八年级数学下册尖子生培优必刷题 专题18.14四边形中的线段最值问题提升专练（重难点培优30题）（原卷版+解析）

这是一份八年级数学下册尖子生培优必刷题 专题18.14四边形中的线段最值问题提升专练（重难点培优30题）（原卷版+解析），共46页。
专题18.14四边形中的线段最值问题提升专练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单选题1．（2021秋·全国·八年级专题练习）如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值为（    ）A．33 B．6 C．3 D．322．（2022秋·广东湛江·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（    ）A．4 B．42 C．25 D．53．（2021秋·全国·八年级期末）如图，P为正方形ABCD内一动点，PA=AB=4，M为PB的中点，则CM的最小值为（    ）A．125 B．135 C．22 D．25−24．（2021秋·全国·八年级专题练习）如图，正方形OABC的两边在坐标轴上，AB=6，OD=2，点P为OB上一动点，PA+PD的最小值是（    ）A．8 B．10 C．210 D．355．（2020秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF＋DE的最小值为（）A．12 B．20 C．48 D．806．（2022秋·浙江金华·八年级校联考期中）如图 ，在平行四边形ABCD中 ，∠C=120° ，AB=4 ，AD=8 ， 点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG ，点E为AH的中点 ，点F为GH的中点 ，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（       ）A．2 B．23−2 C．3 D．4−37．（2022秋·安徽合肥·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，点N、O、P、M分别是边AB、BC、CD、DA上的点(不与端点重合)，若AN=CP，BO=DM，且AB=2BC=2，则四边形MNOP周长的最小值等于（    ）A．25 B．23 C．5 D．38．（2022秋·重庆·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，若AC=22，则EF的长的最小值为（    ）A．2 B．1 C．2 D．229．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=6，ΔBDC面积为21，AB的垂直平分线MN分别交AB,AC于点M,N，若点P和点Q分别是线段MN和BC边上的动点，则PB+PQ的最小值为（      ）A．5 B．6 C．7 D．810．（2022春·上海·八年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，动点P满足S△PBC＝14S矩形ABCD，则点P到B，C两点距离之和PB+PC的最小值为（　　）A．10 B．13 C．15 D．23二、填空题11．（2022秋·北京西城·八年级校考期中）已知，如图，正方形ABCD的边长是8，M在DC上，且DM=2，N是AC边上的一动点，则DN+MN的最小值是______．12．（2022秋·重庆大足·八年级统考期末）在正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别为AD、CD上一点，且AE=CF，连接BF、CE，则BF+CE的最小值是________________．13．（2022秋·江苏常州·八年级统考期中）如图，正方形ABCD的边长是8，点E、F分别是边AB、BC上的点，且AE=CF=1，若点P是对角线AC上一个动点，则EP+PF的最小值是______．14．（2022秋·重庆·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，AB=22，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=3，P为对角线BD上一点，则PM−PN的最大值为_____________．15．（2022秋·重庆·八年级重庆一中校考期中）如图，正方形ABCD边长为4，P是正方形内一动点，且S△PAB:S△PCD=1:3，则PC+PD的最小值是______．16．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝20，点E在AD上且DE＝4.点G在AE上且GE＝8，点P为BC边上的一个动点，F为EP的中点，则GF＋EF的最小值为____．17．（2022秋·山东泰安·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B=45°，BC=23，则GH的最小值为___________．18．（2021秋·河南安阳·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E为对角线DB的中点，P为线段AD上一动点，则△EPB的周长最小值为______．．19．（2021秋·重庆·八年级重庆实验外国语学校校考期中）已知，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，对角线BD将菱形ABCD分成2个三角形，点E、F将对角线BD三等分，BD=12，点P在菱形ABCD的边上（含顶点），则能够满足PE+PF=11的点P的个数有___________个．20．（2021秋·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）如图，AC是边长为2的正方形ABCD的对角线，P为BC边上一动点，E，F为AB，AC的中点．当PE+PF的值最小时，CP的值为________．三、解答题21．（2022秋·广东广州·八年级校考期中）如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC=60°，点E是边AB上任意一点(端点除外)，线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，C，AE，EF的中点分别为M，N．(1)求证：AF=EF；(2)求MN+NG的最小值．22．（2022秋·江苏镇江·八年级校联考阶段练习）如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．(1)求证：DE∥BF；(2)当△ABD满足什么条件时，四边形DEBF是菱形（不需要证明）(3)请利用备用图分析，在（2）的条件下，若BE=2，∠DEB=120°，点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，求PF+PM的最小值．23．（2021秋·广西河池·八年级统考期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将ΔCOD沿CD所在直线折叠，得到ΔCED．