二轮复习【数列专题】专题1数列的单调性微点6数列单调性的判断方法（六）——导数法

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微点6 数列单调性的判断方法（六）——导数法
【微点综述】
我们知道数列是一种特殊的函数，其特殊性主要体现在自变量的取值只能是自然数（或正整数），导致其图像也只能是不连续的.尽管导数是一个处理函数问题的有效工具，特别是在求函数的单调区间、求函数的最值以及求解变量的取值范围等问题上，导数具有其它数学工具不可替代解题功效.但是，如果将数列问题简单的函数化，盲目用导数去处理数列的相关问题，那是要不得的，∵数列毕竟不是标准的函数，有着许多特殊性.特别是数列的单调性与函数的单调性有许多不和谐的“音符”，二者并不总是一致的，如果盲目套用导数方式去处理，极易出现错误.下面就通过举例加以说明，旨在帮助同学们提高解题的准确率.
【典例刨析】
例1.（2023浙江金华十校上学期期末）
1．已知为非常数数列且，，，则（ ）
A．对任意的，数列为单调递增数列
B．对任意的正数，存在，当时，
C．不存在，使得数列的周期为
D．不存在，使得
例2
2．已知数列是严格增数列，且对任意正整数n，都有，求实数的取值范围．
例3
3．已知数列的通项为且对所有正整数均成立，求实数的取值范围.
例4
4．已知数列的通项,试求数列的最大项.
例5
5．已知数列的各项均为正数，其前n项和记为，且数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围.
例6
6．已知是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，．
(1)证明：数列是常数数列；
(2)确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；
(3)证明：当时，直线的斜率随单调递增．
【针对训练】
（2021•上城区校级开学）
7．设数列满足，对任意的恒成立，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．是递增数列
C．D．
8．已知数列满足，，设，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知数列通项公式，若数列是递减数列，则实数的取值范围为 .
10．已知三次函数，数列{}满足，给出下列两个条件：①函数是递减函数：②数列{}是递减数列.试写出一个满足条件②但不满足条件①的函数的解析式= .
11．已知，且．试证：数列或者对任意自然数n都满足，或者对任意自然数n都满足．
12．设定义在上的函数与数列满足，其中是方程的实数根，满足可导，且.
(1)证明：；
(2)判断数列的单调性，并证明.
参考答案：
1．BCD
【分析】当时，可知为单调递减数列，知A错误；令，，，利用导数可求得在上单调递增，令，可解得或，结合图象可确定B正确；采用反证法，若周期为，可化简得到，令，利用导数可求得单调递增，由此确定，与已知矛盾，知C正确；利用已知等式化简得到，知D正确.
【详解】对于A，当时，，此时为单调递减数列，A错误；
对于B，令，令，，则；
，令，则，可取，
当时，，在上单调递增；
令，解得：或，
如图所示，在区间内，总能找到一个，使得的极限为，B正确；
对于C，假设存在，使得数列的周期为，则；
，，
，即；
令，则，在上单调递增，
则由得：，即为常数列，与已知矛盾，
假设错误，即不存在，使得数列的周期为，C正确；
对于D，，
，
不存在，使得，D正确.
故选：BCD.
【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：
(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；
(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；
(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.
2．
【分析】由已知可得出，结合参变量分离法可求得实数的取值范围.
【详解】解：因为是递增数列，所以恒成立，
因为，所以恒成立，
所以对于任意正整数n恒成立．
而在时取得最大值-3，
所以．
3．
【分析】根据条件将不等式转化为恒成立，转化为最值问题，即可求解.
【详解】由条件可知，，对于，
有恒成立，即，
，单调递增，当时，取得最小值，
所以实数的取值范围是
4．
【分析】将数列转化为对应的函数，利用导数判断函数的单调性，再求数列的最大值.
【详解】设，则.
令，得；令，得或，在区间上是增函数，在区间上是减函数.
又，故当，，
故当时，数列的最大项为.
5．(1)
(2)
【分析】注意到，使用公式进行解题即可；
（2）数列是递增数列，则对恒成立，即.
【详解】（1）由和已知条件得（），
从而，即.
∵数列的各项均为正数，∴，
，
两式相减得，由数列的各项均为正数，知，
由，由，解得，
于是，从而数列是以1为首项，1为公差的等差数列，故.
