二轮复习【数列专题】专题1数列的单调性微点9数列单调性的判断方法（九）——数列单调性的应用

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微点9 数列单调性的判断方法（九）——数列单调性的应用
【微点综述】
函数的单调性在求函数的最值、不等式、函数的图像等方面被广泛应用，作为一种特殊的函数，数列是一种定义在正整数集（或其子集）上的特殊的函数，因此它也像函数一样具有单调性．单调性是数列的一个重要性质，数列单调性的应用也是非常广泛的.近年来随着递推数列及数列不等式的深入研究和频繁出现，数列单调性的判别法逐渐被重视，本文结合具体例子，说明高中数列单调性在解题中的应用．
【典例刨析】
一、数列单调性应用于求解数列的最值项
1．数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列中是否存在最大项和最小项？若存在，求出相应的最大项或最小项；若不存在，说明理由．
二、数列单调性应用于求解应用题中的最值
2．某企业2015年的纯利润为500万元,因为企业的设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不进行技术改造,预测从2015年开始,此后每年比上一年纯利润减少20万元.如果进行技术改造,2016年初该企业需一次性投入资金600万元,在未扣除技术改造资金的情况下,预计2016年的利润为750万元,此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元.
(1)设从2016年起的第n年(以2016年为第一年),该企业不进行技术改造的年纯利润为万元;进行技术改造后,在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为万元,求和;
(2)设从2016年起的第n年(以2016年为第一年),该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元,进行技术改造后的累计纯利润为万元,求和;
(3)依上述预测,从2016年起该企业至少经过多少年,进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润?
三、数列单调性应用于证明不等式
例3．（2023上海中学期末考试）
3．已知数列满足，.
(1)写出数列的前四项；
(2)判断数列的单调性；
(3)求证：.
四、数列单调性应用于求解不等式恒成立问题
4．已知数列的前项和为，，，记数列的前项和为.若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例5．（2023北京东城区上学期期末考试）
5．对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的.若这样的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，下列结论正确的是（ ）
A．若，则数列是无界的B．若，则数列是有界的
C．若，则数列是有界的D．若，则数列是有界的
6．设为常数，且．
(1)证明对任意；
(2)假设对任意，有，求的取值范围．
五、数列单调性应用于判断某个数是不是数列中的项
7．已知数列是公差不为零的等差数列，函数是定义在上的单调递增的奇函数，数列的前项和为，对于命题：
①若数列为递增数列，则对一切，；
②若对一切，，则数列为递增数列；
③若存在，使得，则存在，使得；
④若存在，使得，则存在，使得；
其中正确命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．已知函数的图像过点和.
（1）求函数的解析式；
（2）记是正整数，是的前n项和，解关于n的不等式；
（3）对于（2）中的数列，整数是否为中的项？若是，则求出相应的项；若不是，则说明理由.
本文介绍了数列单调性的应用，除了上述几种应用之外，数列单调性的应用还很多．研究数列的单调性解决最值问题，函数、导数、数列、三角、解析几何等网络交汇处的综合问题往往成为高考的压轴问题．因此，数列单调h}的应用值得引起广大高中教师和学生高度重视．
【针对训练】
9．已知数列满足，，若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
（2023广东肇庆二模）
10．设数列的前项和为，且.若对任意的正整数，都有成立，则满足等式的所有正整数为（ ）
A．1或3B．2或3C．1或4D．2或4
11．已知数列满足，，则的最小值为（ ）
A．10.5B．10.6C．10.4D．10.7
12．已知数列的前项和为，，且（λ为常数）．若数列满足，且，则满足条件的的取值可以为（ ）
A．5B．6C．7D．8
（2023上海奉贤致远高中上学期期中）
13．已知数列{}的通项公式为，若，分别是该数列的最大项和最小项，则i＋j＝ ．
（2023江西赣州1月期末考试）
14．已知数列满足，，，是递增数列，是递减数列，则 ．
（2023湖北部分重点中学联考）
15．已知数列中，，当时，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列中是否存在最大项与最小项？若存在，求出最大项与最小项；若不存在，说明理由.