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若BD=3，∠ACD=30°，P是CD边上的动点，Q是CE边上的动点，那么PE+PQ的最小值是多少？24．（2021秋·河北沧州·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝AC，E、F分别是AB、CD的中点，连接CE、AF．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）当平行四边形ABCD的边或角满足什么关系时，四边形AECF是正方形？请说明理由．（3）在（2）的条件下，若AE＝4，点M为EC中点，当点P在线段AC上运动时，求PE+PM的最小值．25．（2021秋·广东惠州·八年级统考期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若AB＝2，当四边形OCED是正方形时，求OC的长；（3）若BD＝3，∠ACD＝30°，P是CD边上的动点，Q是CE边上的动点，求PE+PQ的最小值．26．（2021秋·全国·八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=1,∠B=60°，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D'处，折痕交CD边于点E．（1）求证：四边形BCED'是菱形；（2）若点P是直线l上的一个动点，请作出使PD'+PB为最小值的点P，并计算PD'+PB．27．（2019秋·湖南长沙·八年级雅礼中学校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=16，∠A=60°，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将ΔAPB折叠，得ΔA'PB．（1）如图所示，当∠DPA'=10°时，APB=_______度；（2）如图所示，当PA'⊥BC时，求线段PA的长度；（3）当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点A、B重合的一个动点，将ΔAPF沿PF折叠，得到ΔA'PF，连接BA'，求ΔBA'F周长的最小值．28．（2016秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点P为对角线BD上一动点，点E在射线BC上．（1）填空：∠PBC= 度．（2）若BE=t，连结PE、PC，则|PE+PC的最小值为 ，|PE﹣PC|的最大值是 （用含t的代数式表示）；（3）若点E 是直线AP与射线BC的交点，当△PCE为等腰三角形时，求∠PEC的度数．29．（2021秋·全国·八年级专题练习）如图，正方形ABCD中，AB=25，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF.（1）若A、E、O三点共线，求CF的长；（2）求△CDF的面积的最小值.30．（2022秋·湖北咸宁·八年级统考期末）如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，E为BC边上一动点（不与B，C重合），OF⊥OE交CD于F．(1)求证：△OBE≌△OCF；(2)求证：2OE2=BE2+DF2；(3)如图2，若正方形ABCD边长为22，G为EF中点，点E在运动过程中，CG长的最小值为___________．专题18.14四边形中的线段最值问题提升专练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单选题1．（2021秋·全国·八年级专题练习）如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值为（    ）A．33 B．6 C．3 D．32【答案】A【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，点B关于AC的对称点是点D，连接ED，EF+BF最小值等于ED的长，然后解直角三角形即可求解．【详解】解：如图，连接BD，∵菱形ABCD中，∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形，∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，∴点B、D关于AC对称，如图，连接ED，则ED的长就是所求的EF+BF的最小值，∵E为AB的中点，∠DAB=60°，∴DE⊥AB，∴ED=AD2−AE2=62−32=33，∴EF+BF的最小值为33．故选：A．【点睛】本题主要考查了菱形的性质和解直角三角形，关键是判断出ED的长就是所求的EF+BF的最小值．2．（2022秋·广东湛江·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（    ）A．4 B．42 C．25 D．5【答案】D【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于直线AC对称，∴DN=BN，连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，∴当B、N、M共线时，DN+MN有最小值，则BM的长即为DN+MN的最小值，∴AC是线段BD的垂直平分线，又∵CD=4，DM=1∴CM=CD-DM=4-1=3，在Rt△BCM中，BM=CM2+BC2=32+42=5故DN+MN的最小值是5．故选：D．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D关于直线AC的对称点，由轴对称及正方形的性质判断出D的对称点是点B是解答此题的关键．3．（2021秋·全国·八年级期末）如图，P为正方形ABCD内一动点，PA=AB=4，M为PB的中点，则CM的最小值为（    ）A．125 B．135 C．22 D．25−2【答案】D【分析】取AB的中点N，连接MN，根据三角形中位线的性质可求出MN的长度，然后根据三角形三边关系即可求出CM的最小值．【详解】解：因为PA=AB=4，M为PB的中点，取AB的中点N，连接MN，CN，易得CN=25，所以MN=12PA=2.在点P的运动过程中，MN的值不变，因为CM+MN≥CN，当C，M，N三点在同一条直线上时，CM最小，此时CM=CN−MN=25−2．故选：D【点睛】此题考查了三角形中位线的性质和三角形三边的关系，解题的关键是由题意作出辅助线．4．（2021秋·全国·八年级专题练习）如图，正方形OABC的两边在坐标轴上，AB=6，OD=2，点P为OB上一动点，PA+PD的最小值是（    ）A．8 B．10 C．210 D．35【答案】C【分析】先找到点A关于OB的对称点C，连结CD交OB于点P′，当点P运动到P′时PA+PD最短，在Rt△COD中用勾股定理求出CD即可．【详解】正方形ABCO，∴A、C两点关于OB对称，∴连接CD，交OB于P'，∴CP'=AP'，∴AP'+P'D=CP'+PD'≥CD，当C、P、D三点共线时，PA+PD取最小值，∵OD=2，AB=CO=6，∴CD=22+62=210，故选择：C．【点睛】本题考查动点问题，掌握正方形的性质，与轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理，会利用对称性找对称点，会利用P、C、D三点一线最短，会用勾股定理求出最短距离是解题关键．