】作直线，点B关于直线的对称点，连接与直线交于，此时有最小值，利用，得到直线到距离为，进而得到，最利用勾股定理即可得到的最小值．
解：如图，过点D作直线，作点B关于直线的对称点，连接与直线交于，由两点间线段最短可知，当点D在位置时，有最小值，
设点到的距离为，
，
，
，即直线到距离为，
，
由勾股定理得：，
故选C．
【点拨】本题考查了利用轴对称求最短距离，勾股定理，作出辅助线是解题关键．
4．B
【分析】过E作交的延长线于点F，作点A关于的对称点，连接和．依据轴对称的性质即可得到，再根据平移的性质即可得出，．当点C，点E，点在同一直线上时，的最小值等于的长，利用勾股定理求得的长即可．
解：如图所示，过E作交的延长线于点F，作点A关于的对称点，连接和，
∴，
∴，
由题可得，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴由平移的性质可得：，，
当点C，点E，点在同一直线上时，的最小值等于的长，如图所示．
此时，中，，
∴的最小值为，
故选：B．
【点拨】此题主要考查了最短路径问题，平移的性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
5．C
【分析】过点作交于点，交于点，过点作于点，由是的平分线，得出，这时有最小值，即的长度，运用勾股定理求出，再运用，得出的值，即的最小值．
解：如图所示，
过点作交于点，交于点，过点作于点，
∵是的平分线，
∴，这时有最小值，即的长度，
∵，，，，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为．
故选：．
【点拨】本题主要考查了轴对称问题，勾股定理，角平分线的性质，解题的关键是找出满足有最小值时点和的位置．
6．C
【分析】过C作CF⊥AB交AD于E，则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值=CF，根据等边三角形的性质得到BF=AB=×6=3，根据勾股定理即可得到结论．
解：】解：过C作CF⊥AB交AD于E，如图，
则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值=CF，
∵△ABC为等边三角形，边长为6，
∴BF=AB=×6=3，
∴CF=，
∴CE+EF的最小值为3，
故选：C．
【点拨】本题考查了垂线段最短，勾股定理，等边三角形的性质，关键是画出符合条件的图形．
7．B
【分析】作点P关于OB的对称点D，点P关于OA的对称点C，连接CD与OA，OB分别交于点M与N则CD的长即为△PMN周长的最小值；连接OC，OD，过点O作OH⊥CD，在Rt△OCH中求出HC即可求出CD．
解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，
则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=4，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，
∴PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，
∴此时△PMN周长最小，最小值是DC的长，
作OH⊥CD于H，则CH=DH，
∵∠OCH=30°，
∴OH=OC=2，CH==2，
∴CD=2CH=4．
∴△PMN周长的最小值是4，
故选：B．
【点拨】本题考查利用轴对称求最短距离问题；通过轴对称将△PMN周长转化为CD的长是解题的关键．
8．A
【分析】如图，连接、，设CG与DE交于点H，先判断出CG为线段DE的垂直平分线，再求出，最后由勾股定理求出AC的长即可．
解：如图，连接、，设CG与DE交于点H，
∵为的中点，
∴，
∴点在的垂直平分线上，
∵△是等边三角形，
∴，，
∴点在的垂直平分线上，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
∴点在射线上，
当时，的值最小，
如图，设点为垂足，则，
在中，∠B＝90°，AB＝BC＝10，
∴，
∴．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的判定与性质，勾股定理等知识，数形结合并明确相关性质的定理是解题的关键．
9．C
【分析】当H落在AB上，点D与B重合时，AH长度的值最小，根据勾股定理得到AB=10cm，由折叠的性质知，BH=BC=6cm，于是得到结论．
解：当H落在AB上，点D与B重合时，AH长度的值最小，
∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB=10cm，
由折叠的性质知，BH=BC=6cm，
∴AH=AB-BH=4cm．
故选：C．
【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
10．B
【分析】连接PC，易证，将转化为，根据三角形三边关系知，，故当P、E、C在一条直线时，取最小值，解直角三角形求出EC的长度即可．
解：如图，连接PC，EC，EC交BD于点，
中，，是的中点，
，，
是线段的垂直平分线，
，
，
根据三角形两边和大于第三边可知，当P、E、C在一条直线时，取最小值，最小值为EC，
中，，是边的中点，
，，
，
的最小值为为．
故选：B．
【点拨】本题考查等边三角形的性质、勾股定理解三角形、求线段和的最值等，通过作辅助线，找出PA的等长线段，将进行转化是解题的关键．
11．B
【分析】在上截取点，使得，过点作于点，连接，先根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据垂线段最短可得的最小值为的长，然后根据等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理即可得出答案．
