二轮复习【数列专题】专题1数列的单调性微点5数列单调性的判断方法（五）——递推法

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微点5 数列单调性的判断方法（五）——递推法
【微点综述】
数列是高中数学的重要内容，数列的单调性问题是高考中的难点也是热点问题．数列是一类特殊的函数，其定义域取正整数集或其有限子集，因此在处理数列的单调性问题时，可以利用数列单调性的定义；也可以通过构造函数（当数列的通项公式给出）来处理．但是对于无法求出通项的数列，比如递推数列：数列满足：的单调性问题，我们又该怎样去研究?本文结合具体的例子谈谈这类问题的求解方法．
【典例刨析】
1．已知函数，数列满足：（且），试讨论数列的单调性．
2．设函数．数列 满足， ．
（Ⅰ）证明：函数在区间 是增函数；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）设，整数 ．证明：．
3．已知函数，数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）试判断数列的单调性．
例4．
4．在无穷数列中，，记前项中的最大项为，最小项为，令.
（1）若的前项和满足.
①求；
②是否存在正整数满足？若存在，请求出这样的，若不存在，请说明理由.
（2）若数列是等比数列，求证：数列是等比数列.
例5．（2023山东潍坊10月联考）
5．已知数列中，，当时，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列中是否存在最大项与最小项？若存在，求出最大项与最小项；若不存在，说明理由．
例6．
6．设是公差不为零的等差数列，满足，，设正项数列的前n项和为，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；…，在和之间插入n个数、、…、，使、、、…、、成等差数列，求；
(3)对于（2）中求得的，是否存在正整数m、n，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．
例7
7．设数列是各项均为正数的等比数列，.数列满足：对任意的正整数n，都有.
(1) 分别求数列与的通项公式．
(2) 若不等式对一切正整数n都成立，求实数λ的取值范围．
(3) 已知，对于数列，若在与之间插入个2，得到一个新数列．设数列的前m项的和为Tm，试问：是否存在正整数m，使得Tm＝2019？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．
【针对训练】
（2023河北唐山开滦二中月考）
8．设数列的前项和为，满足.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)数列满足，若，求实数的最小值.
（2023安徽淮南一模）
9．已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，证明：.
10．在数列{an}中，a1＝3，且对任意的正整数n，都有an+1＝λan+2×3n，其中常数λ＞0．
（1）设bn．当λ＝3时，求数列{bn}的通项公式；
（2）若λ≠1且λ≠3，设cn＝an，证明：数列{cn}为等比数列；
（3）当λ＝4时，对任意的n∈N*，都有an≥M，求实数M的最大值．
（2023江苏盐城中学月考）
11．已知数列的前项和为，且对一切正整数都有.
（1）求证：；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在实数，使不等式，对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
12．已知正项数列的前n项和为，对于任意的，都有.
（1）求，；
（2）求数列的通项公式；
（3）令问是否存在正数m，使得对一切正整数n都成立?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
13．已知数列各项均为正数，为前n项的和，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前n项和，求；
（3）设为数列的前n项积，是否存在实数a，使得不等式对一切都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.
参考答案：
1．答案见解析
【分析】利用数列的递推公式采用作差法，判断差式子的符号，进而判断数列的单调性即可．
【详解】由，可得
由可得，
若，即，解得，
即当时，，此时数列单调递增；
当时，数列为常数数列；
当时，数列单调递减．
2．（Ⅰ）证明见解析．
（Ⅱ）证明见解析．
（Ⅲ）证明见解析．
【详解】（Ⅰ），上为增函数
（Ⅱ）当时，,又由（Ⅰ）及时，,因此当时, ①
下面运用数学归纳法可以证明 ②
（ⅰ）由，，应用式①得当，即得当时，不等式②成立.
（ⅱ）假设当时，不等式②成立，即，则由①可得，即，故当时，不等式②成立
综合（ⅰ）（ⅱ）证得，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，逐项递增，故若存在正整数，使得，则，否则若，则由知， ③由③知
于是
3．（1）；（2）数列是递增数列．
【分析】（1）根据条件可得，解方程可得，再根据函数的定义域得，即，所以；
（2）通过研究相邻两项之间大小关系，研究数列的单调性.
【详解】（1）由，可得，
所以，解得．
因为，所以，所以，
故．
（2）因为
，
所以数列是递增数列．
【点睛】解决数列的单调性问题可用以下三种方法：
①用作差比较法，根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列．
②用作商比较法，根据与的大小关系及的符号进行判断．
③结合相应函数的图象直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件．
4．（1）①；②存在，，或；（2）证明见解析
【分析】（1）①根据，先求出，再由，求出，即可得出；
②先假设存在满足条件的正整数满足题意，得出，设，研究其增减性，设，得，设，研究其增减性，进而可得出结果；
（2）因为，且、分别为前项中的最大项和最小项，所以，，设数列的公比为，显然，分别讨论，，，三种情况，即可得出结果.
