二轮复习【数列专题】专题1数列的单调性微点8数列单调性的判断方法（八）——数学归纳法

这是一份二轮复习【数列专题】专题1数列的单调性微点8数列单调性的判断方法（八）——数学归纳法，共18页。
微点8 数列单调性的判断方法（八）——数学归纳法
【微点综述】
近年来随着递推数列及数列不等式的深入研究和频繁出现，数列单调性的判别法逐渐被重视，本文介绍利用数学归纳法判断（证明）数列的单调性，对中学教学有很强的实用性．
【典例刨析】
1．已知数列满足：，求证：数列单调递增．
2．首项为正数的数列满足．
(1)证明：若为奇数，则对，都是奇数；
(2)若对，都有，求的取值范围．
3．已知数列中，，记：．求证：当时，
(1)数列单调递增；
(2)；
(3)．
4．设函数．数列 满足， ．
(1)证明：函数在区间 是增函数；
(2)证明：数列单调递增，且；
(3)设，整数 ．证明：．
（2023上海市上海中学上学期期末考试）
5．已知数列满足，.
(1)写出数列的前四项；
(2)判断数列的单调性；
(3)求证：.
6．等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上．
（1）求r的值；
（11）当b=2时，记，证明：对任意的 ，不等式成立．
7．已知数列满足， ．
(1)猜想数列的单调性，并证明你的结论；
(2)证明：.
【针对训练】
一、选择题
8．已知数列，均为递增数列，的前项和为，的前项和为.且满足，，则下列说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．数列满足：.若数列单调递减，则c的取值范围是 ；若数列单调递增，则c的取值范围是 .
三、解答题
10．设数列满足．
(1)证明：对一切正整数n成立；
(2)令，判断数列单调性．
11．已知函数的图象按向量平移后得到的图象，数列满足（且）．
(1)若，满足，求证：数列是等差数列；
(2)若，试判断数列中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，若不存在，请说明理由；
(3)若，试证明：数列单调递减，且．
12．已知函数，数列满足：，．证明：
(1)；
(2)．
13．已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的都满足：．
(1)求的值；
(2)判断的奇偶性，并证明你的结论；
(3)若，求证：数列单调递增．
参考答案：
1．证明见解析
【分析】先用数学归纳法证明：，再构造函数，求导得到函数在区间上的单调性，得出，进一步得出结果.
【详解】先用数学归纳法证明：．
（1）当时，，结论成立；
（2）假设当时结论成立，则，，
，，
即当时结论也成立．
由（1）（2）可知：对于一切都有．
设，
， 在区间上单调递减，
又，，
所以，使得，即，
当，，单调递增；当，，单调递减；
又，，
则，，即，
所以．
综上所述：，故数列单调递增．
2．(1)证明见解析
(2)或
【分析】（1）利用数学归纳法进行证明；
（2）利用，得到不等式，求出或，作差法得到与，从而对，都有，得到的取值范围.
【详解】（1）因为，则，所以，
又首项为正数，则
利用数学归纳法证明：
已知是奇数，时成立．
假设是奇数，其中为正整数，则由递推关系得是奇数，即时也成立．
由，可知对任何，都是奇数．
（2）由，得，于是或．
，
因为所有的均大于0，因此与同号．
因此，对一切都有的充要条件是或．
3．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）化简得到，转化为只需证明，利用数学归纳法，即可求解；
（2）欲证，需证，根据，转化为，结合，即可作出证明；
（3）由，转化为，结合等比数列的求和公式，进而作出证明．
【详解】（1）由，可得，要证数列单调递增，只要证明，只需证明．
下面用数学归纳法证明，
①当时，可得；
②假设时，，则，可得，
即，所以，
由①②可知，当时，，所以，所以数列单调递增．
（2）欲证，需证，
由，可得，
所以，
又由，所以，所以，所以．
（3）由，可得，
则
．
又由所以，
所以．
4．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数证明函数的单调性即可；
（2）由函数单调性可知，据此可结合数学归纳法证明即可；
（3）分，两种情况，时由数列的单调性得解，时，可得，由递推关系累加即可得解.
【详解】（1）证明：，
因为，所以，，
故函数在上为增函数．
（2）证明：当时，，又由（Ⅰ）知，当时，，因此当时， ①
下面运用数学归纳法可以证明 ②
（ⅰ）由，，应用式①得当，即得当时，不等式②成立．
（ⅱ）假设当时，不等式②成立，即，则由①可得，即，故当时，不等式②成立
综合（ⅰ）（ⅱ）证得，
（3）由（2）知，逐项递增，故若存在正整数，使得，则，否则若，则由知， ③
，
由③知于是．
综上，.
【点睛】第（2）题利用递推公式构造函数，运用第（1）小题的结论得到函数的单调性，从而证明数列是单调递增数列．
5．(1)，，，
(2)严格增数列
(3)证明见解析
【分析】（1）由递推公式直接求解；（2）利用作差法证明出的单调性；（3）利用数学归纳法证明.
【详解】（1）因为数列满足，，
所以，，.
（2）因为，所以，所以.
所以数列为严格增数列.
（3）用数学归纳法证明：
当时，有显然成立；
假设时，命题成立，即.
所以当时，只需证明成立即可.
先证明左边.
由于随的增大而增大，所以有，
只需证，两边平方得：，化简得：，显然成立.
再证右边.
由于随的增大而增大，所以有，
只需证，
化简得：，
展开，整理得：，
再平方，左边，
右边，
所以左边