5．（2020秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF＋DE的最小值为（）A．12 B．20 C．48 D．80【答案】D【分析】连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF＋DE＝AE＋DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可．【详解】解：解：连接AE，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF．所以BF＋DE最小值等于AE＋DE最小值．作点A关于BC的对称点H点，如图2，连接BH，则A、B、H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．根据对称性可知AE＝HE，所以AE＋DE＝DH．在Rt△ADH中，DH2＝AH2＋AD2＝82＋42＝80∴DH＝45∴BF＋DE最小值为45故选：    D．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．6．（2022秋·浙江金华·八年级校联考期中）如图 ，在平行四边形ABCD中 ，∠C=120° ，AB=4 ，AD=8 ， 点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG ，点E为AH的中点 ，点F为GH的中点 ，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（       ）A．2 B．23−2 C．3 D．4−3【答案】C【分析】如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先证明∠ACD＝90°，求出AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EF＝12AG，求出AG的最大值以及最小值即可解决问题．【详解】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，AD=2AB=8∴∠D＝180°−∠BCD＝60°，AB＝CD＝4，∵AM＝DM＝DC＝4，∴△CDM是等边三角形，∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC，∴∠MAC＝∠MCA＝30°，∴∠ACD＝90°，∴AC＝43在Rt△ACN中，∵AC＝43，∠ACN＝∠DAC＝30°，∴AN＝12AC＝23∵AE＝EH，GF＝FH，∴EF＝12AG，∵点G在BC上，∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，∴AG的最大值为43，最小值为23，∴EF的最大值为23，最小值为3，∴EF的最大值与最小值的差为：3故选C．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD＝90°，属于中考选择题中的压轴题．7．（2022秋·安徽合肥·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，点N、O、P、M分别是边AB、BC、CD、DA上的点(不与端点重合)，若AN=CP，BO=DM，且AB=2BC=2，则四边形MNOP周长的最小值等于（    ）A．25 B．23 C．5 D．3【答案】A【分析】首先利用SAS证明△AMN≌△COP，得MN=PO，同理得NO=MP，则四边形MNOP是平行四边形，作点N关于BC的对称点N'，连接ON'，PN'，求出    的长，从而解决问题．【详解】解：∵BO=DM，∴CO=AM．∵AN=CP，∠A=∠C=90°，∴△AMN≌△COP（SAS），∴MN=PO．同理得，NO=MP，∴四边形MNOP是平行四边形，作点N关于BC的对称点N'，连接ON'，PN'，过点P和PH∥BC，将AB于点H，则NO=N'O，NB=BN'，∴PO+ON的最小值为PN'．∵四边形ABCD是矩形，PH∥BC，∠ABC=∠A=90°，∴四边形PCBH是矩形，∴PH=BC=12AB=1，HB=PC=AN．∵NB=BN'，∴HN'=HB+BN'=AN+BN=AB=2，由勾股定理得，PN'=PH2+HN'2=12+22=5，∴四边形MNOP周长的最小值为25．故选：A．【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，轴对称最短路线问题，勾股定理等知识，证明四边形MNOP是平行四边形是解题的关键．8．（2022秋·重庆·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，若AC=22，则EF的长的最小值为（    ）A．2 B．1 C．2 D．22【答案】B【分析】如图，连接OP、EF，根据已知条件和正方形的性质可以得到当EF最小就是OP最小，然后利用垂线段最短即可求解．【详解】解：如图，连接OP、EF，∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，∴四边形OEPF为矩形，∴EF=OP，∴EF最小时OP最小，当OP⊥BC于P的时候OP最小，而当OP⊥BC时，P为BC的中点，∴OP=12BC，∵AC=22，则BC=2，∴OP=1，∴EF的长的最小值为1．故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了垂线段最短解决问题．9．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=6，ΔBDC面积为21，AB的垂直平分线MN分别交AB,AC于点M,N，若点P和点Q分别是线段MN和BC边上的动点，则PB+PQ的最小值为（      ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】连接AQ，过点D作DH⊥BC，根据垂直平分线的性质得到PA=PB，再根据PB+PQ=AP+PQ≥AQ计算即可；【详解】连接AQ，过点D作DH⊥BC，∵BC=6，ΔBDC面积为21，∴12·BC·DH=21，∴DH=7，∵MN垂直平分AB，∴PA=PB，∴PB+PQ=AP+PQ≥AQ，∴当AQ的值最小时，PB+PQ的值最小，根据垂线段最短可知，当AQ⊥BC时，AQ的值最小，∵AD∥BC，∴AQ=DH=7，∴PB+PQ的值最小值为7；故选C．【点睛】本题主要考查了四边形综合，垂直平分线的性质，准确分析计算是解题的关键．10．（2022春·上海·八年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，动点P满足S△PBC＝14S矩形ABCD，则点P到B，C两点距离之和PB+PC的最小值为（　　）A．10 B．13 C．15 D．23【答案】B【分析】先由S△PBC＝14S矩形ABCD．得出动点P在与BC平行且与BC的距离是1的直线l上，作B关于直线l的对称点E，连接CE，则CE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形BCE中，由勾股定理求得CE的值，即PB＋PC的最小值．【详解】解：设△PBC中BC边上的高是h．