二轮复习【数列专题】专题1数列的单调性微点2数列单调性的判断方法（二）——作差比较法、作商比较法

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微点2 数列单调性的判断方法（二）——作差比较法、作商比较法
【微点综述】
在高中数学的学习过程中，经常会借助数列的单调性来解决数列的最大项与最小项、数列与不等式、数列与函数、数列中恒成立等综合问题，把握住数列单调性的常用判定方法，常常对问题的解决起到事半功倍的效果.本文给出数列单调性的定义，并结合具体例题，重点介绍判断（证明）数列的单调性两种常用方法——作差比较法、作商比较法.
【典例刨析】
1.数列单调性的定义
若，则是递增数列；若，则是递减数列.递增数列与递减数列统称为单调数列.数列的递增、递减性质，称为数列的单调性.
2.用作差比较法判断数列的单调性
数列的单调性也可以用相邻项作差并比较符号来定义.
（1）若对任意的，均有成立，则称数列为常数数列.
（2）若对任意的，均有成立，则称数列为单调递增数列.
（若对任意的，均有成立，则称数列为单调不减数列）
若对任意的均有成立，则称数列为单调递减数列.
（若对任意的，均有成立，则称数列为单调不增数列）
（3）若存在，使得，且存在，使得，则称数列为不单调数列（摆动数列）.
例1
1．已知数列满足，证明：数列单调递减.
例2
2．已知数列满足，，，证明：数列不是单调数列．
【进一步的研究】
我们通过进一步研究可知：数列的奇数项数列单调递增，偶数项数列单调递减.证明如下：
证法一（作差法）：
，
又数列为正项数列，所以分母大于零，故与同号.因为，所以与均为正号，所以单调递减.
同理可得单调递增.
证法二（函数法）：令，因为在区间上为减函数，假设，则，即.同理可得.
由数学归纳法得单调递减.同理可得单调递增.
事实上，在同一个坐标系中作出与，图像的草图（图1.2-1），从图像可以非常清晰地看出，单调递减，单调递增，并且收敛于其极限位置（不动点）.
例3
3．设数列满足：试判断数列的单调性.
例4.（2023·湖南省临澧县第一中学高二开学考试）
4．已知公比的等比数列{}满足，．若，且数列是递增数列，则实数的取值范围是 ．
3.用作商比较法判断数列的单调性
若数列的各项为正数，也可以用相邻项作商判断（或证明）数列的单调性：
（1）若对任意的，均有成立，则称数列为常数数列.
（2）若对任意的，均有成立，则称数列为单调递增数列（若对任意的，均有成立，则称数列为单调不减数列）；
若对任意的均有成立，则称数列为单调递减数列（若对任意的，均有成立，则称数列为单调不增数列）.
例 5
5．能说明命题“若无穷数列满足，则为递增数列”为假命题的数列的通项公式可以为 ．
例 6
6．已知数列满足：，求证：数列是单调递减数列.
例 7
7．已知数列的通项公式是，试讨论此数列的单调性.
【针对训练】
8．已知数列的通项公式是，则（ ）
A．不是单调数列B．是递减数列C．是递增数列D．是常数列
9．设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则
A．B．C．D．
（2023·天津·高三期中）
10．数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
（2023·浙江·嘉兴一中高二期中）
11．在数列中， ，，则（ ）
A．数列单调递减B．数列单调递增
C．数列先递减后递增D．数列先递增后递减
（2022•宁波二模）
12．设，无穷数列满足：，，，则下列说法中不正确的是（ ）
A．时，对任意实数，数列单调递减
B．时，存在实数，使得数列为常数列
C．时，存在实数，使得不是单调数列
D．时，对任意实数，都有
（2022•浙江模拟）
13．已知数列满足：，.
（1）数列是单调递减数列；
（2）对任意的，都有；
（3）数列是单调递减数列；
（4）对任意的，都有.
则上述结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
（2023·北京·清华附中高三月考）
14．已知数列的通项公式为，，且为单调递增数列，则实数的取值范围是 ．
15．数列的通项公式为，若，则p的一个取值为 .
16．已知数列的通项公式为（其中是常数），若数列为严格增数列，则的取值范围为 .
17．已知数列满足，.设，，且数列是递增数列，则实数的取值范围是 .
18．数列满足：，，，.若，对，不等式恒成立，则实数的最大值为 .
参考答案：
1．证明见解析
【分析】利用即可证明.
【详解】证明：因为恒成立，
所以数列单调递减.
【点睛】方法点睛：
解决数列的单调性问题的两种有效方法：
（1）作差法：根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列；
（2）作商法：根据（或）与1的大小关系进行判断；
2．证明见解析
【分析】利用特殊值即可得证.
【详解】证明：∵，…，
∴不是单调数列．
3．单调递增数列.
【分析】根据给定条件，判断，再在时，作差变形证明与同号即可推理作答.