【详解】解：①在中，令，得，解得，∴，
当时，，
综上.
显然为单调递增数列，所以，，所以.
②假设存在满足条件的正整数，则，所以，
设，则，所以，
由，得，∴，则，
当时，显然不成立，
当时，，
设，则，，得，
设，则恒成立，
所以数列单调递减，而，，，则时，恒成立，
故方程的解有且仅有，或，，
故满足条件的存在，，或.
（2）证明：因为，且、分别为前项中的最大项和最小项，
所以，，设数列的公比为，显然，
①当时，，得，
若，则，由与的含义可知与不可能同时成立，
故，则，则，，∴，∴，
所以数列是等比数列.
②当时，，得，
∴，∴恒成立，而，所以，∴恒成立，
∴，，代入得，即，
所以数列是等比数列.
③当时，，得，
∴，∴恒成立，而，所以，∴恒成立，
∴，，代入得，即，
所以数列是等比数列.
综上①②③，数列是等比数列.
【点睛】本题主要考查由递推关系求通项，数列增减性的应用，以及证明数列是等比数列，熟记数列的概念，以及数列的增减性等即可，属于常考题型.
5．(1)
(2)存在，最小项为，最大项为
【分析】(1)由递推式证明数列为等比数列，根据等比数列通项公式求其通项，再求数列的通项公式；(2)研究数列的单调性，由此确定其最值.
【详解】（1）因为当时，有，所以，
令，则，，又，所以，，所以数列为等比数列，公比为2，首项为2，
所以，所以，
（2）由（1）知，得，
，
当时，，，即；
当时，，，即；
当时，，，即，
所以数列是先增后减，最大项为，
因为当时，且数列是单调递增；当时，
所以数列的最小项为．
6．(1)；
(2)
(3)存在，所有的正整数对为及.
【分析】（1）设数列的公差，利用等差数列的通项公式基本量计算求出d＝1，从而，再由，推导出是首项为，公比为的等比数列，由此求出通项公式；
（2）由题意推导出公差，从而，利用公式得到，故，由此利用错位相减法能求出；
（3）由及第（2）问得到，求出当，n＝2，n＝3时的值，再利用导函数证明当时，有，即证，由此能求出所有的正整数对．
【详解】（1）设等差数列的公差为d，（d≠0），
则由，得，
因为，所以，
所以；
由，①
当时，，②
①﹣②，得，
∴，
又当时，，解得：，
∴是首项为，公比为的等比数列，
∴．
（2）在和之间插入n个数、、…、，使、、、…、、成等差数列，设公差为，
∴，
则，
∴，
∴，①
则，②
①﹣②得，
∴．
（3）假设存在正整数m，n，使成立，
．
，
当时，不合题意，
当n＝2时，，
当n＝3时，，
下证，当时，有，即证，
设，，则，
∴在上单调递增，
故时，，
∴，
∴时，m不是整数，
∴所有的正整数对为及.
【点睛】本题第二问和第三问有难度，第二问需要先理解题意，转化为等差数列通项公式和求和公式，结合错位相减法进行求解，而第三问则是数列与函数的综合，需要利用导函数来证明当时，有，即证，属于综合题，难度大．
7．（3）当时，.
【解析】(1 )对整理即可求, 从而求得公比q , 由等比数列通项公式求得 ,再对式子用 代得到两方程作差即可求得；
(2 )对的范围分类，然后将原不等式转化成恒成立，利用判断数列的单调性,从而求得的最大值，问题得以解决；
( 3 )对在新数列中的位置分析，求得在新数列中为第项,然后对分组求和，得, 利用单调性解出不等式，当时的情况即可求得的值.
【详解】因为是等比数列，且各项均为正数，所以，解得，公比，
所以，
因为，所以，
两式相减,得，所以当时，，因为当时，，所以，符合，
所以.
(2)因为，所以当时,原不等式成立, 当时,原不等式可化为，
设，则，则，
所以，即数列单调递减，
所以，,解得，
综上,
(3 )由题意可知,设在数列中的项为 , 则由题意可知，，所以当时，，设，解得，
当时，，因为且，
所以当时,
【点睛】本题考查等比数列的基本量和通项的求解，由数列的前项和得出数列的通项，考查研究数列的单调性解决不等式恒成立的问题，关于插入项构成新数列，解决恒成立的关键是运用数列的相邻作差或作商后判断数列的增减性，得出数列的最值，属于难度题.