∵S△PBC＝14S矩形ABCD．∴12BC•h＝14AB•AD，∴h＝12AB＝1，∴动点P在与BC平行且与BC的距离是1的直线l上，如图，作B关于直线l的对称点E，连接CE，则CE的长就是所求的最短距离．在Rt△BCE中，∵BC＝3，BE＝BA＝2，∴CE＝AB2+BC2=13，即PB＋PC的最小值为13．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．二、填空题11．（2022秋·北京西城·八年级校考期中）已知，如图，正方形ABCD的边长是8，M在DC上，且DM=2，N是AC边上的一动点，则DN+MN的最小值是______．【答案】10【分析】要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是以直线AC为对称轴的对称点， ∴ 连接BN，BD，则直线AC即为BD的垂直平分线， ∴BN=ND ， ∴DN+MN=BN+MN ， 连接BM交AC于点P， ∵点N为AC上的动点， 由三角形两边和大于第三边， 知当点N运动到点P时， BN+MN=BP+PM=BM ， BN+MN的最小值为BM的长度， ∵ 四边形ABCD为正方形， ∴BC=CD=8，CM=8−2=6，∠BCM=90°， ∴BM=62+82=10， ∴DN+MN的最小值是10． 故答案为10．【点睛】本题考查轴对称的应用和勾股定理的基本概念．解答本题的关键是读懂题意，知道根据正方形的性质得到DN+MN的最小值即为线段BM的长．12．（2022秋·重庆大足·八年级统考期末）在正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别为AD、CD上一点，且AE=CF，连接BF、CE，则BF+CE的最小值是________________．【答案】45【分析】首先利用正方形的性质可以证明ΔADF和ΔCDE(SAS)，然后利用全等三角形的性质得到BF+CE的最小值就是BF+AF的最小值，最后利用轴对称即可求解．【详解】解：如图，连接AF，∵正方形ABCD中，AE=CF，∴AD=CD，DE=DF，在ΔADF和ΔCDE中，AD=CD∠ADC=∠ADCDE=DF，∴ΔADF和ΔCDE(SAS)，∴CE=AF，∴BF+CE=BF+AF，∴BF+CE的最小值就是BF+AF的最小值，如图，作A关于CD的对称点H，连接BH交CD于F，则F即可满足BF+AF最小，∵AB=4，∴AD=DH=4，AH=8，∴BF+CE=BF+AF=BH=AB2+AH2=45．∴BF+CE的最小值是45．故答案：45．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，最短路径问题，同时也利用了正方形的性质，有一定的综合性．13．（2022秋·江苏常州·八年级统考期中）如图，正方形ABCD的边长是8，点E、F分别是边AB、BC上的点，且AE=CF=1，若点P是对角线AC上一个动点，则EP+PF的最小值是______．【答案】10【分析】过E作AC的垂线交AD于点E′，连接E′F交AC于点P，过F作AD的垂线交AD于点G，则E′F即为所求，根据正方形的性质可知△AEE′是等腰三角形，AE′=1，GD=CF=1，由AD=10即可求出GE′的长，再由勾股定理即可求出E′F的长．【详解】解：过E作AC的垂线交AD于点E′，连接E′F交AC于点P，过F作AD的垂线交AD于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AC是正方形ABCD的一条对称轴，∴点E、E′关于AC对称，∴PE=PE′，∴PE +PF的最小值是E′F的长，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠BAC=45°，∵EE′⊥AC，∴△AEE′是等腰三角形，∴AE=AE′=3，∵GF⊥AD，∴GD=CF=1，∴GE′=8-GD-AE′=8-1-1=6，在Rt△GFE′中，GE′=6，GF=8，∴E′F=E'G2+GF2=62+82=10．故答案为：10．【点睛】本题考查的是最短路线问题及正方形的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．14．（2022秋·重庆·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，AB=22，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=3，P为对角线BD上一点，则PM−PN的最大值为_____________．【答案】1【分析】作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，可判定当点P，E，M三点共线时，PM-PE的值最大，为ME 的长，求出CE，CQ，得到EQ，利用垂直平分线的性质得到EM=CM=1即可．【详解】解：如图：作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，∴PN=PE，则PM-PN=PM-PE，∴当点P，E，M三点共线时，PM-PE的值最大，为ME 的长，在正方形ABCD中，AB=4，∴AC=42，∵N是AO的中点，点N和E关于BD成轴对称，∴点E是OC中点，∴CE=14AC=2，∵BC=4，BM=3，∴CM=1=14BC，∵∠BCQ=45°，∴△MCQ为等腰直角三角形，∴CQ=CM2=22，∴EQ=22，∴CM=EM=1，即PM-PN的最大值为1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．15．（2022秋·重庆·八年级重庆一中校考期中）如图，正方形ABCD边长为4，P是正方形内一动点，且S△PAB:S△PCD=1:3，则PC+PD的最小值是______．【答案】213【分析】过点P作EF∥AD，由S△PAB:S△PCD=1:3可得PEPF=13，得PE=1，PF=3，过点P作MN//AB交AD于点M，交BC于点N，可得出四边形PFCN是矩形，得CN=PF=3，延长CB到K，使NK=CN=3，连接DK，根据两点之间线段最短故可知PC+PD的最小值为DK的长，根据勾股定理可求解【详解】解：如图，过点P作EF∥AD，交AB于点E，交CD于点F， ∵四边形ABCD是正方形，∴AB⊥AD，AB⊥BC，BC⊥CD，AB=BC=CD=AD=4，∴EF⊥AB，EF⊥CD∵S△PAB=12AB⋅PE，S△PCD=12CD⋅PF， ∴S△PABS△PCD=12AB⋅PE12CD⋅PF=13，∴PEPF=13∵EF∥AD∴EF=AD=4，∴PF=3，PE=1，过点P作MN//AB交AD于点M，交BC于点N，则PN⊥BC，∴∠PNC=∠NCF=∠CFP=90°∴四边形CFPN是矩形，∴四边形AEFD是矩形，∴CN=PF=3，∵∠DAE=∠AEF=∠EPD=∠ADF=90°，延长CB到K，使NK=CN=3，则有：CK=CN+KN=6连接DK，当D，P，K在一条直线上时，DP+PK=DK，当D，P，K不在一条直线上时，DP+PK>DK，故当D，P，K共线时，DP+PK=DK=DC2+CK2=42+62=213又N是CK的中点，PN⊥CK，∴PN是CK的垂直平分线，∴CP=PK，所以PC+PD的最小值为213，故答案为：213．