解：如图，在上截取点，使得，过点作于点，连接，
平分，
，
在和中，，
，
，
，当且仅当点共线时，等号成立，
由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，
即的最小值为，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
解得，
即的最小值为2，
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
12．A
【分析】过点A作，并使得，连接，构造，然后得到，进而得知，连接，即可得知的长度即为的最小值，也就是的最小值，最后利用勾股定理求得的值即可得到答案．
解：如图，过点A作，并使得，连接，则，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
连接，即可得知的长度即为的最小值，也就是的最小值，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值是，故A正确．
故选：A．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，解题的关键是会作常用辅助线构造全等三角形．
13．5
【分析】连接，交于点，连接，首先证明为线段的垂直平分线，即有点、关于对称，，此时，的值最小，再利用勾股定理解得，由，即可确定的最小值．
解：如下图，连接，交于点，连接，
∵，点为边的中点，
∴，即为线段的垂直平分线，
∴点、关于对称，，
此时，的值最小，
∵，，
∴在中，，
∴，
即的最小值为5．
故答案为：5．
【点拨】本题主要考查了最短路径、勾股定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，利用轴对称的性质确定取最小值时的位置是解题关键．
14．
【分析】过A作于，过点作于，根据等边三角形及含30度角的直角三角形的性质得出， 确定最小值为AF，再由勾股定理及三角形面积公式即可求解．
解：过A作于，过点作于，
为等边三角形，平分，
，，
，
，
的面积为，，
∴
∴
，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
【点拨】题目主要考查等边三角形的性质及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，找出最短距离是解题关键．
15．4
【分析】在上取点，使，过点作，垂足为．因为，推出当、、共线，且点与重合时，的值最小．
解：如图所示：在上取点，使，过点作，垂足为．
∵平分，
∴
在和
∴
∴，
在中，依据勾股定理可知．
∴，
，
当、、共线，且点与重合时，的值最小，最小值为4，
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称，解决最短问题．
16．6
【分析】作点关于的对称点，连接交于，则，设，则，依据中，，即可得到，进而得出的长．
解：如图所示，作点关于的对称点，连接交于，
则，
设，则，
∵，，
∴，
∴中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：
【点拨】本题考查勾股定理的应用和三角形的周长，解题的关键是掌握勾股定理的应用和三角形的周长的计算．
17．9
【分析】作于，连接．由垂直平分线段，推出，推出，可得当、、共线时，的值最小，最小值就是线段的长．
解：如图作于，连接．
垂直平分线段，
，
，
当、、共线时，的值最小，最小值就是线段的长，
，
，
，，
，
，
，
，
的最小值为．
周长的最小值为；
故答案为：9．
【点拨】本题考查轴对称最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．
18．##
【分析】先确定点C的位置，再根据直角三角形的性质定理和勾股定理分别求出，，最后根据求出答案．
解：过点A作直线，使，过点B作，与y轴交于点C，可知 最小，最小值为长，
因为，，，
所以，，
∴，则，
∴，
∴，
则，，
，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理等，确定点C的位置是解题的关键．
19．15
【分析】作F关于的对称点，连接，交于点E，则，的长即为的最小值．运用勾股定理求即可．
解：
如图：作F关于的对称点，连接，交于点E，则，的长即为的最小值．
长方形中，，F为的中点，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为15．
故答案为：15．
【点拨】本题主要考查轴对称的性质及运用，能够熟练掌握并运用将军饮马模型是解题关键．
20．
【分析】根据折叠和等腰三角形性质得出当和重合时，的值最小，即可此时的周长最小，最小值是，先求出和长，代入求出即可．
解：连接，如图：
，，，
，
沿折叠和重合，
，，，
，，
，
，
，
，
当和重合，此时、、三点共线，最小，即的值最小，故的周长最小，
的周长最小值是，
的周长的最小值是．
故答案为：．
【点拨】本题考查了折叠性质，等腰直角三角形的性质，轴对称最短路线问题，勾股定理，关键是求出点的位置．
21．
【分析】首先明确要使得周长最小，即使得最小，再根据翻折的性质可知，从而可得满足最小即可，根据两点之间线段最短确定即为最小值，从而求解即可．
解：如图，连接，
由翻折的性质可知，，垂直平分，
∴，
∵，，
∴，，
∴M点为上一个固定点，则长度固定，
∴，
∵周长，
∴要使得周长最小，即使得最小，
∵，
∴满足最小即可，
当P、B、C三点共线时，满足最小，
此时，P点与D点重合，，
∴周长最小值即为
故答案为：12．
【点拨】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键．
