八年级数学下册尖子生培优必刷题 专题18.13四边形中的动点问题提升专练（重难点培优30题）（原卷版+解析）

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专题18.13四边形中的动点问题提升专练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单选题1．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）1.如图，在矩形ABCD中，AD＝6，点P从点A以每秒2个单位长度的速度向点D运动，同时，点Q从点C以每秒1个单位长度的速度向点B运动．当点P到达点D时，P，Q停止运动．设运动时间为t秒，则当四边形PDCQ为矩形时，t的值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022春·山东烟台·八年级统考期末）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（    ）A．矩形→菱形→平行四边形→矩形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→菱形→正方形→矩形3．（2022秋·山东临沂·八年级校考期中）如图，四边形ABCD中，AD//BC，AD=8cm,BC=12cm，M是BC上一点，且BM=9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t(s)，则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（    ）A．34 B．3 C．3或32 D．32或344．（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC上的一点且CE=3，连接DE，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB-BC-CD-DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（   ）A．3.5 B．5.5 C．6.5 D．3.5或6.55．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆三十二中校考期中）如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发在BC上往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），设运动时间为t（s）（t＞0），若以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形，则t的值错误的是（　　）A．6 B．8 C．10 D．126．（2022秋·江西赣州·八年级统考期末）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点P从点B出发，沿折线BC−CD方向移动，移动到点D停止．在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（   ）A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形7．（2021秋·福建福州·八年级校考期中）已知▱ABCD，点E是边BC上的动点，以AE为边构造▱AEFG，使点D在边FG上，当点E由B往C运动的过程中，▱AEFG面积变化情况是（　　）A．一直增大 B．保持不变C．先增大后减小 D．先减小后增大8．（2021秋·江苏扬州·八年级统考阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的右下方作正方形AEFG．同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动，当经过（    ）秒时，直线MN和正方形AEFG开始有公共点A．2 B．2.5 C．3 D．3.59．（2022秋·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考期中）如图，在▱ABCD中，∠ABC=45°，BC=4，点F是CD上一个动点，以FA、FB为邻边作另一个▱AEBF，当F点由D点向C点运动时，下列说法正确的选项是（    ）①▱AEBF的面积先由小变大，再由大变小；②▱AEBF的面积始终不变；③线段EF最小值为42A．① B．② C．①③ D．②③10．（2020秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点E、F，满足AB＝2EF，点P是BC的中点，连接AF、PE，若AB＝8，则当AF+PE最小值时，线段AF的长度为(    )A．6 B．853 C．25 D．35二、填空题11．（2022秋·江苏连云港·八年级统考期末）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，点P是对角线BD上的动点，则AP+PE的最小值是_______．12．（2022秋·湖南怀化·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝15cm，BC＝10cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以2cm/s的速度由A向D运动，Q以0.5cm/s的速度由C出发向B运动，运动________秒时，四边形ABQP恰好是平行四边形．13．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，BC=16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t=______秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．