【点睛】本题主要考查正方形的性质，矩形的判断与性质，勾股定理以及线段的垂直平分线的判断与性质等知识，掌握正方形的性质，正确做出辅助线是解题的关键．16．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝20，点E在AD上且DE＝4.点G在AE上且GE＝8，点P为BC边上的一个动点，F为EP的中点，则GF＋EF的最小值为____．【答案】10【分析】作A点关于BC的对称点A'，连接A'E，交BC于点P，连接AP，此时GF + EF的值最小，根据已知条件可得AP = 2GF，进而可得GF+ EF= 12A'E，在Rt△AA' E中，由勾股定理可求A' E的长，即可得出答案．【详解】作A点关于BC的对称点A'，连接A'E，交，BC于点P，连接AP，∵ AD= 20，DE= 4，∴ AE= 16，∵GE=8，∴G是AE的中点，∵F是EP的中点，∴ AP= 2GF，∴GF+ EF=12 AP+12EP=12（AP+EP)=12(A'P+EP)=12A'E，此时，GF+EF取得最小值，∵AB=6，∴AA`=12，在Rt∆AA`E中，A'E=A'A2+AE2=122+162=20 ，∴GF+EF的最小值为10．故答案为：10．【点睛】本题考查轴对称求最短距离、三角形的中位线定理、勾股定理，熟练掌握轴对称求最短距离的方法及三角形中位线的性质是解题的关键．17．（2022秋·山东泰安·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B=45°，BC=23，则GH的最小值为___________．【答案】62【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH =12AF，求出AF的最小值即可解决问题．【详解】连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，AB= BC= 23∵ G， H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线， GH =12AF，当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB = 90°，∵∠B= 45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF=22AB=22×23=6， ∴GH =62 即GH的最小值为62故答案为：62【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．18．（2021秋·河南安阳·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E为对角线DB的中点，P为线段AD上一动点，则△EPB的周长最小值为______．【答案】37+5【分析】延长BA至F，使得AF＝AB，连接EF，取AB中点G，连EG，先说明B、F关于直线AD对称，将EP＋PB转化为EP＋PF≥EF，由E、G分别为DB、AB的中点，再结合中位线定理得EG＝12AD＝12BC＝1，EG⊥AB，从而有EF=37，EB＝EG2+GB2=5，故△EPB的周长最小值为37+5．【详解】解：延长BA至F，使得AF＝AB，连接EF，取AB中点G，连EG，∵AF＝AB，∠DAB＝90°，∴AD垂直平分BF，即B、F关于直线AD对称，∴PB＝PF，∴EP＋PB＝EP＋PF≥EF，∵E、G分别为DB、AB的中点，∴EG∥AD，EG＝12AD＝12BC＝1，FG＝AF＋AG＝4＋2＝6，∴EG⊥AB，∴EF＝EG2+FG2=62+12=37，EB＝EG2+GB2=5，∴△EPB的周长最小值为37+5．故答案为：37+5．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、最短距离问题、勾股定理、中位线定理，延长BA至F，使得AF＝AB，构造B、F关于直线AD对称，将EP＋PB转化为EP＋PF≥EF是解决本题的关键．19．（2021秋·重庆·八年级重庆实验外国语学校校考期中）已知，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，对角线BD将菱形ABCD分成2个三角形，点E、F将对角线BD三等分，BD=12，点P在菱形ABCD的边上（含顶点），则能够满足PE+PF=11的点P的个数有___________个．【答案】8【分析】先作点E关于AD的对称点E'，连接EF交AD与点P，求出PE+PF的最小值，再求出P与A重合及P与D重合时 PE+PF的值判断AD边上符合条件的P的个数，再根据对称性求解．【详解】解：①当点P菱形的边上时，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，则△ABD和△BCD为等边三角形，∵点E、F将对角线BD三等分，则DE=EF=BF=4，作点E关于CD的对称点E'，则A、D、E'共线，连接E'F交CD于点P，则此时PE+PF最小，则PE+PF最小值=PE'+PF=E'F，过点E'作E'H⊥BD，交BD的延长线于点H，在Rt△DHE'中，DE'=DE=4，∠HDE'=60°，则DH=12DE'=2，HE'=DE'2−DH2=42−22=23，在Rt△HE'F中，FH=DF+DH=8+2=10，则E'F=HE'2+HF2=232+102=11211，故P在菱形的每条边上符合距离和等于11的点是两个，那么四条边上一共8个．故答案为：8．【点睛】本题考查菱形与最值问题．熟练掌握求四边形中的最值问题为解题关键．20．（2021秋·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）如图，AC是边长为2的正方形ABCD的对角线，P为BC边上一动点，E，F为AB，AC的中点．当PE+PF的值最小时，CP的值为________．【答案】32【分析】作点E关于BC的对称点Q，连接FQ，交BC于点P，此时PE+PF最小，再利用中位线的性质求解即可．【详解】如图，作点E关于BC的对称点Q，连接FQ，交BC于点P，此时PE+PF最小，∵E，F为AB，AC的中点，BC=2，∴EF//BC，EF=12BC=1，∵B为EQ中点，BP//EF，∴BP为△EFQ的中位线，∴BP=12EF=12，∴CP=BC−BP=2−12=32．故答案为：32．【点睛】本题考查了最短路线问题-将军饮马模型，中位线的性质，熟练掌握将军饮马模型的作法是解题的关键．三、解答题21．（2022秋·广东广州·八年级校考期中）如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC=60°，点E是边AB上任意一点(端点除外)，线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，C，AE，EF的中点分别为M，N．(1)求证：AF=EF；(2)求MN+NG的最小值．【答案】(1)见解析(2)12【分析】（1）连接CF，根据FG垂直平分CE和菱形的对称性即可得到CF=EF，CF=AF，从而求证结论；（2）利用M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE的中点，即可得到MN+NG=12(AF+CF)，当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，AF+CF最小，此时MN+NG最小，结合已知推断△ABC为等边三角形，即可求解．