16．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同．为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少万辆？
17．设函数（其中），，
（1）求的值
（2）设写出与的递推关系，并求的通项公式.
（3）设数列的通项公式为,数列的前项和为，
问1000是否为数列中的项？若是，求出相应的项数，若不是，请说明理由.
18．数列满足，，.
(1)分别求数列和的通项公式；
(2)设，，若对任意正整数，不等式恒成立，求满足条件的整数的集合；
(3)若，，判断是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出通项．
19．设是公差不为零的等差数列，满足，，设正项数列的前项和为，且．
（1）求数列和的通项公式；
（2）在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；；在和之间插入个数、、、，使、、、、、成等差数列．
① 求；
② 对于①中的，是否存在正整数、，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．
20．【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题】已知等差数列{an}和等比数列{bn}均不是常数列，若a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比数列， 4b2，2b3，b4成等差数列．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k（i＜j＜k），使得ambj，amanbi，anbk成等差数列，求m＋n的最小值；
（3）令cn＝，记{cn}的前n项和为Tn，{ }的前n项和为An．若数列{pn}满足p1＝c1，且对n≥2, n∈N*，都有pn＝＋Ancn，设{pn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜4＋4lnn．
参考答案：
1．(1)，
(2)存在最大项和最小项，最大项为第四项，最小项为第三项
【分析】（1）由题意得，与原式相除可得，利用累加法，即可得通项.
（2）设，分析可得数列是摆动数列，所有奇数项均为负数，所有偶数项均为正数，分别讨论数列的奇数项和偶数项，根据数列的单调性，分析求解，综合即可得答案.
【详解】（1）因为，
所以
两式相除得，
又当时，满足上式，所以
从而，
所以，
，，
累加可得时，则，
又当时，亦符合该通项，
所以的通项公式为，．
（2）设，则数列是摆动数列，所有奇数项均为负数，所有偶数项均为正数．
所以若出现最大项，一定在偶数项出现；若出现最小项，一定在奇数项出现．
（i）考查奇数项，令，解得，此时，
又，且，所以,
所以有，这表明数列的最小项为．
（ii）考查偶数项，令，解得，此时，
又，即，
所以有，这表明数列的最大项为．
综上所述，存在最大项和最小项，最大项为第四项，最小项为第三项．
【点睛】解题的关键是熟练掌握由递推与通项、累加法等求通项的方法，难点在于分析得为摆动数列，结合数列的单调性，分奇偶讨论最大和最小，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
2．(1) ,(2) ,(3) 至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润.
【分析】(1)利用等差数列、等比数列的通项公式求和
(2) 是数列的前项和，是数列的前项和减去600，利用等差数列和等比数列的前项和公式求出即可
(3)作差，利用函数的单调性，即可得出结论
【详解】(1)由题意得 是等差数列，
所以
由题意得
所以
所以是首项为250，公比为的等比数列
所以
所以
(2) 是数列的前项和
所以
是数列的前项和减去600，所以
(3)
易得此函数当时单调递增
且时
时
所以至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润
将超过不进行技术改造的累计纯利润.
【点睛】本题考查的是数列的综合知识，包含通项公式的求法、前n项和的求法及数列的单调性.
3．(1)，，，
(2)严格增数列
(3)证明见解析
【分析】（1）由递推公式直接求解；（2）利用作差法证明出的单调性；（3）利用数学归纳法证明.
【详解】（1）因为数列满足，，
所以，，.
（2）因为，所以，所以.
所以数列为严格增数列.
（3）用数学归纳法证明：
当时，有显然成立；
假设时，命题成立，即.
所以当时，只需证明成立即可.
先证明左边.
由于随的增大而增大，所以有，
只需证，两边平方得：，化简得：，显然成立.
再证右边.
由于随的增大而增大，所以有，
只需证，
化简得：，
展开，整理得：，
再平方，左边，
右边，
所以左边