高二数学开学摸底考（文科全国甲卷、乙卷专用）-2023-2024学年高中下学期开学摸底考试卷.zip

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一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．4 14．7
15． / 16．
三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
（1）设圆心坐标为，因圆过点,故有,即：，.……..2
解得：，.……..3则,圆的半径为，故圆的方程为：..……..5
（2）
如图，直线经过的点恰好在圆上，因直线被圆截得的弦长为2，故其斜率一定存在，设直线为，
即，过点作,垂足为，则,又,故得：,.……..8
即点到直线的距离为，解得：或，即直线的方程为：或..……
18．（12分）
（1）因为，.……..2
因为，所以没有95%的把握认为男性和女性在选购羽绒服时的关注点有差异．.……..4
（2）选出的女性人数为，选出的男性人数为.……..6
7人中任选2人的总方法数为种，.……..8
选取的两人都为女性的方法数为种，.……
故所求的概率为.……
19．（12分）
（1）甲能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为；.……..1
乙能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为；.……..2
丙能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为；.……..3
由于他们之间通过与否互不影响,
所以甲乙两人都能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率，
解得：，.……..5
乙丙都不能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为，解得：，.……..6
（2）结合（1）问可知：这3人都不能代表A社区参加市知识竞赛的概率:
，.……..8
所以这3人至少一人参加市知识竞赛的概率为：..……..9
（3）由题意可得：要使奖金之和为1200元，则只有两人参加决赛，记“甲，乙，丙三人获得的奖金之和为1200元”为事件B,
则..……
20．（12分）
（1）设点，，
由已知可得圆，圆心，半径，.……..1
则，.
因为，
所以有，..……..3
又点在圆上运动，所以有，
所以，，
整理可得.
所以，动点的轨迹方程，圆心为点..……..5
（2）设，为的中点，
因为，所以..……..6
又，所以，即圆心到直线的距离为1..……..8
当直线斜率不存在时，方程为，此时圆心到直线的距离为1，满足题意；
当直线斜率存在时，设斜率为，
直线方程为，即.
因为圆心到直线的距离为1，
所以有，解得，.……
所以直线的方程为，整理可得.
综上所述，直线的方程为或..……

21．（12分）
（1）证明：因为三棱柱是直三棱柱，
所以平面ABC..……..2
因为平面ABC，
所以..……..3
因为，平面，
所以平面..……..5
又因为平面，
所以平面平面..……..6
（2）由（1）知，平面，
所以是三棱锥的底面上的高..……..7
因为，
所以..……..9
因为D是的中点，
所以..……
因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
所以三棱锥的体积..……
22．（12分）
（1）因为椭圆的离心率为，所以，.……..2
又因为椭圆经过点，
所以有，而，所以解得，.……..4
所以椭圆的方程为；.……..5
（2）由（1）知，，
所以以为直径的圆的方程为，.……..6
∴圆心到直线l的距离，
∴..……..7
设，由，得，
恒成立，
由根与系数的关系可得，
，
∴，.……..9
所以，
由，得 ，.……
解得，∴直线l的方程为或..……
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
D
B
D
B
B
C
B
A
A
D
A