22．
【分析】作关于的对称点，作关于的对称点，连接，即为的最小值；证出为等边三角形，为等边三角形，得出，由勾股定理求出即可．
解：作关于的对称点，作关于的对称点，连接，如图所示：
连接，即为的最小值．
根据轴对称的定义可知：，，
为等边三角形，为等边三角形，
，，，
在中，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称的性质，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键．
23．
【分析】当时，取得最小值，利用等边三角形的性质即可求解；
作辅助线，构建全等三角形，证明，得，将转化为，与在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即B、F、H共线时，的值最小，利用等腰直角三角形的性质求解即可．
解：当时，取得最小值，
∵是边长为2的等边三角形，
∴，
∴；
即的最小值为；
如图，作，且，连接交于M，连接，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当B、F、H共线时，如图2，的值最小，即的长，
此时是等腰直角三角形，且，
∴，
故答案为：；．
【点拨】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，确定点F的位置，有难度．
24．
【分析】作关于的对称点，连接交于，则的值最小，过作交的延长线于，过作于，则，DH//BC，根据勾股定理即可得到结论．
解：作关于的对称点，连接交于，
则的值最小，
过作交的延长线于，过作于，
则，DH//BC
，，，
，，
∵AB=2，
，
，
∴
∴
∵，
∴的最小值为，
【点拨】本题考查了勾股定理的使用，涉及了轴对称图形的性质，掌握并熟练使用相关知识，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．
25．(1) 等边三角形(2) 成立，证明见分析(3)
【分析】（1）由等边三角形的性质得到边的关系、角的关系，然后证明，则，再证明，即可得到结论成立；
（2）与（1）同理，由等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，即可得到结论成立；
（3）过点作，，此时的面积最小，然后根据勾股定理，即可得到答案．
（1）解：和都是等边三角形，
，，，
，
即，
在与中
，
，，
，，
；
在与中
，
，
，，
，
，
，
是等边三角形．
（2）成立，理由如下，
和都是等边三角形，
，，，
，
即，
在与中
，
，
，，
，，
，
在与中
，
，
，，
，
，
，
是等边三角形．
（3）过点作，，此时的面积最小，过点作的垂线，垂足为点，
，
则，
设为，由可得，
在中，，
在中， ，
，可得，
即，
在中，利用勾股定理可得，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
26．(1) (2) 见分析(3) ①，②面积的最小值2，
【分析】（1）设轴于，证明，根据全等三角形的性质得到，，求出，即可得到点坐标；
（2）证明，根据全等三角形的性质得到；
（3）①根据、、三点共线，得到，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质求出，即可得到点坐标；②由等腰直角三角形的性质和垂线段最短，可得当最短时即点于点重合时，面积最小，再根据计算求解即可．
（1）解：设轴于，则，
，
，
，
在和中，
，，
，
点坐标为；
（2）证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
（3）解：①是等腰直角三角形，
，
当、、三点共线时，，
由（2）可知，；
，
，
，
点坐标为；
②是等腰直角三角形，
，
当最短时即点于点重合时，面积最小，
又，
，
．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，两点间的距离，垂线段最短，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
27．(1)；(2)；(3)．
【分析】（1）先根据，，建立坐标系，再结合图形求出点B坐标即可；
（2）根据点关于坐标轴对称的特点求解即可
（3）找出点A关于y轴对称的点，连接与y轴的交点即可为P，此时最小，再利用勾股定理求解即可．
（1）解：根据，，建立如下图所示的坐标系：
∴，
故答案为：
（2）解：∵与关于轴对称，
∴与关于轴对称，
∵
∴，
故答案为：
（3）解：找出点A关于y轴对称的点，连接与y轴的交点即可为P，此时最小，
∵网格的每个格长为1，
∴．
故答案为：
【点拨】本题考查点的坐标，坐标关于坐标轴对称的特点，勾股定理两点之间，线段最短．解题的关键是理解题意，结合图形求解．
28．(1) (2) 5(3)
解：（1）∵是的中垂线，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即
（2）∵是的中垂线，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即的长为5；
（3）的最小值为
理由：连接，过B作于M，交直线于，过作于，如图3所示：
∵是的中垂线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
则点M与关于对称，此时，
即的值最小＝，
由（2）得，，
∴，
∵，
∴的面积，
∴
即的最小值为
故答案为：．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、轴对称的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理是解题的关键．