14．（2021秋·湖南永州·八年级统考期中）如图，在菱形ABCD中，AB=5cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为_____________s． 15．（2022秋·湖南常德·八年级校考期末）如图，已知菱形ABCD的顶点A(−3，0)，∠DAB=60°，若动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，则第2020秒时，点P的坐标为____．16．（2019春·安徽亳州·八年级统考阶段练习）如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为(4，0)，C点的坐标为(0，6)，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位的速度沿着O→A→B→C→O的路线移动在点P移动过程中，当P点到x轴的距离为5个单位时，点P移动的时间为________17．（2022秋·江苏镇江·八年级校联考阶段练习）在四边形ABCD中，AD∥BC，M是BC上一点，且BM=4，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为______________时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．18．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝20cm，BC＝30cm，点E以1cm/s的速度从点A出发向点D运动，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF、DG，若t秒后△DFG的面积恰好为12t2cm2，则t的值为_____．19．（2022秋·北京门头沟·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是矩形，且B8,4，动点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB向点B运动，同时动点F从点B出发，以同样每秒1个单位的速度沿折线BC→CO向点O运动，当E，F有一点到达终点时，点E，F同时停止运动．设点E，F运动时间为t秒，在运动过程中，如果AE=3CF，那么t=______秒．20．（2022秋·福建福州·八年级统考期末）在▱ABCD中(AB>BC)，点O是对角线AC的中点．过点O作直线HF,GE，直线HF分别交AD,BC于点H，F，直线GE分别交DC,AB于点G，E．连接EF,FG,GH,HE．有下列四个结论：①四边形EFGH可以是平行四边形；②四边形EFGH可以是矩形；③四边形EFGH不可以是菱形；④四边形EFGH不可以是正方形，其中正确的是________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题21．（2022秋·湖南怀化·八年级校考期中）如图，矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动．(1)若动点M,N同时出发，t秒时，N走过___________cm，M走过___________cm；(2)若动点M,N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？(3)若点E在线段BC上，且BE=3cm，若动点M,N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A,E,M,N组成平行四边形？22．（2022秋·广西玉林·八年级统考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90∘，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABC方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P，Q同时发，当点Q运动到点C时，P，Q运动停止，设运动时间为t．(1)直接写出CD的长（cm）；(2)当四边形PBQD为平行四边形时，直接写出四边形PBQD的周长（cm）；(3)在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为15cm2？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．23．（2022秋·吉林白城·八年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=18，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AD边做往返运动，在点P出发的同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC边向终点(运动，当点Q到达点C时，两点间时停止运动，连接PQ，设运动时间为t(秒)．(1)当t= 4时，PD的长度为 (2)当四边形ABQP为矩形时，t的值为 (3)设四边形ABQP的面积为S，求S与t之间的函数关系式；(4)当PQ所在的直线将矩形ABCD分成的两部分的面积比为1∶2时，直接写出t的值．24．（2022·北京海淀·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=53，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒t>0．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．(1)求AB，AC的长；(2)求证：AE=DF；(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．