【开学摸底考】高三文科数学（全国甲卷、乙卷通用）-2023-2024学年高中下学期开学摸底考试卷.zip

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：高考全部内容。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】计算出集合后，由并集的性质运算即可得.
【详解】由得，则，
所以.
故选：A．
2．已知复数满足，则（ ）
A．3B．C．7D．13
【答案】B
【分析】由题设可得，令，且，结合复数乘方运算求参数，即可得模.
【详解】由题设，
令，且，则
所以，故，故.
故选：B
3．若实数，满足，则的最大值为（ ）
A．5B．7C．9D．6
【答案】C
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求的最大值．
【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
设得，
平移直线，
由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，
此时最大．
由，解得，即，
代入目标函数得．
即目标函数的最大值为
故选：C．
4．已知角满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角和差的正弦公式进行求解即可.
【详解】，，，
故选：B
5．执行下面的程序框图，则输出的的值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【分析】运行程序，然后计算输出的的值.
【详解】运行程序，，
，判断否，，
，判断否，，
，判断否，，
以此类推，……，
，判断否，，
，判断是，输出.
故选：B
6．某人统计了甲、乙两家零售商店在周一到周五的营业额（单位：百元）情况，得到了如下的茎叶图（其中茎表示十位数，叶表示个位数），关于这5天的营业额情况，下列结论正确的是（ ）
A．甲、乙两家商店营业额的极差相同
B．甲、乙两家商店营业额的中位数相同
C．从营业额超过3000元的天数所占比例来看，甲商店较高
D．甲商店营业额的方差小于乙商店营业额的方差
【答案】C
【分析】对于A，由极差的定义，即最大值减最小值即可判断；对于B，由中位数的定义判断即可（从小到大排列数据）；对于C，直接由茎叶图即可判断；对于D，由方差公式运算即可判断.
【详解】A选项：甲商店营业额的极差为10，乙商店营业额的极差为8，故A错误；
B选项：甲商店营业额的中位数为32，乙商店营业额的中位数为30，故B错误；
C选项：甲商店营业额超过3000元的天数为3，乙商店营业额超过3000元的天数为2，故从营业额超过3000元的天数所占比例来看，甲商店较高，故C正确；
D选项：甲商店营业额的平均值为，乙商店营业额的平均值为，
故甲商店营业额的方差，
乙商店营业额的方差，则，故甲商店营业额的方差大于乙商店营业额的方差，故D错误.
故选：C.
7．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用对数函数的单调性、中间值法以及指数函数的单调性可得出、、的大小关系.
【详解】因为，，
又因为，
所以，，
所以，，即.
故选：C.
8．已知函数的定义域为，为偶函数，，，则（ ）
A．B．C．0D．
【答案】A
【分析】根据题目条件推出函数的一个周期，从而得到，再根据和得到答案.
【详解】因为为偶函数，所以，
所以，
因为，故，
即，所以，
故，
故函数的一个周期，
故，
中，令得，，
因为，所以，
故.
故选：A
9．如图是四棱锥的平面展开图，四边形是矩形，，，，，，则在四棱锥中，与平面所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出直观图，证明出线面垂直，得到即为与平面所成角，求出各边长，求出正切值.
【详解】如图，四棱锥中，
由题意得，，
又，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
又四边形是矩形，所以⊥，
因为，平面，
所以⊥平面，
故即为与平面所成角，
其中，
，，
所以，
又，，由勾股定理得，
所以.
故选：D
10．若，是函数的两个不同的零点，且，，这三个数可适当排序后成等比数列，也可适当排序后成等差数列，则关于的不等式的解集为（ ）
A．{或}B．{或}
C．{或}D．{或}
【答案】C
【分析】利用等差中项与等比中项的性质分类讨论解不等式即可.