8．(1)证明见解析；
(2)8
【分析】（1）利用化已知式得的递推关系，整理后得出是非零常数，得证结论；
（2）利用分组求和法与错位相减法求得和，设，证明数列是递增数列，估算后可得结论．
【详解】（1）∵，
∴时，，
两式相减得，，，
整理得：，
又，，，∴，
∴是等比数列；
（2）由（1）得，，，
，
记，则，
相减得，，
∴，
记，，
，∴是递增数列，
，，，因此满足题意的的最小值是8.
9．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）令，可得，可知数列为等差数列，即可得出；
（2）裂项可得，相加可得.根据的单调性即可证明.
【详解】（1）解：令，则由已知可得，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以.
（2）证明：由（1）可得，，
则，
因为单调递减，，显然，
所以有.
10．（1）；（2）证明见解析（3）最大值为3．
【解析】（1）当可得,等式两边同除,进而根据等差数列定义以及通项公式求解即可；
（2）将代入中,整理后得递推关系，再根据等比数列定义即可证明；
（3）当时可得,等式两边同除并设,则,利用累加法求得,即可求得,再判断数列的单调性,进而求解即可.
【详解】（1）当λ＝3时,有an+1＝3an+2×3n,
∴,
,则,
又∵,∴数列{bn}是首相为1,公差为的等差数列,
∴
（2）证明：当λ＞0且λ≠1且λ≠3时,
,
又∵,
∴数列是首项为,公比为λ的等比数列
（3）当λ＝4时,an+1＝4an+2×3n,
∴,
设pn,∴,
∴,
,
,
,
∴,
以上各式累加得:,
又∵,
∴,
∴,
∴,
,显然数列{an}是递增数列,
∴最小项为a1＝3,
∵对任意的n∈N*,都有an≥M,∴a1≥M,即M≤3,
∴实数M的最大值为3.
【点睛】本题考查等比数列的证明,考查由递推公式得数列的通项公式,考查数列的单调性的应用.
11．（1）证明见解析；（2）；（3）存在；的取值范围是.
【分析】（1）由题得①，②，②－①即得；
（2）由题得.，再对分奇数和偶数两种情况讨论，求出数列的通项公式；
（3）令，判断函数的单调性，求出其最大值，解不等式即得解.
【详解】（1）证明：∵①，
∴②
由②－①得，
∴.
（2）∵③
∴，④
④－③，得.
从而数列的奇数项依次成等差数列，且首项为，公差为；
数列的偶数项也依次成等差数列，且首项为，公差为.
在①中令得，又∵，∴.
在③中令得，∴.
∴当时，，；
∴当时，，；
综上所述，.
（3）令，则
且
∴，
∴单调递减，
∴.
∴不等式对一切正整数都成立等价于对一切正整数都成立，
等价于，即.
∴，即，
解之得，或.
综上所述，存在实数的适合题意，的取值范围是.
【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列的单调性的判定和最值的求法，考查数列不等式的恒成立问题的求解，考查不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
12．（1）；；（2）；（3）存在，
【分析】（1）分别代入和，结合解方程可求得结果；
（2）利用得，两式作差整理可得，从而证得数列为等差数列，由此可求得通项公式；
（3）由（2）可求得，将问题转化为恒成立，通过求解不等式右侧数列的单调性，可求得时取最小值，由此可得的取值范围.
【详解】（1）当时，，又，；
当时，，即，解得：.
（2）由得：，
，
则，，
两式作差得：，，
数列是以为首项，为公差的等差数列，.
（3）由（2）知：，，
，，
假设存在整数，使得对一切正整数都成立，
设，，
则，
为递增数列，，
由恒成立知：，
存在正实数，使得对一切正整数都成立.
【点睛】本题考查数列中的项的求解、求解数列的通项公式、恒成立问题的求解；求解数列通项公式的关键是能够灵活应用与的关系，证得所求数列为等差数列；处理恒成立问题的关键是将问题转化为参数与数列最值的关系，通过证明数列的单调性可求得最值，进而求得参数的取值范围.
13．（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）利用等差中项得出Sn与an的关系式，即可求出an；
（2）由题意可求出，然后利用等差数列前n项和公式可求；
（3）由题写出的表达式，构造函数，然后判断单调性，可求函数的最大值，即可解出答案.
【详解】（1）由题意知，即，又数列各项均为正数，
∴当时，，
当时，
∴，即，
∴数列为首项为1公差为1的等差数列，
故；
（2）∵，
∴，
所以当时，，
当时，
∴；
（3）由题知，
令，则，
∴，
故单调递减，于是
∴要得不等式对一切都成立，则.