人教A版（2019）必修第二册 第十章 10.1.2 事件的关系和运算（教学课件）

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第十章　§10.1　随机事件与概率10.1.2　事件的关系和运算学习目标XUE XI MU BIAO1.理解事件的关系和运算.2.通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PART ONE知识点一　事件的关系一定包含A＝B知识点二　并事件与交事件至少同时A∩B(或AB)知识点三　互斥事件和对立事件不能同时有且仅有一个思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.若A，B表示随机事件，则A∩B与A∪B也表示事件.(　　)2.若两个事件是互斥事件，则这两个事件也是对立事件.(　　)3.若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件.(　　)4.若事件A与B是互斥事件，则在一次试验中事件A和B至少有一个发生.(　　)√×√×2题型探究PART TWO例1　某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”.判断下列事件是否为互斥事件，如果是，判断它们是否为对立事件.(1)A与C；一、互斥事件和对立事件的判断解　由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.(2)B与E；解　事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件.由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件.(3)B与D；解　事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件.(4)B与C；解　事件B“至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”，“只订乙报”，“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”.即事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件.(5)C与E.解　由(4)的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件.判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们在一次试验中能否同时发生，若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件；判断两个事件是否为对立事件，主要看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生.这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件.跟踪训练1　(1)从一批产品中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品不全是次品}，则下列结论正确的序号有________.①A与B互斥；②B与C互斥；③A与C互斥；④A与B对立；⑤B与C对立.①②⑤解析　A＝{三件产品全不是次品}指的是三件产品都是正品，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品不全是次品}包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件，由此知：A与B是互斥事件，但不对立；A与C是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件；B与C是互斥事件，也是对立事件.所以正确结论的序号有①②⑤.(2)有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是A.互斥但非对立事件 B.对立事件C.非互斥事件 D.以上都不对√解析　由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件.二、事件的运算例2　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？解　对于事件D，可能的结果为：1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A∪B.(2)事件C与A的交事件是什么事件？解　对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.延伸探究在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？解　由事件C包括的可能结果有1个红球、2个白球，2个红球、1个白球，3个红球三种情况，故B⊆C，E⊆C，而事件F包括的可能结果有1个白球、2个红球，2个白球、1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球、2个白球，2个红球、1个白球}＝D.事件间的运算方法(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.跟踪训练2　在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；解　因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.解　因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6).同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.三、随机事件的表示及含义例3　设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.(1)三个事件都发生；解　ABC.(2)三个事件至少有一个发生；解　A∪B∪C.(3)A发生，B，C不发生；(4)A，B都发生，C不发生；(5)A，B至少有一个发生，C不发生；(6)A，B，C中恰好有两个发生.延伸探究本例条件不变，试用A，B，C表示以下事件.(1)三个事件都不发生；(2)三个事件至少有两个发生.清楚随机事件的运算与集合运算的对应关系有助于解决此类问题.跟踪训练3　5个相同的小球，分别标上数字1,2,3,4,5，依次有放回的抽取两个小球.记事件A为“第一次抽取的小球上的数字为奇数”，事件B为“抽取的两个小球上的数字至少有一个是偶数”，事件C为“两个小球上的数字之和为偶数”，试用集合的形式表示A，B，C，A∩B，解　总的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，B＝{(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,2)，(5,4)}，C＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)}.A∩B＝{(1,2)，(1,4)，(3,2)，(3,4)，(5,2)，(5,4)}，3随堂演练PART THREE123451.某人射击一次，设事件A为“击中环数小于4”，事件B为“击中环数大于4”，事件C为“击中环数不小于4”，事件D为“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是A.A与B为对立事件 B.B与C为互斥事件C.C与D为对立事件 D.B与D为互斥事件√123452.抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为A.至多有2件次品 B.至多有1件次品C.至多有2件正品 D.至少有2件正品√解析　至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品.共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品.3.(多选)设A，B是两个任意事件，下面关系正确的是A.A＋B＝A B.A＋AB＝AC. D.A(A＋B)＝A√√解析　若A＋B＝A，则B⊆A，故A错误；由题知，AB⊆A∴A＋AB＝A，B正确；∵A⊆(A＋B)，∴A(A＋B)＝A，D正确.12345123454.甲、乙两人破译同一个密码，令甲、乙破译出密码分别为事件A，B，则 表示的含义是__________________，事件“密码被破译”可表示为______________.只有一人破译密码123455.从0,1,2,3,4,5中任取两个数字组成一个两位数.事件A表示组成的两位数是偶数，事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件A∩B用样本点表示为__________________________.{10,20,30,40,50,32,42,52,54}课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：(1)事件的包含关系与相等关系.(2)并事件和交事件.