【详解】依题意，由，是函数的两个不同的零点，
可知，是一元二次方程的两个不同的根，
由根据根与系数的关系，可得，
因为，所以，
又因为，，这三个数可适当排序后成等比数列，
所以只有为该等比数列的等比中项才满足题意，
即，
因为，，这三个数可适当排序后成等差数列，
所以只有不能为该等差数列的中项，
当为等差中项时，
根据等差中项的性质有，
当为等差中项时，
根据等差中项的性质有，
综合，可得，
所以不等式，解得或.
故选：C
11．等腰三角形ABC内接于半径为2的圆O中，，且M为圆O上一点，的最大值为（ ）
A．2B．6C．8D．10
【答案】B
【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示，结合三角函数性质求解作答.
【详解】以圆O的圆心O为原点，射线OA为x轴建立平面直角坐标系，连接，如图，
因为，则，
而圆O的方程为，设点，
于是，
，
当且仅当，即时，，
所以的最大值为6.
故选：B
12．已知点在曲线上，那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】与相切于点，由几何意义得到最小值为0，当不与重合时，作出辅助线，由几何意义得到，求出最大值，从而得到取值范围.
【详解】可看作到直线的距离，
可看作到点的距离，
如图所示，
联立与得，，
则，此时，解得，故，
故与相切于点，
此时取得最小值，最小值为0，
当不与重合时，过点作⊥于点，
则，
数形结合可知，当运动至时，，
此时取得最大值，最大值为，
故的取值范围是.
故选：D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知函数，若直线与曲线相切，则 .
【答案】/
【分析】根据切线的斜率求出切点，再代入切线方程即可得解.
【详解】设切点为，
，
由题意可得，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
又，所以，
所以切点为，
则，解得.
故答案为：.
14．已知具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，若，椭圆与双曲线的离心率分别记作，则的最小值为 ．
【答案】/4.5
【详解】设椭圆中长半轴长为，双曲线中实半轴长为，椭圆与双曲线的焦距为，
则，即可得，
由P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，
可得，
两式相加得：，即，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故答案为：
15．已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，平面，，，且与平面所成角的正弦值为，则该球的表面积为 .
【答案】
【分析】求出三角形外接圆圆心，过作平面，且，则为三棱锥的外接球球心，求出半径即可求得球的表面积.
【详解】
如图根据题意，平面，
所以即为与平面所成角，则，
又因为，，
所以，则,
又，即三角形为直角三角形，
取中点，则为三角形外接圆圆心，
取中点，则，且，
所以，即为三棱锥的外接球球心，
其半径，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：
16．在中，角、、的对边分别为、、，若，且，则当边取得最大值时，的周长为 .
【答案】/
【分析】由正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可得出角的值，利用正弦定理可求得的最大值及其对应的的值，进而可求得的值，由此可得出的周长.
【详解】因为，由正弦定理可得，
即，
整理可得，
因为、，所以，，则，故，
由正弦定理可得，
整理可得，
因为，当时，取最大值，且的最大值为，
此时，，
，所以，，
因此，当边取得最大值时，的周长为.
故答案为：.
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）某高中组织学生参加线上新冠肺炎防控知识竞答活动，现从参与答题的男生､女生中分别随机抽取20名学生的得分情况（满分100分），得到如下统计图：
(1)学校对得分80分以上的学生，颁发“知识达人”荣誉称号.根据直方图补全2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为是否为“知识达人”与性别有关.
(2)从成绩在的学生中，按分层抽样抽取6人，再从6人中随机抽取3人，求恰有1人成绩在的概率.
附：，其中.
