湖北省武汉市常青联合体2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（Word版附答案）

这是一份湖北省武汉市常青联合体2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（Word版附答案），共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题学校：武汉市常青第一中学 命题教师：李桂群 审题教师：田艳
考试时间：2024年1月25日 试卷满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，，则下列结论错误的是（）
A．B．集合U有7个元素
C．D．
2．“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．函数的零点所在区间为（）
A．B．C．D．
4．函数的定义域是（）
A．B．C．D．
5．已知在R上是减函数．那么a的取值范围（）
A．B．C．D．
6．已知函数是定义在R上的偶函数，且在单调递增，设，，，则a，b，c的大小关系为（）
A．B．C．D．
7．已知函数，若，且，则的最小值为（）
A．18B．9C．D．
8．已知函数是定义在R上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（）
A．B．
C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列四个命题中假命题是（）
A．，
B．，使
C．，
D．已知命题，，则是：，
10．已知函数，则（）
A．的最小正周期为B．的定义域为
C．若，则D．在其定义域上是增函数
11．若，且，则（）
A．B．
C．D．
12．定义在R上的奇函数，满足且在上单调递减，，则（）
A．函数图象关于直线对称
B．函数的周期为4
C．
D．设，和的图象所有交点横坐标之和为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知扇形的周长为20，圆心角的弧度数是3，则该扇形的面积为______．
14．函数是幂函数，且在上是增函数，则实数______．
15．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么t min后物体的温度（单位：℃）可由公式（k为正常数）求得．若，将55℃的物体放在15℃的空气中冷却，则物体冷却到35℃所需要的时间为______min．
16．已知，若方程有四个不同的解，的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）计算（1）
（2）
18．（12分）已知角以x轴的非负半轴为始边，为终边上一点．
（1）求的值；
（2）求的值．
19．（12分）已知奇函数，且．
（1）求的解析式；
（2）用单调性的定义证明：在上单调递减．
20．（12分）地铁作为城市交通的重要组成部分，以其准时、高效的优点广受青睐．武汉新修建了一条地铁线路，经调研测算，每辆列车的载客量h（单位：人）与发车时间间隔t（单位：分钟，且）有关：当发车时间间隔达到或超过15分钟时，列车均为满载状态，载客量为1600人：当发车时间间隔不超过15分钟时，地铁载客量h与成正比．假设每辆列车的日均车票收入（单位：万元）．
（1）求y关于t的函数表达式；
（2）当发车时间间隔为何值时，每辆列车的日均车票收入最大？并求出该最大值．
21．（12分）已知函数（e是自然对数的底）．
（1）若，判断的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数为奇函数，当时，恒成立，求实数m的取值范围．
22．（12分）已知函数为偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）解关于m的不等式；
（3）设，若函数与图象有2个公共点，求实数a的取值范围．
武汉市常青联合体2023-2024学年度第一学期期末考试
高一数学参考答案
选择题
填空题
13. 24
14. −1
15. 3
16. −2,469
解答题
17. 【解析】（1）原式=12−233×−23+lg10−2+3−10=12−94−2+1=−114；
原式＝2lg5+2lg2+lg52lg2+lg5+lg22＝2+lg2+lg52＝3．
18. 【解析】（1）因为p3,−1在角α的终边上，则tanα=−13=−33
原式=2tanα−1tanα+2=−233−1−33+2=−8−5311
（2）sin(π−α)cs(α−2π)cs32π−αtan(π−α)cs5π2−αcs(3π−α)sin(−α)
=sinα⋅csα⋅(−sinα)⋅(−tanα)sinα⋅(−csα)⋅(−sinα)
=tanα=−33.
19. 【解析】（1）函数fx的定义域是，
f(−x)=a(−x)2+b⋅(−x)+2−x=ax2−bx−2x.
∵fx为奇函数，∴f(−x)=−fx，
即ax2−bx−2x=−ax2+bx+2x，即2ax2=0.
上式对∀x∈{x|x≠0}成立，故a=0.
∴f(x)=bx+2x，
又∵f1=4，即b+2=4，解得b=2，
∴f(x)=2x+2x.
（2）取任意的x1,x2∈0,1，且，
则fx1−fx2=2x1+2x1−2x2−2x2=2x1−x2+2x2−x1x1x2=2x1−x2x1x2−1x1x2
∵0∴x1−x2<0，0∴x1x2−1<0，
∴fx1−fx2>0，即fx1>fx2.
∴fx在0,1上单调递减.
20.【解析】（1）当15≤t≤30时，ℎ=1600，y=3ℎ25t=192t；
当3≤t<15时，ℎ=k2t−15t+3，且当t=15时，ℎ=k2×15−1515+3=1600，解得k=50，ℎ=502t−15t+3，y=3ℎ25t=12−90t2+18t，
故y=12−90t2+18t,3≤t<15192t,15≤t≤30
（2）当15≤t≤30时，y=192t，当t=15时有最大值为645；
当3≤t<15时，y=12−90t2+18t=−901t−1102+12910，当t=10时有最大值为12910.
综上所述：当t=10时有最大值为12910.
21.【解析】（1）若a=2，则fx=2+1ex+1，
∵f(−1)=2+3ee+1，f(1)=2e+3e+1，∴f(−1)≠−f(1)，且f(−1)≠f(1)，
∴fx既不是奇函数，也不是偶函数.
（2）∵f(x)为奇函数，∴−f(x)=f(−x)，
−a−1ⅇx+1=a+1ⅇ−x+1，∴−2a=1，∴a=−12，
∴f(x)=−12+1ex+1=1−ex2(ex+1)，
因为mfx≤ex，因为x>0，所以1−ex<0，
所以m≥2(ex)2+2ex1−ex=−2(ex−1)2+3(ex−1)+2ex−1=−2(ex−1)+2ex−1+3恒成立，
又ex−1>0，ex−1+2ex−1+3≥2(ex−1)(2ex−1)+3=3+22，
当且仅当ex−1=2ex−1即x=ln(1+2)时，−2(ex−1)+2ex−1+3取最大值−6−42．
所以m≥−6−42．
22.【解析】（1）函数的定义或为R，
∵函数fx=lg24x+1+2kx为偶函数.
∴f−x=fx，即 lg24−x+1−2kx=lg24x+1+2kx，
∴4kx=lg24−x+1−lg4x+1=lg24−x+14x+1=lg24−x=−2x，
∴k=−12；
（2）∵fx=lg24x+1−x=lg24x+12x=lg22x+12x，
当x≥0时，，y=2x+12x单调递增，
∴fx在0,+∞上单调递增，
又函数fx为偶函数，所以函数fx在0,+∞上单调递增，在(−∞,0)上单调递减；
∵f2m+1∴2m+1解得−3所以所求不等式的解集为−3,13；
（3）∵函数fx与gx图象有2个公共点，
∴gx=lg2a∙2x+2a=fx=lg24x+1−x=lg24x+12x，
即a⋅2x+2a=4x+12x=2x+12x，a⋅2x+2a>0，
设t=2x>0，则at+2a=t+1t，即a−1t2+2at−1=0，
又t=2x在R上单调递增，
所以方程a−1t2+2at−1=0有两个不等的正根；
∴a−1≠0Δ=(2a)2−4a−1×−1>0−2aa−1>0−1a−1>0，1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
B
C
B
D
B
D
B
ACD
AC
ABC
AC