（课标全国版）高考数学第一轮复习讲练 第49讲 计数原理 排列与组合（讲+练）原卷版+解析

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1．从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是( )
A．26 B．60
C．18 D．1 080
2．将3张不同的武汉军运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是( )
A．2 160 B．720
C．240 D．120
3．从集合{0,1,2,3,4,5}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有( )
A．36个 B．30个
C．25个 D．20个
4．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是( )
A．18 B．24
C．30 D．36
5．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有( )
A．4种 B．6种
C．10种 D．16种
6．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须在A的右侧(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有( )
A．24种 B．60种
C．90种 D．120种
7．5 400的正约数有( )
A．48个 B．46个
C．36个 D．38个
8．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有( )
A．180种 B．360种
C．720种 D．960种
9．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)．有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有( )
A．180种 B．360种
C．720种 D．960种
10．从集合{1,2,3,4，…，10}中选出5个数组成该集合的子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有( )
A．32个 B．34个
C．36个 D．38个
【练提升】
1．某班有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，现从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛，则不同的选派方案有( )
A．28种 B．30种
C．27种 D．29种
2．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A．12种 B．10种
C．9种 D．8种
3．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )
A．24 B．48
C．60 D．72
4．某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )
A．36种 B．24种
C．22种 D．20种
5.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有( )
A．120种 B．260种
C．340种 D．420种
6．某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为( )
A．6 B．12
C．18 D．19
7．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有( )
A．50种 B．60种
C．80种 D．90种
8．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能(六艺)：礼、乐、射、御、书、数，某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“射”不能排在第一，“数”不能排在最后，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有________种．
9．从4名男同学中选出2人，6名女同学中选出3人，并将选出的5人排成一排．
(1)共有多少种不同的排法？
(2)若选出的2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法？(用数字表示)
10．用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？
(1)比21 034大的偶数；
(2)左起第二、四位是奇数的偶数．
第49讲 计数原理 排列与组合
【练基础】
1．从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是( )
A．26 B．60
C．18 D．1 080
【答案】A
【解析】由分类加法计数原理知有5＋12＋3＋6＝26(种)不同走法．
2．将3张不同的武汉军运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是( )
A．2 160 B．720
C．240 D．120
【答案】B
【解析】分步来完成此事．第1张有10种分法；第2张有9种分法；第3张有8种分法，共有10×9×8＝720种分法．
3．从集合{0,1,2,3,4,5}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有( )
A．36个 B．30个
C．25个 D．20个
【答案】C
【解析】因为a，b互不相等且a＋bi为虚数，所以b只能从{1,2,3,4,5}中选，有5种选法，a从剩余的5个数中选，有5种选法，所以共有虚数5×5＝25(个)，故选C.
4．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是( )
A．18 B．24
C．30 D．36
【答案】C
【解析】法一：选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,3)＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,3)＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,3)＋Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,3)＝30种．故选C.
法二：从7名同学中任选3名的方法数，再减去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即Ceq \\al(3,7)－Ceq \\al(3,4)－Ceq \\al(3,3)＝30.故选C.
5．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有( )
A．4种 B．6种
C．10种 D．16种
【答案】B
【解析】分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种传递方式(如图)；同理，甲先传给丙时，满足条件的也有3种传递方式．由分类加法计数原理可知，共有3＋3＝6(种)传递方式．
6．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须在A的右侧(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有( )
A．24种 B．60种
C．90种 D．120种
【答案】B
【解析】可先排C，D，E三人，共有Aeq \\al(3,5)种，剩余A，B两人只有一种排法，故满足条件的排法共有Aeq \\al(3,5)×1＝60(种)．
7．5 400的正约数有( )
A．48个 B．46个
C．36个 D．38个
【答案】A
【解析】5 400＝23×33×52,5 400的正约数一定是由2的幂与3的幂和5的幂相乘的结果，所以正约数个数为(3＋1)×(3＋1)×(2＋1)＝48.故选A.