【详解】因为，，又，则对一切恒成立，
当时，，又，
即，又恒有，因此对任意，，与同号，
而，于是对任意，，即，
所以数列是单调递增数列.
4．
【分析】根据题意可得数列的通项公式，代入表示，根据数列是递增数列，所以得恒成立，参变分离以后计算可得答案.
【详解】解：由得，即，
又，所以解得，
因为，所以，解得，所以，
又，所以，
又因为是递增数列，所以恒成立，
即恒成立，所以，所以.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：关于数列的单调性应用的问题，一般需要计算判断其正负，将不等式再转化为恒成立问题，通过参变分离的方法求解或者.
5．
【分析】根据给定条件，数列首项为负并且是递减数列，写出符合该条件的一个通项作答.
【详解】因无穷数列满足，当时，，数列为递增数列，给定命题是真命题，
当时，，数列为递减数列，给定命题是假命题，
因此，取，显然有，，
所以.
故答案为：
6．证明见解析
【分析】利用递推关系式，可推得，利用作商法证明前后项大小关系即可证明单调性.
【详解】证明：由知，
则，当且仅当，即时，等号成立；
所以，即；
当时，，即，
故数列是单调递减数列.
7．答案见解析
【分析】因，讨论与1的大小即可.
【详解】，，
当；
则，可得；.
则，
得在时为单调递增数列，
在时为单调递减数列.
8．C
【分析】由与0比较即可得出答案.
【详解】因为，
所以是递增数列.
故选：C.
9．C
【详解】试题分析：因为是等差数列，则，又由于为递减数列，所以，故选C.
考点：1.等差数列的概念；2.递减数列.
10．A
【分析】根据以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可
【详解】由题意得数列为递增数列等价于对任意恒成立，
即对任意恒成立，故，
所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件，
故选：A
11．A
【分析】由数列递推式求出，可判断，将两边平方得，判断与 同号,结合，可判断，即得答案.
【详解】由 ，，得 ， ，且可知 ．
再由，两边平方得 ①，
则 ②，
②﹣①得： ，∴ ，
∵，∴与 同号,
由 ，可知， ，即 ，
可知数列单调递减．
故选：A．
12．D
【分析】当时，由可判断A；当时，由可得，即时，数列为常数列，可判断B；当、时，由可判断C；若，可得，进而可得，即可判断D；即可得解.
【详解】对于A，当时，，则即，所以对于任意实数，数列单调递减，故A正确；
对于B，当时，，若，则即，当即时，数列为常数列，故B正确；
对于C，当、时，，，， ，，故数列不是单调数列，故C正确；
对于D，当时，，所以，
所以，，
所以，
当时，，故D错误.
故选：D.
【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.
13．C
【解析】根据递推关系式求出数列前项即可判断（1）；根据数列的前项可得，从而可判断（2）；利用作商法，可判断（3）；利用迭代法、等比数列的通项公式可判断（4）.
【详解】由题可知，故（1）不正确；
因为.所以当时，，则，
故，故（2）正确；
由题意得，则，
故数列为单调递减数列，故（3）正确；
因为，所以，
故（4）正确.
综上，正确结论的个数为3，
故选：C.
【点睛】本题考查数列与不等式的综合、迭代法、通项公式与递推关系之间的推导，属于中档题.
14．
【分析】根据数列为单调递增数列，可得到相应的不等式恒成立，即可求得答案.
【详解】∵数列的通项公式为,
数列是递增数列，
∴，恒成立
即，恒成立，而随n的增大而增大，
即当时，取得最小值2，则，
所以实数 的取值范围是 ，
故答案为：.
15．（答案不唯一，只要满足“”即可）
【分析】依题意可得，即可得到，从而求出的取值范围，本题属于开放性问题，只需填写合适的值即可；
【详解】解：因为，且，
即，
所以，因为，所以当时，所以；
故答案为：（答案不唯一，只要满足“”即可）
16．
【分析】由题意对任意恒成立，从而可得答案.
【详解】数列为严格增数列，则
所以，即对任意恒成立
所以
故答案为：
17．
【解析】根据题意可得数列的通项公式，代入表示，根据数列是递增数列，所以得恒成立，参变分离以后计算.
【详解】由可得，数列是首项和公比均为的等比数列，所以，则，又因为是递增数列，所以恒成立，即恒成立，所以，所以.
故答案为：.
【点睛】关于数列的单调性应用的问题，一般需要计算判断其正负，将不等式再转化为恒成立问题，通过参变分离的方法求解或者.
18．
【分析】应用构造法求的通项公式，即得通项公式，进而讨论、研究题设不等式恒成立，在时构造并研究单调性，即可求的最大值.
【详解】由，可得，
∴数列是首项，公差的等差数列，则，
∴，由已知有：，
当时，显然符合题意，
当时，由已知得：.
设，则，
∴数列递增，则的最小值为，故只需.
故答案为：.