（1）证明：连接CF，∵FG垂直平分CE，∴CF=EF，∵四边形ABCD为菱形，∴A和C关于对角线BD对称，∴CF=AF，∴AF=EF；（2）解：连接AC，∵M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE中点，∴MN=12AF,NG=12CF，即MN+NG=12(AF+CF)当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，AF+CF最小，即此时MN+NG最小，∵菱形ABCD边长为1，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，AC=AB=1，即MN+NG的最小值为12．【点睛】本题考查了菱形的性质，中位线的性质、等边三角形性质的知识，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．22．（2022秋·江苏镇江·八年级校联考阶段练习）如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．(1)求证：DE∥BF；(2)当△ABD满足什么条件时，四边形DEBF是菱形（不需要证明）(3)请利用备用图分析，在（2）的条件下，若BE=2，∠DEB=120°，点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，求PF+PM的最小值．【答案】(1)见解析(2)当∠ADB=90°时，四边形DEBF是菱形，证明见解析(3)3【分析】（1）根据平行四边形的性质得到DF=BE，AB∥CD，根据平行四边形的判定定理证明四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论；（2）根据矩形的判定定理得到四边形AGBD是矩形，根据直角三角形的性质得到ED=EB，证明结论；（3）连接EM交BD于P，根据轴对称的性质证明此时PF+PM的值最小，根据等边三角形的性质计算即可．【详解】（1）解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∵E、F分别为边AB、CD的中点，∴DF=BE，又AB∥CD，∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE∥BF；（2）当∠ADB=90°时，四边形DEBF是菱形．理由：∵∠ADB=90°，又E为边AB的中点，∴ED=EB，又四边形DEBF是平行四边形，∴四边形DEBF是菱形；（3）连接EF，连接EM交BD于P，∵四边形DEBF是菱形，∴点E和点F关于BD轴对称，此时PF+PM的值最小，∵四边形DEBF是菱形，∠DEB=120°，∴∠EBF=60°，∴△BEF是等边三角形，又BE=2，∴EM=3，即PF+PM的最小值为3．【点睛】本题属于四边形综合题，考查的是平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质，轴对称变换的性质以及等边三角形的性质的综合运用，掌握相关的判定定理和性质定理、正确作出辅助性是解题的关键．23．（2021秋·广西河池·八年级统考期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将ΔCOD沿CD所在直线折叠，得到ΔCED．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若BD=3，∠ACD=30°，P是CD边上的动点，Q是CE边上的动点，那么PE+PQ的最小值是多少？【答案】（1）见解析；（2）334【分析】（1）根据矩形的性质即可得到OC=OD，再根据翻折，即可得到四边相等，即可求证菱形；（2）作OQ⊥CE于Q，交CD于P，证明OP=PE，所以PE+PQ转化为OP+PQ，当OQ⊥CE时，即OQ最短，即可解决．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴AC与BD相等且互相平分∴OC=OD∵ΔCOD关于CD的对称图形为ΔCED∴OD=ED，EC=OC∴OD=ED=EC=OC∴四边形OCED是菱形（2）解：作OQ⊥CE于Q，交CD于P，则∠OQC=90°如图所示：∵ΔCOD沿CD所在直线折叠，得到ΔCED∴∠DCE=∠DCO，PE=PO∴PE+PQ=PO+PQ=OQ∵AC=BD=3 ∴OC=OD=32∵∠ACD=30° ∴∠DCE=30° ∴∠OCQ=60°∴∠COQ=∠OQC−∠OCQ=90°−60°=30°∴CQ=12OC=34∴在RtΔCOQ中，OQ=OC2−CQ2=(32)2−(34)2=334即PE+PQ的最小值为334．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和最短路径问题，熟练菱形的判定方法以及最短路径的方法是解决本题的关键．24．（2021秋·河北沧州·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝AC，E、F分别是AB、CD的中点，连接CE、AF．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）当平行四边形ABCD的边或角满足什么关系时，四边形AECF是正方形？请说明理由．（3）在（2）的条件下，若AE＝4，点M为EC中点，当点P在线段AC上运动时，求PE+PM的最小值．【答案】（1）见解析；（2）∠B＝45°或AB＝2BC，理由见解析；（3）25【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形得AB＝CD，AB∥CD，再由E、F分别是AB、CD的中点得AE＝12AB，CF＝12CD，即可证得四边形AECF为平行四边形，再由BC＝AC，E为AB中点，得CE⊥AB，故四边形AECF是矩形；（2）当∠B＝45°时，可证∠BAC＝90°，由E为AB的中点得EC＝12AB＝AE，故矩形AECF为正方形；当AB＝2BC时，由BC＝AC，AB＝2BC，可证得AC2+BC2＝AB2，△ACB为直角三角形，再由E为AB的中点得EC＝12AB＝AE，故矩形AECF为正方形；（3）连接EF，连接FM交AC于P，由E和F关于AC对称得此时PE+PM最小，再在Rt△MCF中用勾股定理求出FM即可．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝12AB，CF＝12CD，∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形，∵BC＝AC，E为AB中点，∴CE⊥AB，∴∠AEC＝90°四边形AECF是矩形；（2）解：①当∠B＝45°时，四边形AECF是正方形，理由：∵BC＝AC，∠B＝45°，∴∠BAC＝∠B＝45°，∴∠BAC＝90°，∵E为AB的中点，∴EC＝12AB＝AE，∴矩形AECF为正方形，或②当AB＝2BC时，矩形AECF为正方形，理由：∵BC＝AC，AB＝2BC，∴AC2+BC2＝2BC2，AB2＝（2BC）2＝2BC2，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB为直角三角形，∵E为AB的中点，∴EC＝12AB＝AE，∴矩形AECF为正方形；（3）解：连接EF，连接FM交AC于P，∵四边形AECF为正方形，∴E和F关于AC对称，此时PE+PM最小且为FM，在Rt△MCF中，CM＝2，CF＝AE＝4，∴FM＝CM2+CF2=25∴PE+PM最小值为25．