（课标全国版）高考数学第一轮复习讲练 第30讲 数列的综合应用（讲+练）原卷版+解析

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1.数列与传统数学文化相结合，考查等差、等比数列的基本运算，凸显数学建模的核心素养．
2.数列与新定义问题相结合，考查转化、迁移能力，凸显数学抽象的核心素养．
3.数列与函数、不等式相结合，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养．
【课标解读】
1.理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式及其应用。
2.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。
3.会用数列的等差关系或等比关系解决实际问题。
【核心知识】
知识点一 等差数列和等比数列比较
知识点二 数列求和综合应用
1. 等差数列的前n和的求和公式：.
2．等比数列前n项和公式
一般地，设等比数列的前项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.
3. 数列前n项和
①重要公式：（1）
（2）
（3）
（4）
②等差数列中，；
③等比数列中，.
【高频考点】
高频考点一 等差数列与等比数列的综合问题
【例1】（2023·天津高考)设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*)，已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6.
(1)求Sn和Tn；
(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值．
【变式探究】数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.
【方法技巧】等差数列、等比数列综合问题的解题策略
(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．
(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．
【变式探究】设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2，a5，a11成等比数列，且a11＝2(Sm－Sn)(m＞n＞0，m，n∈N*)，则m＋n的值是 .
【举一反三】已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am是首项为2，公差为3的等差数列，am＋1，am＋2，…，a2m是首项为2，公比为2的等比数列(其中m≥3，m∈N*)，并对任意的n∈N*，均有an＋2m＝an成立．
(1)当m＝14时，求a1 000；
(2)若a52＝128，试求m的值．
高频考点二 数列与函数的综合问题
【例2】已知{an}是由正数组成的数列，a1＝1，且点(eq \r(an)，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1＝bn＋2eq \a\vs4\al(an)，求证：bn·bn＋20，且b1＋b2＝6b3，求q的值及数列{an}的通项公式；
(2)若{bn}为等差数列，公差d>0，证明：c1＋c2＋c3＋…＋cn0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)设bn＝lg2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
(3)是否存在k∈N*，使得eq \f(S1,1)＋eq \f(S2,2)＋…＋eq \f(Sn,n)0.
所以d＝2，b1＝3，所以Tn＝3n＋eq \f(nn－1,2)×2＝n2＋2n.
【方法技巧】等差数列、等比数列综合问题的解题策略
(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．
(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．
【变式探究】设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2，a5，a11成等比数列，且a11＝2(Sm－Sn)(m＞n＞0，m，n∈N*)，则m＋n的值是 .
【解析】设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，
因为a2，a5，a11成等比数列，
所以aeq \\al(2,5)＝a2a11，
所以(a1＋4d)2＝(a1＋d)(a1＋10d)，
解得a1＝2d，
又a11＝2(Sm－Sn)(m＞n＞0，m，n∈N*)，
所以2ma1＋m(m－1)d－2na1－n(n－1)d＝a1＋10d，
化简得(m＋n＋3)(m－n)＝12，
因为m＞n＞0，m，n∈N*，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－n＝1，,m＋n＋3＝12))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－n＝2，,m＋n＋3＝6，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝5，,n＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(5,2)，,n＝\f(1,2)))(舍去)，所以m＋n＝9.
【举一反三】已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am是首项为2，公差为3的等差数列，am＋1，am＋2，…，a2m是首项为2，公比为2的等比数列(其中m≥3，m∈N*)，并对任意的n∈N*，均有an＋2m＝an成立．
(1)当m＝14时，求a1 000；
(2)若a52＝128，试求m的值．
【解析】由题设得an＝3n－1(1≤n≤m)，am＋n＝2n(1≤n≤m)．
(1)当m＝14时，数列的周期为28.
因为1 000＝28×35＋20，而a20是等比数列中的项，
所以a1 000＝a20＝a14＋6＝26＝64.
(2)显然，a52＝128不是数列{an}中等差数列的项．
设am＋k是第一个周期中等比数列中的第k项，则am＋k＝2k.
因为128＝27，所以等比数列中至少有7项，即m≥7，则一个周期中至少有14项．
所以a52最多是第三个周期中的项．
若a52是第一个周期中的项，则a52＝am＋7＝128，
所以m＝52－7＝45；
若a52是第二个周期中的项，则a52＝a3m＋7＝128，
所以3m＝45，m＝15；
若a52是第三个周期中的项，则a52＝a5m＋7＝128，
所以5m＝45，m＝9.
综上，m的值为45或15或9.
高频考点二 数列与函数的综合问题
【例2】已知{an}是由正数组成的数列，a1＝1，且点(eq \r(an)，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1＝bn＋2eq \a\vs4\al(an)，求证：bn·bn＋20，
因此c1＋c2＋c3＋…＋cn0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)设bn＝lg2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
(3)是否存在k∈N*，使得eq \f(S1,1)＋eq \f(S2,2)＋…＋eq \f(Sn,n)0，所以a3＋a5＝5，
又a3与a5的等比中项为2，
所以a3a5＝4，而q∈(0,1)，
所以a3>a5，所以a3＝4，a5＝1，所以q＝eq \f(1,2)，a1＝16，
所以an＝16×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1＝25－n.
(2)因为bn＝lg2an＝5－n，所以bn＋1－bn＝－1，
又b1＝5－1＝4，
所以{bn}是以4为首项，－1为公差的等差数列，
所以Sn＝eq \f(n9－n,2).
(3)由(2)知Sn＝eq \f(n9－n,2)，所以eq \f(Sn,n)＝eq \f(9－n,2).
当n≤8时，eq \f(Sn,n)>0；
当n＝9时，eq \f(Sn,n)＝0；
当n>9时，eq \f(Sn,n)