25．（2022秋·云南保山·八年级统考期末）如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=20，AD=16．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长度的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时停止运动，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．(1)设△DPQ的面积为S，用含t的式子表示S；(2)当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？(3)求出当t为何值时，PQ=PD．26．（2021秋·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝5cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，当Q到达终点时，P也随之停止运动．用t表示移动时间，设四边形QAPC的面积为S．(1)试用t表示AQ、BP的长；(2)试求出S与t的函数关系式；(3)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？并求出此时S的值．27．（2022秋·河南新乡·八年级校考期中）如图①，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝6．动点P从点A出发沿边AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．设点P运动的时间为t（t＞0）秒．(1)线段PD的长为 　 　（用含t的代数式表示）；(2)当CP平分∠BCD时，求t的值；(3)如图②，另一动点Q从点C出发以每秒4个单位的速度，在CB上往返运动，P，Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．28．（2022秋·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A0,12,Ba,c,Cb,0, 且 a,b 满足 a−21+b−162=0, 一动点 P 从点 A 出发，在线段 AB 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运 动；动点 Q 从点 O 出发，在线段 OC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动，点 P,Q 分别从点 A, O 同时出发，当点 P 运动到点 B 时停止运动, 点 Q 随之停止运动．设运动时间为 t 秒．(1)求 B,C 两点的坐标；(2)当 t 为何值时，四边形 PQCB 是平行四边形? 请求出此时 P，Q 两点的坐标；(3)当 t 为何值时，△PQC 是以 PQ 为腰的等腰三角形? 请求出此时 P,Q 两点的坐标．29．（2022秋·山东聊城·八年级统考期末）已知，如图O为坐标原点，四边形OABC为矩形，B（10，4），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒3个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．(1)当t为何值时，△BDP的面积为10？(2)在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．30．（2022秋·辽宁营口·八年级统考期末）在矩形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,BD的垂直平分线分别交AD,BC于点E，F，垂足为O．(1)如图1，连接BE,DF，试说明四边形BEDF为菱形，并求出它的边长；(2)如图2，动点M，N分别从点E，F同时出发，沿△EBA和△FCD各边匀速运动一周，即点M自E→B→A→E停止，点N自F→C→D→F停止．在运动过程中，已知点M的速度为5cm/s，点N的速度为4cm/s，设运动时间为ts(0BC)，点O是对角线AC的中点．过点O作直线HF,GE，直线HF分别交AD,BC于点H，F，直线GE分别交DC,AB于点G，E．连接EF,FG,GH,HE．有下列四个结论：①四边形EFGH可以是平行四边形；②四边形EFGH可以是矩形；③四边形EFGH不可以是菱形；④四边形EFGH不可以是正方形，其中正确的是________．（写出所有正确结论的序号）【答案】①②④【分析】根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定与性质得出OH=OF，OE=OG，即可证明结论①；当OE=OH时，可证明结论②；当OE⊥OH时，可证明结论③；将图3中的Rt△EOH顺时针和逆时针旋转，可得OE和OH同增同减，可得OE≠OH，可得结论④．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∵点O是对角线AC的中点，∴AO=CO，∵∠AOH=∠COF，∴△AOH≌△COF，∴OH=OF，同理可得△AOE≌△COG，∴OE=OG，∴四边形EFGH是平行四边形，故①正确；当OE=OH时，四边形EFGH是矩形，故②正确；当OE⊥OH时，四边形EFGH是菱形，故③错误；将图3中的Rt△EOH顺时针和逆时针旋转，可得OE和OH同增同减，∴当OE⊥OH时，不存在OE=OH，∴四边形EFGH不可以是正方形，故④正确；故答案为：①②④．【点睛】本题考查了四边形综合问题，涉及到全等三角形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的性质定理与判定定理是解本题的关键．三、解答题21．（2022秋·湖南怀化·八年级校考期中）如图，矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动．