（2）数列是递增数列，则，
对恒成立，
于是对恒成立，
而单调递增，，.
【点睛】,当数列式中有类似多项相加时，考虑使用公式，并注意其中的使用范围.
6．(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）依题意可得，由，即可得到，根据作差得到，即可得证；
（2）由题设条件可知，，，所以，，数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，所以，，，再由数列是单调递增数列能够推出的取值集合．
（3）直线的斜率为，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可得到，再由，即可得证．
【详解】（1）当时，由已知得，
因为，所以①，
于是②，
由②①得，③，
于是④，
由④③得⑤，
所以，即数列是常数数列．
（2）由①有，所以，
由③有，，
所以，．
而⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，
所以，，，
数列是单调递增数列且对任意的成立．
且，
．
即所求的取值集合是．
（3）直线的斜率为，
任取，设函数，则，
记，则，
当时，，在上为增函数，
当时，，在上为减函数，
所以时，，从而，
所以在和上都是增函数．
由（2）知，时，数列单调递增，
取，因为，所以．
取，因为，所以．
所以，即直线的斜率随单调递增．
【点睛】思路点睛：对于数列中出现与的关系，一般根据作差即可得到，对于不等式证明常转化为函数的单调性.
7．C
【分析】设，利用导数可判断在上为单调递增函数，即在上为增函数，结合单调性以及不等式的放缩可得可判断AC，根据单调性可判断B，根据单调性结合不等式放缩可得，可判断D，进而可得正确选项.
【详解】因为且，
设，则，
当时，，故在上为单调递增函数，
所以在上为增函数，故，
所以，
所以 ，即，
所以，，故选项A正确，选项C不正确；
因为在上为单调递增函数，，所以是递增数列，故选项B正确；
因为，是递增数列，所以，所以，
故，故选项D正确．
故选：C．
8．B
【分析】将递推关系式整理为，可知数列为等差数列，借助等差数列通项公式可整理求得，从而得到的通项公式；根据数列的单调性可采用分离变量法得到，结合导数的知识可求得，由此可得结果.
【详解】由得：．
，即，
是公差为的等差数列．，，，．
是递减数列，，，即，
即．只需，
令，
，
在上单调递增，在上单调递减．
又，，当时，，
即，，即实数的取值范围是．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题考查利用数列的单调性求解参数范围的问题，解题关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为变量与关于的式子的最值的大小关系求解问题，结合导数的知识求得最值后即可得到取值范围.
9．
【解析】首先构造函数，对函数求导，对的范围进行讨论，转化为比较数列两项之间的大小，从而求得结果.
【详解】构造函数，
则，
由，得，
当时，只需，
即，得，即，
当时，只需，即，即，
综上，实数的取值范围为，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：该题考场的是有关数列与导数的综合题，在解题的过程中，根据数列单调减，构造函数，研究函数的单调性，正确解题的关键是需要明确利用函数研究数列的性质的时候，注意函数定义域为正整数集，再者就是不需要其在上单调减，还有需要考虑特定项的大小比较.
10．(答案不唯一)
【分析】令，利用导数研究其在不单调递减情况下m的范围，且保证在上递减，即可写出一个函数解析式.
【详解】设，则，要满足题设条件则，即，
此时，上，递增；上，递减；
不妨令，则，由，当时递减.
综上，满足条件的一个函数有.
故答案为：(答案不唯一)
11．详见解析
【分析】由，根据得到与同号，再分和，用数学归纳法证明.
【详解】解：，
因为，由数列的定义知，
所以与同号，
若，用数学归纳法证明，
当时，，成立，
设时，，成立，
当时，，成立，
所以对任意自然数n都满足，
若，用数学归纳法证明，
当时，，成立，
设时，，成立，
当时，，成立，
所以对任意自然数n都满足，
12．(1)证明见解析
(2)单调减数列，证明见解析
【分析】（1）根据函数的导数取值范围，利用递推的思想，可得答案；
（2）利用作差法，构造新函数，通过研究新函数的单调性，以及小于零的区间，可得答案.
【详解】（1）由是方程的实数根，则，由，则单调递增，
由，则，， 以此类推，对于任意，都有.
（2）由，则令，求导可得，
即函数单调递减，
由（1）可知当时，，则当时，，
由（1）可知，则，即数列单调递减.