二轮复习【数列专题】专题1数列的单调性微点1数列单调性的判断方法（一）——定义法

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微点1 数列单调性的判断方法（一）——定义法
【微点综述】
在高中数学的学习过程中，经常会借助数列的单调性来解决数列的最大项与最小项、数列与不等式、数列与函数、数列中恒成立等综合问题，把握住数列单调性的常用判定方法，常常对问题的解决起到事半功倍的效果．本文给出数列单调性的定义，并结合具体例题，重点介绍判断（证明）数列单调性的常用方法——定义法．
【典例刨析】
1．数列单调性的定义
若，则是递增数列；若，则是递减数列．递增数列与递减数列统称为单调数列．数列的递增、递减性质，称为数列的单调性．
2．用定义法判断数列的单调性
1．对于数列，“”是“为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知数列满足，若数列是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（ ）
A．B．C．(-1，1)D．
3．已知数列满足，．设，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例（2022•渝中区校级月考）
4．设数列{an}满足（n∈N*）.
（1）若，则a2020＝ ；
（2）若数列{an}是正项单调递增数列，则a1的取值范围是 .
5．已知数列满足，且对于任意的，都有恒成立，则实数的取值范围 ．
6．已知数列满足：且．
(1)求证：；
(2)求证：．
【针对训练】
7．已知数列的通项公式是，那么这个数列是（ ）
A．摆动数列B．递减数列C．递增数列D．常数列
8．已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知且，函数，数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．（1，3）D．
10．已知数列中，，是公比为的等比数列，记，若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．已知数列满足：，，且是递增数列，则实数的取值范围是 ．
12．已知数列的通项公式，若对任意恒成立，则的取值范围是 .
13．已知函数，.
（1）求证：对任意，.
（2）试判断数列是否是递增数列，或是递减数列？
（2023·重庆·西南大学附中高三月考）
14．记为正项数列的前项和，且.
(1)证明：；
(2)记数列的前项积为，证明：数列是递增数列.
参考答案：
1．A
【分析】根据充分条件与必要条件的性质做判断.
【详解】充分性:若成立，则，所以必为递减数列．
必要性:若为递减数列，但可能不成立．如：，，，，，…．必要性不成立
所以“”是“为递减数列”的充分不必要条件．综上可知，
故选:A．
2．A
【分析】由题在恒成立，即 ，讨论为奇数和偶数时，再利用数列单调性即可求出.
【详解】数列是单调递减数列，在 恒成立，
即恒成立，
即，
当为奇数时，则恒成立，
单调递减， 时，取得最大值为 ，
，解得；
当为偶数时，则恒成立，
单调递增， 时，取得最小值为20，
，解得，
综上，.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查已知数列单调性求参数，解题的关键由数列单调性得出恒成立，需要讨论 为奇数和偶数时的情况，这也是容易出错的地方.
3．C
【分析】首先求出数列的通项公式，即可得到，依题意可得对于任意的恒成立，即可得到不等式，参变分离可得，再根据二次函数的性质求出的取值范围；
【详解】解：因为，，所以，即是以为首项、为公比的等比数列，所以，所以，因为数列是单调递增数列，所以对于任意的恒成立，即，即，即，因为在上单调递增，所以当时，，所以，即；
故选：C
4．
【分析】（1）若，可得，即可得出结果；（2）由数列是正项单调递增数列，利用定义得到，进一步得到，即可求出的范围.
【详解】（1）若，
则，
故数列为常数列，
故.
（2）若数列是正项单调递增数列，
则对于任意，
且；
又此时，
故，
可得或（舍去），
综上所述，的取值范围是.
故答案为：；.
5．
【分析】根据题意，可知，即可得出，再分类讨论n为奇数和偶数时实数的不同取值范围，取交集即可．
【详解】，，
两式相减得：，
对于任意的，都有恒成立，对于任意的，都有恒成立，对于任意的恒成立，
当时，，由单调递增，则；
当时，，因为单调递减，则．
综上所述，实数的取值范围是：．
故答案为：
6．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先利用数学归纳法证明，然后用不等式的性质即可求证；
（2）由可得到即可求证
【详解】（1）以下证明，
①当时，满足；
②假设当时，，所以
所以满足，
所以由①②可得，
故，
即
，故得证．
（2）由，得
7．C
【分析】利用作差法判断.
【详解】因为，
所以数列是递增数列，
故选：C
8．D
【分析】根据递增数列的定义建立不等式组，解之可得选项.
【详解】解：若是递增数列，则，即，解得，
即实数的取值范围是．
故选：D．
9．D
【分析】根据数列的定义，只要，以及是增函数即可得．
【详解】因为是递增数列，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
故选：D．
10．A
【分析】由递推关系得，结合若不等式对一切恒成立，代入解得或，分别讨论在这两个范围内的条件满足情况，从而解得参数a的范围.
【详解】由知，，
则
，
解得或，
若，则不可能对一切正整数成立；
若，则对一切正整数成立，只需即可，
即，
解得
故选：A
11．
【分析】根据题意是递增数列可知，进而可得不等式恒成立，即得.
【详解】是递增数列，且对于任意的，都有成立
对于任意，，，
化为：恒成立，
又单调递减，
所以．
故答案为：.
12．
【详解】试题分析：由已知可得，，由条件得，解之得.
考点：1、递推公式；2、数列前项和为；3、等差数列.
【方法点晴】本题考查递推公式、数列前项和为、等差数列，涉及分类讨论思想、方程思想、特殊与一般思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.根据分类讨论思想可得，，再由对任意恒成立可建立不等式组，解之得.
13．（1）证明见解析；（2）是递增数列.
【分析】（1）将代入函数解析式，分离常数证得结果；
（2）利用随的增大，式子的变化趋势，得到其为递增数量.
【详解】（1），
（2）∵，
当变大时，变大，变小，变大，
∴是递增数列.
【点睛】该题考查的是有关数量的问题，涉及到的知识点有根据数量的通项公式，判断项的范围和数列的单调性，属于简单题目.
14．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）当时，求得，当时，由，得，两式相减化简可证得结论；
（2）由（1）可得当时，，化简后可得，则可得数列是以1为公差，1为首项的等差数列，所以可求出，，令，从而可求出，然后求即可得结论.
【详解】（1）证明：当时，，因为，所以，
当时，由，得
，
所以，
因为，所以，
所以，
当时，满足上式，
所以；
（2）由（1）得，则，
当时，，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以数列是以1为公差，1为首项的等差数列，
所以，，
令，
所以
，
所以
，
所以，
所以数列是递增数列.