【详解】（1）
2分.2分
∴没有90%的把握认为是否为“知识达人”与性别有关.6分
（2）按分层抽样成绩在的抽2人，成绩在的抽4人.7分
记成绩在的2人为A，B，成绩在的4人为C，D，E，F，
则从这6人随机抽取3人的所有情况为：
ABC,ABD,ABE,ABF,ACD,ACE,ACF,ADE,ADF,AEF,BCD,BCE,BCF,BDE,BDF,BEF,CDE,CDF,CEF,DEF，共20种情况，9分
其中恰有1人成绩在有ACD,ACE,ACF,ADE,ADF,AEF,BCD,BCE,BCF,BDE,BDF,BEF，12种情况，
10分
所以所求概率为.12分
18．（12分）已知数列的前n项和为，且，．
(1)求的值；
(2)若，求数列的通项公式．
【详解】（1）因为，
所以．
两式相减，得．2分
所以4分
；5分
（2）由（1）知①，
可得②，．6分
因为，，
所以，又，
所以
又由①②得．8分
所以，即，n为偶数，9分
则当，且为奇数时，，10分
又符合上时，11分
综合得．12分
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面分别是中点.
(1)判断直线与平面的位置关系；
(2)若与平面所成角为，求到平面的距离.
【详解】（1）设是的中点，连接，由于是的中点，
所以，1分
而，所以，所以四边形为平行四边形，3分
所以，由于平面，平面，
所以平面.5分
（2）连接，6分
由于平面，所以直线与平面所成角为，
由于平面，所以，7分
由于，所以，所以.
由（1）得平面，所以到平面的距离等于到平面的距离，
，，
对于三角形，，
所以为钝角，所以，
所以，10分
，设到平面的距离为，
由得，
所以到平面的距离为. 12分
20．（12分）已知函数．
(1)当时，求的最小值；
(2)若，判断的零点个数．
参考数据：，．
【详解】（1）当时，，则，1分
易知单调递增，且，2分
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以．4分
（2）由题，，又，所以单调递增，5分
因为，
所以存在唯一的，使， 7分
且当时，单调递减，
当时，单调递增．
又，
所以在内有1个零点．9分
令，则，
令，则．
所以单调递增，，
所以单调递增，，
即，故在内有1个零点．11分
综上，当时，的零点个数为2．12分
21．（12分）设 分别为椭圆: 的左、右焦点，是椭圆 短轴的一个顶点，已知 的面积为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)如图， 是椭圆上不重合的三点，原点是的重心
（i）当直线 垂直于 轴时，求点 到直线 的距离；
（ii）求点 到直线 的距离的最大值.
【详解】（1）由题意得3分
整理得解得4分
所以椭圆得方程为.5分
（2）（i）设,根据题意有.
因为原点是的重心，所以，
即，.6分
将，代入解得，所以.
所以到直线 的距离为.7分
（ii）由（i）知当直线斜率不存在时到直线 的距离为.
当斜率存在时，设所在直线方程为，.
由得，
且，即.
所以. 9分
因为原点是的重心，所以
所以，所以.10分
将点代入椭圆方程得并整理可得
所以点到直线的距离为
.11分
综上所述，当与轴垂直时点到直线的距离最大为12分
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）在直角坐标系中，已知曲线（其中），曲线（为参数，），曲线（t为参数，）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求的极坐标方程；
(2)若曲线与分别交于两点，求面积的最大值．
【详解】（1）因为曲线（其中），且，1分
所以的极坐标方程为，即.2分
（2）由题意可知：曲线（为参数，）表示过坐标原点，倾斜角为的直线，
所以曲线的极坐标方程为；4分
曲线（t为参数，），即，
表示过坐标原点，倾斜角为的直线，所以曲线的极坐标方程为；5分
可得，7分
注意到，则，8分
可得面积，
当且仅当，即时，等号成立，
所以面积的最大值为1.10分
选修4-5：不等式选讲
23．（10分）已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若不等式恒成立，求实数的值．
【详解】（1）解：当时，．
当时，，恒成立，故；1分
当时，，由，得，故；2分
当时，，无解．3分
故不等式的解集为．5分
（2）由，得，
令，，
作出函数的图象及当时函数的图象，7分
如图所示，
9分
数形结合可知当时，恒成立，故．10分
性别
成绩
男生
女生
合计
80分以上
80分以下
合计
20
20
40
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
性别
成绩
男生
女生
合计
80分以上
6
9
15
80分以下
14
11
25
合计
20
20
40