(1)若动点M,N同时出发，t秒时，N走过___________cm，M走过___________cm；(2)若动点M,N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？(3)若点E在线段BC上，且BE=3cm，若动点M,N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A,E,M,N组成平行四边形？【答案】(1)t;2t(2)8(3)t=173【分析】（1）根据路程=时间×速度的等量关系，可直接写出N和M的路程（2）根据相遇问题的等量关系列出方程求解即可，M的路程+N的路程=矩形的周长；（3）分点M在点E的左边和右边两种情况，根据平行四边形对边相等，利用AN=ME列出方程求解即可．【详解】（1）解：路程=时间×速度，时间为t，N的速度为1cm/s，所以其路程为t，M的速度2cm/s所以其路程为2t；（2）解：设t秒时两点相遇，根据题意得t+2t=2×(4+8)=24，解得t=8，即经过8秒钟两点第一次相遇；（3）解：①如图1，点M在BC上且在E点右侧时，当AN=ME时，四边形AEMN为平行四边形，得8−t=9−2t，解得t=1，此时点M在DC，所以舍去；②如图2，点M在BC上且在E点左侧时，当AN=ME时，四边形AEMN为平行四边形，得8−t=2t−9，解得t=173，符合题意 ，所以经过173秒钟，点A,E,M,N组成平行四边形．【点睛】本题主要考查了矩形的性质及平行四边形的判定与性质，根据等量关系列出方程是解题的关键．22．（2022秋·广西玉林·八年级统考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90∘，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABC方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P，Q同时发，当点Q运动到点C时，P，Q运动停止，设运动时间为t．(1)直接写出CD的长（cm）；(2)当四边形PBQD为平行四边形时，直接写出四边形PBQD的周长（cm）；(3)在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为15cm2？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)16(2)8+813(3)存在，满足条件的t的值为2512秒或5秒【分析】（1）过点A作AM⊥CD于M，根据题意证明四边形ABCD是平行四边形，然后根据平行四边形的性质以及勾股定理可得结果；（2）当四边形PBQD是平行四边形，则点P在AB上，点Q在DC上，则BP=10−3t，DQ=2t，根据平行四边形的性质可得10−3t=2t，求解得出平行四边形的各边长，求其周长即可；（3）分两种情况进行讨论：①当点P在线段AB上时；②当点P在线段BC上时；根据三角形面积列方程计算即可．【详解】（1）解：如图1，过点A作AM⊥CD于M，∵AM⊥CD，∠BCD=90°，∴AM∥CB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴CM=AB=10cm，在Rt△ADM中，AD=10cm，AM=BC=8cm，根据勾股定理得，DM=6cm，∴CD=DM+CM=16cm；（2）当四边形PBQD是平行四边形，则点P在AB上，点Q在DC上，如图3，由运动知，BP=10−3t，DQ=2t，∴10−3t=2t，∴t=2，此时，BP=DQ=4，CQ=12，根据勾股定理得，BQ=413；∴四边形PBQD的周长为2BP+BQ=8+813；（3）①当点P在线段AB上时，即：0≤t≤103时，如图2，S△BPQ=12PB⋅BC=1210−3t×8=15，∴t=2512；②当点P在线段BC上时，即：1030．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．(1)求AB，AC的长；(2)求证：AE=DF；(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．【答案】(1)AB=5，AC=10；(2)证明见解析(3)当t=52秒或4秒时，△DEF为直角三角形，理由见解析【分析】（1）由直角三角形的性质和勾股定理得出方程，解方程即可；（2）利用已知用未知数表示出DF，AF的长，进而得出AE=DF；（3）利用①当∠EDF=90°时；②当∠DEF=90°时；③当∠EFD=90°时，分别分析得出即可．（1）解：设AB=x，∵∠B=90°，∠C=30°，∴AC=2AB=2x．由勾股定理得，2x2−x2=532，解得：x=5，∴AB=5，AC=10 ；（2）证明：由题意得AE=t，CD=2t，则AD=10−2t，在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=12CD=t．又∵AE=t，∴AE=DF；（3）解：当t=52秒或4秒时，△DEF为直角三角形，理由如下：分情况讨论：①∠EDF=∠DFC=90°时，则DE∥BC，∴∠AED=∠B=90°，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE，∴10-2t=2t，∴t=52；②∠DEF=90°时，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．又∵AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形，∴AD∥EF，∴∠ADE=∠DEF=60°，∴∠AED=30°，∴AD=12AE，∴10−2t=12t，∴t=4；③∠EFD=90°时，此种情况不存在．当t=52秒或4秒时，△DEF为直角三角形．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识．