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，正方形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.25．（2021秋·广东惠州·八年级统考期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若AB＝2，当四边形OCED是正方形时，求OC的长；（3）若BD＝3，∠ACD＝30°，P是CD边上的动点，Q是CE边上的动点，求PE+PQ的最小值．【答案】（1）见解析；（2）2；（3）334．【分析】（1）根据四边相等的四边形是菱形即可判断．（2）矩形的性质和勾股定理求解．（3）作OQ⊥CE于Q，交CD于P，此时PE+PQ的值最小，由折叠的性质得出∠DCE＝∠DCO，PE＝PO，得出PE+PQ＝PO+PQ＝OQ，由直角三角形的性质得出CQ＝12OC=34，OQ=3CQ即可得到答案．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC与BD相等且互相平分，∴OC＝OD，∵△COD关于CD的对称图形为△CED，∴OD＝ED，EC＝OC，∴OD＝ED＝EC＝OC，∴四边形OCED是菱形．（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2．∵四边形OCED是正方形，∴∠COD＝90°．在直角△COD中，由勾股定理得：OC²+OD²＝2²，∵OD＝OC，∴OC＝2；（3）解：作OQ⊥CE于Q，交CD于P，如图所示：此时PE+PQ的值最小为334；理由如下：∵△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED，∴∠DCE＝∠DCO，PE＝PO，∴PE+PQ＝PO+PQ＝OQ，∵AC＝BD＝3，∴OC＝OD＝32，∴∠DCO＝∠ACD＝30°，∴∠DCE＝30°，∴∠OCQ＝60°，∴∠COQ＝30°，∴CQ＝12OC=34，OQ=3CQ=334即PE+PQ的最小值为334．【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，矩形的性质，菱形的性质与判定，正方形的判定，勾股定理以及垂线最短等知识，熟练掌握翻折的性质和菱形的性质与判定是解题的关键.26．（2021秋·全国·八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=1,∠B=60°，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D'处，折痕交CD边于点E．（1）求证：四边形BCED'是菱形；（2）若点P是直线l上的一个动点，请作出使PD'+PB为最小值的点P，并计算PD'+PB．【答案】（1）见解析；（2）作图见解析，7【分析】（1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD'=∠DEA=∠D'EA，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形DAD'E是平行四边形，进而求出四边形BCED'是平行四边形，根据折叠的性质得到AD=AD'，然后又菱形的判定定理即可得到结论；（2）由四边形DAD'E是平行四边形，得到▱DAD'E是菱形，推出D与D'关于AE对称，连接BD交AE于P，则BD的长即为PD'+PB的最小值，过D作DG⊥BA于G，解直角三角形得到AG=12，DG=32，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：证明：（1）∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D'处，∴∠DAE=∠D'AE，∠DEA=∠D'EA，∠D=∠AD'E，∵DE//AD'，∴∠DEA=∠EAD'，∴∠DAE=∠EAD'=∠DEA=∠D'EA，∴∠DAD'=∠DED'，∴四边形DAD'E是平行四边形，∴DE=AD'，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB//DC，∴CE=D'B，CE//D'B，∴四边形BCED'是平行四边形；∵AD=AD'，∵AB=2，AD=1，∴AD=AD'=BD'=CE=BC=1，∴▱BCED'是菱形；（2）∵四边形DAD'E是菱形，∴D与D'关于AE对称，连接BD交AE于P，则BD的长即为PD'+PB的最小值，过D作DG⊥BA于G，∵CD//AB，∴∠DAG=∠CDA=60°，∵AD=1，∴AG=12，DG=32，∴BG=52，∴BD=DG2+BG2=7，∴PD'+PB的最小值为7．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，最短距离问题，勾股定理，菱形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．27．（2019秋·湖南长沙·八年级雅礼中学校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=16，∠A=60°，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将ΔAPB折叠，得ΔA'PB．（1）如图所示，当∠DPA'=10°时，APB=_______度；（2）如图所示，当PA'⊥BC时，求线段PA的长度；（3）当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点A、B重合的一个动点，将ΔAPF沿PF折叠，得到ΔA'PF，连接BA'，求ΔBA'F周长的最小值．【答案】（1）85°；（2）53+5；（3）2+221【分析】（1）求出∠APA'，利用翻折不变性解决问题即可．（2）如图2中，作BH⊥AD于H．根据30度角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理求出AH，PH即可解决问题．（3）ΔBA'F的周长=FA'+BF+BA'=AF+BF+BA'=AB+BA'=10+BA'，推出当BA'的周长最小时，ΔBA'F的周长最小，由此即可解决问题．【详解】（1）如图1：∵∠DPA'=10°∴∠APA'=180°−∠DPA'=180°−10°=170°由折叠的性质可知：∠APB=∠A'PB=12×170°=85°故答案为：85°（2）如图2：作BH⊥AD于H 在Rt△ABH中∵∠AHB=90°，AB=10，∠A=60°∴∠ABH=30°∴AH=12AB=5∴BH=AB2−AH2=102−52=53∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC∵PA'⊥BC∴PA'⊥AD∴∠APA'=90°∴∠HPB=∠BPA'=45°∴PH=BH=53∴PA=AH+PH=53+5故答案为：53+5（3）如图3中，作BH⊥AD于H ，连接BP∵PA=8，AH=5 ∴PH=3∵BH=53∴PB=PH2+BH2=32+(53)2=221由翻折可知: PA=PA'=8， FA=FA'，ΔBFA'的周长FA'+BF+BA'=AF+BF+BA'=AB+BA'=10+BA'∴当BA'最小时， ΔBFA'的周长最小∵BA'≥PB−PA'∴BA'≥221−8 ∴BA'的最小值为221−8∴ΔBFA'的周长的最小值为: 10+221−8=221+2故答案为：221+2【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题、翻折变换（折叠问题），在求解过程中用到了平行四边形性质知识点．