（课标全国版）高考数学第一轮复习讲练 第48讲 变量相关性与统计案例（讲+练）原卷版+解析

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1.会作两个相关变量的散点图，会利用散点图认识变量之间的相关关系．
2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归系数公式建立线性回归方程，凸显数学运算的核心素养．
3.了解独立性检验的基本思想、方法及其应用，凸显数学建模、数据分析的核心素养．
4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用，凸显数学建模、数据分析的核心素养．
【课标解读】
1.会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系。
2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
3.了解回归分析的思想、方法及其简单应用. 4.了解独立性检验的思想、方法及其初步应用。
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点考查内容．预测2022年将会考查：①回归直线方程的判断、求解及相关系数的意义，并用其解决实际问题；②独立性检验思想在实际问题中的应用．试题以解答题的形式呈现，难度为中等。此外，也可能出现在客观题中，此时试题难度不大，属中、低档题型。
【核心知识】
1．变量间的相关关系
常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．
2．两个变量的线性相关
(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．
(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．
(3)回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，其中eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xiyi－n\x\t(x) \x\t(y),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))x\\al(2,i)－n\x\t(x)2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x).
(4)相关系数
当r>0时，表明两个变量正相关；
当r400
空气质量好
空气质量不好
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
合格
优秀
总计
男生
16
女生
4
总计
40
第48讲 变量相关性与统计案例
【学科素养】
1.会作两个相关变量的散点图，会利用散点图认识变量之间的相关关系．
2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归系数公式建立线性回归方程，凸显数学运算的核心素养．
3.了解独立性检验的基本思想、方法及其应用，凸显数学建模、数据分析的核心素养．
4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用，凸显数学建模、数据分析的核心素养．
【课标解读】
1.会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系。
2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
3.了解回归分析的思想、方法及其简单应用. 4.了解独立性检验的思想、方法及其初步应用。
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点考查内容．预测2022年将会考查：①回归直线方程的判断、求解及相关系数的意义，并用其解决实际问题；②独立性检验思想在实际问题中的应用．试题以解答题的形式呈现，难度为中等。此外，也可能出现在客观题中，此时试题难度不大，属中、低档题型。
【核心知识】
1．变量间的相关关系
常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．
2．两个变量的线性相关
(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．
(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．
(3)回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，其中eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xiyi－n\x\t(x) \x\t(y),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))x\\al(2,i)－n\x\t(x)2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x).
(4)相关系数
当r>0时，表明两个变量正相关；
当r70(万元)，
所以能把保费x定为5元．
【变式探究】已知某种商品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下表对应数据，根据表中数据可得回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))其中eq \(b,\s\up6(^))＝11据此估计，当投入6万元广告费时，销售额约为( )
A．60万元 B．63万元
C．65万元 D．69万元
【答案】B
【解析】由表格数据可知eq \x\t(x)＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，eq \x\t(y)＝eq \f(10＋15＋30＋45＋50,5)＝30，因为回归方程过点(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))，所以30＝3eq \(b,\s\up6(^))＋eq \(a,\s\up6(^))，且eq \(b,\s\up6(^))＝11，得eq \(a,\s\up6(^))＝－3，所以eq \(y,\s\up6(^))＝11x－3，代入x＝6，得eq \(y,\s\up6(^))＝63，故选B.
高频考点三 独立性检验
例3.（2023·全国高考）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：
【答案】（1）75%；60%；
（2）能.
【解析】
本题考查频率统计和独立性检验，属基础题，根据给出公式计算即可
【解析】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为,
乙机床生产的产品中的一级品的频率为.
（2）,
故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.
【变式探究】(2020·全国卷Ⅲ)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
附：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，
.
【解析】(1)由所给数据，该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表：
(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为
eq \f(1,100)(100×20＋300×35＋500×45)＝350.
(3)根据所给数据，可得2×2列联表：
根据列联表得
K2＝eq \f(100×33×8－22×372,55×45×70×30)≈5.820.
由于5.820>3.841，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
【举一反三】在某次测验中，某班40名考生的成绩满分100分统计如图所示．
(1)估计这40名学生的测验成绩的中位数x0(精确到0.1)；
(2)记80分以上为优秀，80分及以下为合格，结合频率分布直方图完成下表，并判断是否有95%的把握认为数学测验成绩与性别有关？
【解析】(1)由频率分布直方图易知0.01×10＋0.015×10＋0.02×10＝0.45，即分数在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(40，70))的频率为0.45，
∴0.03×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－70))＝0.5－0.45，解得x0＝eq \f(215,3)≈71.7，
∴40名学生的测验成绩的中位数为71.7.
(2)由频率分布直方图，可得列联表如下：
∴K2＝eq \f(40×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(16×4－14×6))2,30×10×22×18)＝eq \f(40,297)≈0.135400
空气质量好
空气质量不好
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
空气质量等级
1
2
3
4
概率的估计值
0.43
0.27
0.21
0.09
人次≤400
人次>400
空气质量好
33
37
空气质量不好
22
8
合格
优秀
总计
男生
16
女生
4
总计
40
合格
优秀
总计
男生
16
6
22
女生
14
4
18
总计
30
10
40