理解相关知识是解答关键．25．（2022秋·云南保山·八年级统考期末）如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=20，AD=16．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长度的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时停止运动，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．(1)设△DPQ的面积为S，用含t的式子表示S；(2)当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？(3)求出当t为何值时，PQ=PD．【答案】(1)S=−6t+96(2)当t=4时，四边形PCDQ是平行四边形(3)当t=163时，PD=PQ【分析】（1）过点P作PE⊥AD于E，根据三角形的面积公式计算，得出结论；（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形列式计算；（3）根据等腰三角形的三线合一得到QE=ED，进而列出方程，解方程得到答案．（1）解：当点Q运动到点D时，用时为16秒；当点P运动到点C时，用时为10秒，因为10<16，所以当点P，Q停止运动时，所用时间为10秒，在直角梯形ABCD中，依题意知AQ=t，  BP=2t，则DQ=16−t，PC=20−2t，如图2，过点P作PE⊥AD于点E，∵AD∥BC， ∠A=90°，∴AB⊥BC，∴∠A=∠ABC=∠AEP=90°，∴四边形ABPE为矩形，∴PE=AB=12，∴S=12DQ⋅PE=1216−t×12=−6t+96．（2）解：当四边形PCDQ是平行四边形时，PC=DQ，即20−2t=16−t，解得t=4，符合题意，∴当t=4时，四边形PCDQ是平行四边形．（3）解：由（1）知AE=BP=2t，  PE=AB=12．当PD=PQ时，QE=ED=12QD=12(16−t)，又∵AE=BP=AQ+QE，∴2t=t+QE，则QE=t，∴12(16−t)=t，解得t=163，符合题意，∴当t=163时，PD=PQ．【点睛】本题考查的是直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰三角形的性质，熟记平行四边形的判定定理、等腰三角形的三线合一是解题的关键．26．（2021秋·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝5cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，当Q到达终点时，P也随之停止运动．用t表示移动时间，设四边形QAPC的面积为S．(1)试用t表示AQ、BP的长；(2)试求出S与t的函数关系式；(3)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？并求出此时S的值．【答案】(1)AQ＝5﹣t；BP＝12﹣2t(2)S=30﹣t(3)当t=53时，△QAP为等腰直角三角形，853【分析】（1）t表示移动时间，又有其移动的速度，则可求其移动的路程，总长度减去移动的路程；（2）总面积已知，只需求出移动中两个三角形的面积，即△QDC与△PBC的面积即可，总面积减去两个三角形的面积即为所求；（3）要使△AQP为等腰直角三角形，只需AQ=AP即可．（1）由题意得：AQ=5-t；BP=12-2t；（2）S△QDC=12DQ×CD=12×12t,S△PBC=12PB×BC=12×5(12−2t)，则S=5×12−12×12t−12×5(12−2t)=30−t；（3）当AQ=AP时，5-t=2t所以t=53，所以，当t=53时，△QAP为等腰直角三角形S=30-t=30-53=853．【点睛】本题考查了四边形的动点问题，要注意矩形的性质，即四个角都是直角，在等腰直角三角形中，两条直角边相等．27．（2022秋·河南新乡·八年级校考期中）如图①，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝6．动点P从点A出发沿边AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．设点P运动的时间为t（t＞0）秒．(1)线段PD的长为 　 　（用含t的代数式表示）；(2)当CP平分∠BCD时，求t的值；(3)如图②，另一动点Q从点C出发以每秒4个单位的速度，在CB上往返运动，P，Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．【答案】(1)6−t(2)t=3(3)t＝125或4或245【分析】（1）由PD＝AD−AP求解；（2）由平行线及角平分线可得DP＝CD，进而求解；（3）分类讨论点Q在往返运动BQ的代数式，通过DP＝BQ求解．（1）解：（1）PD＝AD−AP＝6−t，故答案为：6−t；（2）解：当CP平分∠BCD时，∠BCP＝∠DCP，∵AD∥BC，∴∠BCP＝∠DPC，∴∠DPC＝∠DCP，∴DP＝CD＝6−t＝3，∴t＝3；（3）解：当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时，DP＝BQ，当Q第一次到达B时t＝6÷4＝32，第一次返回C时，t＝12÷4＝3，第二次到达B时，t＝6×3÷4＝92，第二次返回C时，t＝32×4＝6．①当Q未到达B时，0＜t＜32，CQ＝4t，BQ＝6−4t，当DP＝BQ时，6−t＝6−4t，解得t＝0，不符合题意；②当32≤t≤3时，当DP＝BQ时，即6−t＝4t−6，解得t＝125；③当3＜t≤92时，当DP＝BQ时，即6−t＝18−4t，解得t＝4；④92＜t≤6时，当DP＝BQ时，即6−t＝4t−18，解得t＝245；综上所述，t＝125或4或245．