28．（2016秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点P为对角线BD上一动点，点E在射线BC上．（1）填空：∠PBC= 度．（2）若BE=t，连结PE、PC，则|PE+PC的最小值为 ，|PE﹣PC|的最大值是 （用含t的代数式表示）；（3）若点E 是直线AP与射线BC的交点，当△PCE为等腰三角形时，求∠PEC的度数．【答案】（1）45；（2）；|4﹣t|；（3）当△PCE为等腰三角形时，∠PEC的度数为30°或120°．【详解】试题分析：（1）根据正方形的对角线平分一组对角，且四个角为直角，确定出所求角度数即可；（2）连接AP，当AP与PE在一条线上时，PE+PC最小，利用勾股定理求出最小值；当P与B重合时，|PE﹣PC|最大，表示出最大值即可；（3）分两种情况考虑：①当E在BC延长线上时，如图2所示，△PCE为等腰三角形，则CP=CE；②当E在BC上，如图3所示，△PCE是等腰三角形，则PE=CE，分别求出∠PEC的度数即可．解：（1）∠PBC=45度；故答案为45；（2）如图1所示：当AP与PE在一条线上时，PE+PC最小，∵AB=4，BE=t，∴PE+PC的最小值为；当P与B重合时，|PE﹣PC|的最大值，最大值是|4﹣t|；故答案为；|4﹣t|；（3）分两种情况考虑：①当点E在BC的延长线上时，如图2所示，△PCE是等腰三角形，则CP=CE，∴∠CPE=∠CEP，∴∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP，∵在正方形ABCD中，∠ABC=90°，∴∠PBA=∠PBC=45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴∠BAP=∠BCP=2∠CEP，∵∠BAP+∠PEC=90°，∴2∠PEC+∠PEC=90°，∴∠PEC=30°；②当点E在BC上时，如图3所示，△PCE是等腰三角形，则PE=CE，∴∠CPE=∠PCE，∴∠BEP=∠CPE+∠PCE=2∠ECP，∵四边形ABCD是正方形，∴∠PBA=∠PBC=45°，又AB=BC，BP=BP，∴△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∵∠BAP+∠AEB=90°，∴2∠BCP+∠BCP=90°，∴∠BCP=30°，∴∠AEB=60°，∴∠PEC=180°﹣∠AEB=120°，综上所述：当△PCE为等腰三角形时，∠PEC的度数为30°或120°．29．（2021秋·全国·八年级专题练习）如图，正方形ABCD中，AB=25，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF.（1）若A、E、O三点共线，求CF的长；（2）求△CDF的面积的最小值.【答案】（1）3；（2）10−25【分析】（1）利用勾股定理求出AO长，易得AE长，由正方形的性质利用SAS可证△ADE≌△CDF，根据全等三角形对应边相等可得结论；（2）过点E作EH⊥AD于点H，当O,E,H三点共线，EH最小，求出EH长，根据三角形面积公式求解即可.【详解】（1）由旋转得：∠EDF=90°，ED=DF，∵O是BC边的中点，∴BO=12BC=5.在Rt△AOB中，AO=AB2+BO2=20+5=5.∴AE=AO−EO=5−2=3.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，AD=CD，∴∠ADC=∠EDF，即∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDF，∴∠ADE=∠CDF.在△ADE和△CDF中AD=CD∠ADE=∠CDFDE=DF∴△ADE≌△CDF.∴CF=AE=3.（2）由于OE=2，所以E点可以看作是以O为圆心，2为半径的半圆上运动.过点E作EH⊥AD于点H.∵△ADE≌△CDF，∴S△ADE=S△CDF当O,E,H三点共线，EH最小，EH=OH−OE=25−2.∴S△CDF=S△ADE=12×AD×EH=10−25.【点睛】本题是正方形与三角形的综合题，涉及的知识点主要有正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练的利用正方形的性质证明三角形全等是解题的关键.30．（2022秋·湖北咸宁·八年级统考期末）如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，E为BC边上一动点（不与B，C重合），OF⊥OE交CD于F．(1)求证：△OBE≌△OCF；(2)求证：2OE2=BE2+DF2；(3)如图2，若正方形ABCD边长为22，G为EF中点，点E在运动过程中，CG长的最小值为___________．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)1【分析】（1）先判断出OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOC=90°，再判断出∠BOE=∠COF，即可得出结论；（2）先判断出CE=DF，再利用勾股定理即可得出结论；（3）先判断出OE⊥BC时，CG长的值最小，即可求出答案．（1）证明：∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOC=90°，∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°=∠BOC，∴∠BOE=∠COF，在△OBE和△OCF中，∠BOE=∠COFOB=OC∠OBE=∠OCF，∴△OBE≌△OCFSAS．（2）由（1）知：△OBE≌△OCF，∴OE=OF，BE=CF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，BC=CD，∴BC−BE=CD−CF，∴CE=DF，在Rt△ECF中，CF2+CE2=EF2，∴BE2+DF2=EF2，在Rt△EOF中，OE=OF，∴EF2=OE2+OF2=2OE2，∴2OE2=BE2+DF2．（3）解：在Rt△ECF中，G为EF中点，∴CG=12EF，由（2）知：EF=OE2+OF2=2OE2=2OE，∴CG=22OE，要CG长的值最小，则OE长的值最小，∵点E在BC上，正方形ABCD边长为22，OB=OC，∠BOC=90°，∴当OE⊥BC时，OE长的值最小，此时OE是Rt△BOC的BC边上的中线，∴OE=12BC=12×22=2，∴CG长的最小值为22OE=22×2=1．故答案为：1．【点睛】本题是四边形综台题，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一，垂线段最短．确定线段OE的长取得最小值时所在的位置是解题的关键．