苏科版八年级上册2.4 线段、角的轴对称性一课一练

这是一份苏科版八年级上册2.4 线段、角的轴对称性一课一练，共18页。

1．如图，△ABC的两条内角平分线相交于点D，过点D作一条平分△ABC面积的直线，那么这条直线分成的两个图形的周长比是（ ）
A．2：1B．1：1C．2：3D．3：1
2．如图，点P在∠AOB的角平分线上，过点P作PC⊥OA，交OA于点C，且PC＝8，则P到OB的距离为（ ）
A．4B．6C．8D．10
3．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P，且与AB垂直，若BP＝5，CP＝12，则AD的长为（ ）
A．12B．13C．D．
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，高AD与角平分线BE相交于点F，∠DAC的平分线4G分别交BC、BE于点G、O，连接FG，下列结论：①∠ABD＝∠DAC；②∠AFE＝∠AEF；③AG⊥EF；④FG∥AC，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．①②③④
5．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，PE＝5，则两条平行线AD与BC间的距离为（ ）
A．5B．8C．9D．10
6．如图，一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”这样说的依据是（ ）
A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
C．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
D．以上均不正确
7．如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝2，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
8．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为17cm，且△ABD的周长为11cm，则CE＝（ ）cm．
A．6B．3C．2D．1
9．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠EAG＝40°，则∠BAC的度数是（ ）
A．140°B．130°C．120°D．110°
10．如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，且EF⊥BC，垂足为点F，DE＝4，则EF的值为 ．
12．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE，若AD＝3，△BCE的周长等于11．则△ABC的周长为 ．
13．如图，点M是∠AOB平分线上一点，∠AOB＝60°，ME⊥OA于E，OE＝，如果P是OB上一动点，则线段MP的取值范围是 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE．
（1）若∠A＝35°，则∠ABE＝ °；
（2）若BE＝3，EC＝1，则AC＝ ．
15．如图，线段AC，AB的垂直平分线交于点O，连接OA、OB、OC，已知OC＝2cm，则OB等于 cm．
16．如图，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF的中点，只需添加 ，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线．
二．解答题（共7小题，满分56分）
17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．
18．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，BD＝6，AE⊥BC于点E，求CE的长．
19．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长为14cm，AC＝6cm，求DC长．
20．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若AB＝3cm，求△CMN的周长．
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
21．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE与CD交于点F，与AC交于点E．
（1）判断△DBC的形状并证明你的结论．
（2）求证：BF＝AC．
（3）试说明CE＝BF．
22．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F．
（1）若BC＝10，求△AEF周长．
（2）若∠BAC＝128°，求∠FAE的度数．
23．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P，PD⊥AB于点D．
（1）过点P作PE⊥AC于点E，求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：连接AD，过D点作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，作DG⊥BC于点G，
∵△ABC的两条内角平分线相交于点D，
∴AD也是△ABC的角平分线，
则D点为△ABC的内心，
∴DE＝DF＝DG，
设MN平分△ABC的面积，则S△BDM+S△BDN＝S△ADM+S△ADC+S△DCN，
∵S△BDM＝BM•DE，S△ADM＝AM•DE，S△ADC＝AC•DF，S△DCN＝NC•DG，S△BDN＝BN•DG，
∴BM•DE+BN•DG＝AM•DE+AC•DF+NC•DG，
∴BM+BN＝AM+AC+NC，
∵MN＝MN，
∴BM+BN+MN＝AM+AC+NC+MN，
∴，
即这条直线分成的两个图形的周长比是：1：1．
故选：B．
2．解：过P点作PD⊥OB于D，如图，
∵点P在∠AOB的角平分线上，PC⊥OA，
∴PD＝PC＝8，
即P到OB的距离为8．
故选：C．
3．解：过P点作PH⊥BC于H，如图，
∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，∠ABC+∠DCB＝180°，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，
∴PH＝PA＝PD，∠PCB＝∠DCB，∠PBC＝∠ABC，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠DCB）＝×180°＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∴BC＝13，
∵PH•BC＝PB•PC，
∴PH＝＝，
∴PA＝PD＝PH＝，
∴AD＝2PA＝．
故选：D．
4．解：∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠ABD＝∠DAC，所以①正确；
∵∠ABD+∠C＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
∵∠AFE＝∠ABF+∠BAF，∠AEF＝∠C+∠EAC，
∴∠AFE＝∠AEF，所以②正确；
∴AE＝AF，
∵AG平分∠DAC，
∴AO⊥EF，所以③正确；
∵BO平分∠ABG，
∴∠ABO＝∠GBO，
∵BO⊥AG，
∴∠BAO＝∠BGO，
∴BA＝BG，
∴OA＝OG，
∴BO垂直平分AG，
∴FA＝FG，
∴∠FAO＝∠FGO，
∵∠FAO＝∠EAO，
∴∠EAO＝∠FGO，
∴FG∥AC，所以④正确．
故选：D．
5．解：过点P作GH⊥AD交AD于G，交BC于H，
∵AD∥BC，
∴GH⊥BC，
∵AP平分∠BAD，PE⊥AB，PG⊥AD，
∴PG＝PE＝5，
同理可得，PH＝PE＝5，