【点睛】本题考查平行四边形的动点问题，涉及到角平分线定义、平行四边形的判定与性质，解一元一次方程等知识点，解题关键是分类讨论求解．28．（2022秋·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A0,12,Ba,c,Cb,0, 且 a,b 满足 a−21+b−162=0, 一动点 P 从点 A 出发，在线段 AB 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运 动；动点 Q 从点 O 出发，在线段 OC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动，点 P,Q 分别从点 A, O 同时出发，当点 P 运动到点 B 时停止运动, 点 Q 随之停止运动．设运动时间为 t 秒．(1)求 B,C 两点的坐标；(2)当 t 为何值时，四边形 PQCB 是平行四边形? 请求出此时 P，Q 两点的坐标；(3)当 t 为何值时，△PQC 是以 PQ 为腰的等腰三角形? 请求出此时 P,Q 两点的坐标．【答案】(1)B（21，12）；C（16，0）(2)t=5时，四边形 PQCB 是平行四边形；此时P（10，12）；Q（5，0）(3)当t=72或163时，△PQC 是以 PQ 为腰的等腰三角形，此时 P,Q 两点的坐标为P（7，12）；Q（72，0）或P（323，12）；Q（163，0）【分析】（1）根据非负数的性质得出a，b的值进而得出答案；（2）由题意得：AP=2t，QO=t，PB=21-2t，QC=16-t，根据平行四边形的判定可得21-2t=16-t，再解方程即可；（3）①当PQ=CQ时，122+t2=（16-t）2，解方程得到t的值，再求P点坐标；②当PQ=PC时，由题意得：QM=t，CM=16-2t，进而得到方程t=16-2t，再解方程即可．（1）解：∵a−21+b−162=0,∴a=21,b=16∵AB∥OC，A（0，12），B（a，c），∴c=12，∴B（21，12），C（16，0）；（2）由题意得：AP=2t，QO=t， 则：PB=21-2t，QC=16-t，∵AB∥OC（即PB∥QC），∴当PB=QC时，四边形PQCB是平行四边形，∴21-2t=16-t，解得：t=5，故当t=5时，四边形PQCB是平行四边形；此时AP=2t=10，QO=t=5，∴此时P（10，12）；Q（5，0）（3）∵△PQC是以PQ为腰的等腰三角形，∴分两种情况：PQ=CQ或PQ=PC．①当PQ=CQ时，如图，过Q作QN⊥AB于N，∵∠AOQ=∠OAN=∠ANQ=90°，∴四边形AOQN是矩形，∴AN=OQ=t，NQ=OA=12，∴PN=AP-AN=2t-t=t，∴Rt△PQN中：PQ2=PN2+NQ2=t2+122，∵PQ=CQ，∴PQ2=CQ2，即122+t2=（16-t）2，解得t=72∴P（7，12），Q72,0②当PQ=PC时，过P作PM⊥x轴于M，∴QM=MC，由题意得：QM=t，CM=16-2t，则t=16-2t，解得：t=163，∴2t=323，故P（323，12），Q（163，0）．综上所述，当t=72或163时，△PQC 是以 PQ 为腰的等腰三角形，此时 P,Q 两点的坐标为P（7，12）；Q（72，0）或P（323，12）；Q（163，0）．【点睛】此题主要考查了绝对值的非负性、平行四边形的判定，矩形判定与性质，等腰三角形的性质及勾股定理，关键是注意分类讨论，不要漏解．29．（2022秋·山东聊城·八年级统考期末）已知，如图O为坐标原点，四边形OABC为矩形，B（10，4），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒3个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．(1)当t为何值时，△BDP的面积为10？(2)在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)当t= 53时，△BDP的面积为10(2)t＝83，点Q的坐标为（3，4）或t＝23，点Q的坐标为（−3，4）或t＝1，点Q（8，4）【分析】（1）根据点的坐标以及由三角形的面积公式可求解；（2）分两种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论．（1）解：∵B（10，4），点D是OA的中点，∴BC＝10，OC＝4，OD＝DB＝5，∵△BDP的面积为10，∴12×BP×4＝10，∴BP＝5，∴CP＝5，∴t＝53；∴当t= 53时，△BDP的面积为10（2）①当点Q在线段BC上时，如图1，若四边形ODPQ是菱形，∴OQ＝OD＝5，在Rt△OCQ中，CQ＝OQ2−OC2＝3，∴CP＝3＋5＝8，∴t＝83，点Q的坐标为（3，4）；若四边形ODQP是菱形，同理可得点P（3，4），PQ＝5，∴t＝33＝1，点Q（8，4）；②当点Q在射线BC上时，如图2，∵四边形ODPQ是菱形，∴OQ＝OD＝5，在Rt△OCQ中，CQ＝OQ2−OC2＝3，∴CP＝5−3＝2，∴t＝23，点Q的坐标为（−3，4）．综上所述：t＝83，点Q的坐标为（3，4）或t＝23，点Q的坐标为（−3，4）或t＝1，点Q（8，4）．【点睛】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，矩形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．30．（2022秋·辽宁营口·八年级统考期末）在矩形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,BD的垂直平分线分别交AD,BC于点E，F，垂足为O．(1)如图1，连接BE,DF，试说明四边形BEDF为菱形，并求出它的边长；(2)如图2，动点M，N分别从点E，F同时出发，沿△EBA和△FCD各边匀速运动一周，即点M自E→B→A→E停止，点N自F→C→D→F停止．在运动过程中，已知点M的速度为5cm/s，点N的速度为4cm/s，设运动时间为ts(0