(3)互斥事件和对立事件.2.方法归纳：列举法、Venn图法.3.常见误区：互斥事件和对立事件之间的关系易混淆.4课时对点练PART FOUR基础巩固1.从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A “所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是A.所取的3个球中至少有一个白球B.所取的3个球中恰有2个白球1个黑球C.所取的3个球都是黑球D.所取的3个球中恰有1个白球2个黑球√1234567891011121314151612345678910111213141516解析　从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，事件A的互斥事件是所取的3个球中多于1个白球，∴事件A的互斥事件是所取的3个球中恰有2个白球1个黑球.故选B.123456789101112131415162.许洋说：“本周我至少做完三套练习题.”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为A.至多做完三套练习题 B.至多做完两套练习题C.至多做完四套练习题 D.至少做完两套练习题√解析　至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6，…套练习题，故它的对立事件为做完0,1,2套练习题，即至多做完2套练习题.123456789101112131415163.向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件A表示两次点数之和小于10，事件B表示两次点数之和能被5整除，则事件 用样本点表示为A.{(5,5)} B.{(4,6)，(5,5)}C.{(6,5)，(5,5)} D.{(4,6)，(6,4)，(5,5)}√A.必然事件 B.不可能事件C.A与B恰有一个发生 D.A与B不同时发生√12345678910111213141516123456789101112131415165.(多选)某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥事件的是A.“恰有一名男生”和“全是男生”B.“至少有一名男生”和“至少有一名女生”C.“至少有一名男生”和“全是男生”D.“至少有一名男生”和“全是女生”√√12345678910111213141516解析　A是互斥事件，恰有一名男生的实质是选出的两人中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；B不是互斥事件，当选出的两人是一男一女时，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”同时发生；C不是互斥事件；D是互斥事件.123456789101112131415166.设某随机试验的样本空间Ω＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{2,3,4}，B＝{3,4,5}.则：(1)A∪B＝_________；(2) ∩B＝____.{2,3,4,5}{5}7.在某大学的学生中任选一名学生，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是大三学生，事件C表示该生是运动员，则事件的含义是______________________________.12345678910111213141516该生是大三男生，但不是运动员123456789101112131415168.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A，B，C，D，E，则事件取出的是理科书可记为__________.B∪D∪E9.从某大学数学系图书室中任选一本书.设A＝{数学书}；B＝{中文版的书}；C＝{2000年后出版的书}.问：(1)A∩B∩ 表示什么事件？12345678910111213141516解　A∩B∩ ＝{2000年或2000年前出版的中文版的数学书}.(2)在什么条件下有A∩B∩C＝A?解　在“图书室中所有数学书都是2000年后出版的且为中文版”的条件下才有A∩B∩C＝A.12345678910111213141516(3)如果 ＝B，那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的？解　是. ＝B意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书.10.连续抛掷两枚骰子，观察落地时的点数.记事件A＝{两次出现的点数相同}，事件B＝{两次出现的点数之和为4}，事件C＝{两次出现的点数之差的绝对值为4}，事件D＝{两次出现的点数之和为6}.(1)用样本点表示事件C∩D，A∪B；解　由题意得，事件A＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}，事件B＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}，事件C＝{(1,5)，(2,6)，(5,1)，(6,2)}，事件D＝{(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}.C∩D＝{(1,5)，(5,1)}，A∪B＝{(1,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}.1234567891011121314151612345678910111213141516(2)若事件E＝{(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(5,1)，(6,2)}，则事件E与已知事件是什么运算关系？解　E＝B∪C.综合运用11.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是A.A⊆D B.B∩D＝∅C.A∪C＝D D.A∪B＝B∪D√123456789101112131415161234567891011121314151612.(多选)一箱产品有正品4件、次品3件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有A.“恰有1件次品”和“恰有2件次品”B.“至少有1件次品”和“都是次品”C.“至少有1件正品”和“至少有1件次品”D.“至少有1件次品”和“都是正品”√√12345678910111213141516解析　对于A，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，与“2件都是次品”显然是互斥事件；对于B，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是次品”可能同时发生，因此这两个事件不是互斥事件；对于C，“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”，与“至少有1件次品”不是互斥事件；对于D，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是正品”显然是互斥事件，故AD是互斥事件.13.盒子内分别有3个红球，2个白球，1个黑球，从中任取2个球，则下列选项中的两个事件互斥而不对立的是A.至少有1个白球，至多有1个白球B.至少有1个白球，至少有1个红球C.至少有1个白球，没有白球D.至少有1个白球，红球、黑球各1个√1234567891011121314151612345678910111213141516解析　当取出的2个球是1白1红时，A中两个事件同时发生，所以A中的两个事件不是互斥事件，此时B也一样，所以排除A，B；C中，两个事件不可能同时发生，但是必有一个发生，所以C中的两个事件是对立事件，所以排除C；D中，两个事件不可能同时发生，但是当取出的2个球都是红球时，这两个事件都没有发生，所以D中的两个事件是互斥事件但不是对立事件.14.电路如图所示.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝________________________.(用B，C，D间的运算关系式表示)12345678910111213141516(BC)∪(BD)或B∩(C∪D)拓广探究12345678910111213141516√123456789101112131415161234567891011121314151616.某班要进行一次辩论比赛，现有4名男生和2名女生随机分成甲、乙两个辩论小组，每组3人.考虑甲组的人员组成情况，记事件Ak＝“甲组有k名女生”.(1)事件A1含有多少个样本点？解　用1,2,3,4表示4名男生，用a，b表示2名女生，因为事件A1＝“甲组有1名女生”，所以A1＝{(1,2，a)，(1,2，b)，(1,3，a)，(1,3，b)，(1,4，a)，(1,4，b)，(2,3，a)，(2,3，b)，(2,4，a)，(2,4，b)，(3,4，a)，(3,4，b)}，共含12个样本点.(2)若事件B＝“甲组至少有一名女生”，则事件B与事件Ak有怎样的运算关系？解　事件B＝“甲组至少有一名女生”，其含义是甲组有一名女生或甲组有两名女生，所以B＝A1∪A2.12345678910111213141516本课结束