∴GH＝PG+PH＝10，即两平行线AD与BC间的距离为10，
故选：D．
6．解：如图，过点P作PE⊥AO，PF⊥BO，垂足分别为E和F，
∵两把完全相同的长方形直尺的宽度相等，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：C．
7．解：过P点作PH⊥OC于H，如图，
∵点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，PH⊥OC，
∴PH＝PD＝2，
∵点M是射线OC上一动点，
∴PM的最小值为2．
故选：C．
8．解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AE＝CE，
∵△ABC的周长为17cm，
∴AB+BC+AC＝17cm，
∵△ABD的周长为11cm，
∴AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝11cm，
∴AC＝17﹣11＝6（cm），
∴CE＝3cm，
故选：B．
9．解：设∠BAC＝α，
∴∠C+∠B＝180°﹣α，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
同理∠GAC＝∠C，
∴∠EAB+∠GAC＝∠C+∠B＝180°﹣α，
∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝α﹣（180°﹣α）＝40°，
∴α＝110°，
∴∠BAC＝110°，
故选：D．
10．解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，
∴∠PAB＝∠CAB，∠PBE＝∠CBE，
∵∠CBE＝∠CAB+∠ACB，
∠PBE＝∠PAB+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB；故①正确；
过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，
∴PM＝PN＝PS，
∴PC平分∠BCD，
∵S△PAC：S△PAB＝（AC•PN）：（AB•PM）＝AC：AB；故②正确；
∵BE＝BC，BP平分∠CBE
∴BP垂直平分CE（三线合一），故③正确；
∵PG∥AD，
∴∠FPC＝∠DCP
∵PC平分∠DCB，
∴∠DCP＝∠PCF，
∴∠PCF＝∠CPF，故④正确．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．解：∵BD是边AC上的高，
∴BD⊥AC，
∵CE平分∠ACB，EF⊥BC，ED⊥AC，
∴EF＝ED＝4．
故答案为：4．
12．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，AD＝3，
∴EA＝EB，AB＝2AD＝6，
∵△BCE的周长等于11，
∴BC+CE+EB＝BC+CE+EA＝BC+AC＝11，
∴△ABC的周长＝BC+AC+AB＝11+6＝17，
故答案为：17．
13．解：过M点作MF⊥OB于F，如图，
∵OM平分∠AOB，ME⊥OA，MF⊥OB，
∴ME＝MF，∠AOM＝∠AOB＝×60°＝30°，
在Rt△OME中，∵∠MOE＝30°，
∴ME＝OE＝×＝，
∴MF＝，
∵P是OB上一动点，
∴MP≥MF，
即线段MP的取值范围为MP≥．
故答案为：MP≥．
14．解：（1）∵DE是边AB的垂直平分线，
∴EA＝EB
∴∠ABE＝∠A＝35°，
故答案为：35；
（2）∵BE＝3，
∴EA＝BE＝3，
∴AC＝EC+EA＝3+1＝4，
故答案为：4．
15．解：∵线段AC，AB的垂直平分线交于点O，
∴OA＝OC，OA＝OB，
∴OB＝OC，
∵OC＝2cm，
∴OB＝2cm，
故答案为：2．
16．解：添加MN＝ME，理由如下：
∵EF⊥CD，MN⊥AC，
∴∠MEC＝∠MNC＝90°，
在Rt△MEC和Rt△MNC中，
，
∴Rt△MEC≌Rt△MNC（HL），
∴∠MCE＝∠MCN，
∴CM平分∠ACD，
∵EF⊥AB，MN⊥AC，
∴∠MFA＝∠MNA＝90°，
∵M是EF的中点，
∴ME＝MF，
∴MN＝MF，
在Rt△MFA和Rt△MNA中，
，
∴Rt△MFA≌Rt△MNA（HL），
∴∠MAF＝∠MAN，
∴AM平分∠CAB，
∴CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线，
故答案为：ME＝MN．
二．解答题（共7小题，满分56分）
17．证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠ACB＝∠BDE＝90°，
在Rt△BDE和Rt△BCE中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE，
∴ED＝EC，
∵ED＝EC，BD＝BC，
∴BE垂直平分CD．
18．解：连接AD，
∵AB的垂直平分线交BC于点D，
∴BD＝AD＝6，∴∠DAB＝∠B＝30°，
∴∠ADE＝60°，
∵AE⊥BC，
∴AE＝3，
∵∠C＝45°，
∴EC＝AE＝3．
19．解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∴∠C＝∠CAE，
∵∠BAE＝40°，
∴∠AED＝70°，
∴∠C＝∠AED＝35°；
（2）∵△ABC周长14cm，AC＝6cm，
∴AB+BE+EC＝8cm，
即2DE+2EC＝8cm，
∴DE+EC＝DC＝4cm．
20．解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB＝3（cm）；
（2）∵∠MFN＝70°，
∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，
∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，
∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．
21．解：（1）△DBC是等腰直角三角形，
理由：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝45°，
∴BD＝CD，
∴△DBC是等腰直角三角形；
（2）∵BE⊥AC，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
∵∠BFD＝∠CFE，
∴∠DBF＝∠ACD，
在△BDF与△CDA中，
，
∴△BDF≌△CDA，
∴BF＝AC；
（3）∵BE是AC的垂直平分线，
∴CE＝AC，
∴CE＝BF．
22．解：（1）∵在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，
∴AE＝BE，AF＝CF，
∵BC＝10，
∴△AEF周长为：AE+EF+AF＝BE+EF+CF＝BC＝10；
（2）∵AE＝BE，AF＝CF，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAF，
∵∠BAC＝128°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝52°，
∴∠BAE+∠CAF＝∠B+∠C＝52°，
∴∠FAE＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAF）＝76°．
23．（1）证明：作PE⊥AC于点E，连接PB、PC，
∵PQ是BC边的垂直平分线，
∴PB＝PC，
∵AP平分∠DAC，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴PD＝PE，
在Rt△BPD和Rt△CPE中，
，
∴Rt△BPD≌Rt△CPE，
∴BD＝CE；
（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，
，
∴Rt△ADP≌Rt△AEP，
∴AD＝AE，
∴AD+6＝10﹣AD，
解得，AD＝2（cm）．