8．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有( )
A．180种 B．360种
C．720种 D．960种
【答案】D
【解析】按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法．因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960(种)．
9．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)．有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有( )
A．180种 B．360种
C．720种 D．960种
【答案】D
【解析】按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法．因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960(种)．
10．从集合{1,2,3,4，…，10}中选出5个数组成该集合的子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有( )
A．32个 B．34个
C．36个 D．38个
【答案】A
【解析】先把数字分成5组：{1,10}，{2,9}，{3,8}，{4,7}，{5,6}，由于选出的5个数中，任意两个数的和都不等于11，所以从每组中任选一个数字即可，故共有2×2×2×2×2＝32(个)这样的子集．
【练提升】
1．某班有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，现从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛，则不同的选派方案有( )
A．28种 B．30种
C．27种 D．29种
【答案】A
【解析】有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，则有2人既会踢足球又会打篮球，有3人只会打篮球，有4人只会踢足球，所以选派的方案有四类：选派两种球都会的运动员有2种方案；选派两种球都会的运动员中一名踢足球，只会打篮球的运动员打篮球，有2×3＝6(种)方案；选派两种球都会的运动员中一名打篮球，只会踢足球的运动员踢足球，有2×4＝8(种)方案；选派只会打篮球和踢足球的运动员分别打篮球和踢足球，有3×4＝12(种)方案．综上可知，共有2＋6＋8＋12＝28(种)方案，故选A.
2．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A．12种 B．10种
C．9种 D．8种
【答案】A
【解析】将4名学生均分为2个小组共有eq \f(C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(2,2))＝3(种)分法；将2个小组的同学分给2名教师共有Aeq \\al(2,2)＝2(种)分法；最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有Aeq \\al(2,2)＝2(种)分法．故不同的安排方案共有3×2×2＝12(种)．
3．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )
A．24 B．48
C．60 D．72
【答案】D
【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有Aeq \\al(4,4)种排法，所以奇数的个数为3Aeq \\al(4,4)＝72，故选D.
4．某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )
A．36种 B．24种
C．22种 D．20种
【答案】B
【解析】根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,2)＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,2)＝12种推荐方法．故共有24种推荐方法．
5.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有( )
A．120种 B．260种
C．340种 D．420种
【答案】D
【解析】由题意可知上下两块区域可以相同，也可以不同，则共有5×4×3×1×3＋5×4×3×2×2＝180＋240＝420(种)涂色方案．故选D.
6．某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为( )
A．6 B．12
C．18 D．19
【答案】D
【解析】从六科中选考三科的选法有Ceq \\al(3,6)种，其中不选物理、政治、历史中任意一科的选法有1种，因此学生甲的选考方法共有Ceq \\al(3,6)－1＝19种．
7．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有( )
A．50种 B．60种
C．80种 D．90种
【答案】C
【解析】根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论：若甲选择牛，此时乙的选法有2种，丙的选法有10种，共有2×10＝20种不同的选法；若甲选择马或猴，此时甲的选法有2种，乙的选法有3种，丙的选法有10种，共有2×3×10＝60种不同的选法．综上，一共有20＋60＝80种选法．
8．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能(六艺)：礼、乐、射、御、书、数，某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“射”不能排在第一，“数”不能排在最后，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有________种．
【解析】根据题意，分2种情况讨论：
①“数”排在第一，则剩下的“五艺”全排列，安排在剩下的5节，有Aeq \\al(5,5)＝120(种)情况．
②“数”不排在第一，则“数”的排法有4种，“射”的排法有4种，剩下的“四艺”全排列，安排在剩下的4节，有Aeq \\al(4,4)＝24(种)情况，则此时共有4×4×24＝384(种)情况．
综上，共有120＋384＝504(种)排课顺序．
【答案】504
9．从4名男同学中选出2人，6名女同学中选出3人，并将选出的5人排成一排．
(1)共有多少种不同的排法？
(2)若选出的2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法？(用数字表示)
【解析】(1)从4名男生中选出2人，有Ceq \\al(2,4)种选法，
从6名女生中选出3人，有Ceq \\al(3,6)种选法，
根据分步乘法计数原理知选出5人，再把这5个人进行排列，共有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(3,6)Aeq \\al(5,5)＝14 400(种)．
(2)在选出的5个人中，若2名男生不相邻，则第一步先排3名女生，第二步再让男生插空，根据分步乘法计数原理知共有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(3,6)Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,4)＝8 640(种)．
10．用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？
(1)比21 034大的偶数；
(2)左起第二、四位是奇数的偶数．
【解析】(1)可分五类，当末位数字是0，而首位数字是2时，有6个五位数；
当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(3,3)＝12个五位数；
当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(3,3)＝12个五位数；
当末位数字是4，而首位数字是2时，有3个五位数；
当末位数字是4，而首位数字是3时，有Aeq \\al(3,3)＝6个五位数．
故共有6＋12＋12＋3＋6＝39个满足条件的五位数．
(2)可分为两类：
末位数是0，个数有Aeq \\al(2,2)·Aeq \\al(2,2)＝4；
末位数是2或4，个数有Aeq \\al(2,2)·Ceq \\al(1,2)＝4.
故共有4＋4＝8个满足条件的五位数．