2023-2024学年湖北省武汉市常青联合体高二下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年湖北省武汉市常青联合体高二下学期期末考试数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A={x||x|12−1n+1．
参考答案
1.C
2.C
3.A
4.A
5.C
6.B
7.D
8.C
9.BCD
10.BCD
11.BD
12.−40
13.(−∞,−2)∪(2，+∞)
14.2024
15.解：(1)因为f(x)=12sin(2x+π3)，所以f(B2)=12sin(B+π3)= 34．
所以sin(B+π3)= 32．
因为0b>0)，则2a=4，2c=2，解得a=2，c=1，
所以，b2=a2−c2=3.所以，曲线C的方程为x24+y23=1．
(2)四边形ABCD的面积为定值，理由如下：
当直线AB的斜率不存在时，直线AB⊥x轴，此时四边形ABCD为矩形，
且kAC=−kBD.因为kAC⋅kBD=y1y2x1x2=−34，不妨设kAC= 32，则kBD=− 32．
取A( 2, 62)，B( 2,− 62)，则四边形ABCD的面积S=4S△OAB=4×12× 6× 2=4 3．
当直线AB的斜率存在时，设AB:y=kx+m，且A(x1,y1)，B(x2,y2).
联立直线AB与椭圆C的方程，消去y并整理，得(4k2+3)x2+8kmx+4m2−12=0．
由Δ=(8km)2−4(4k2+3)(4m2−12)>0，得4k2−m2+3>0．
所以x1+x2=−8km4k2+3，x1x2=−4m2−124k2+3．
所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2．
所以y1y2=k2×4m2−124k2+3+km×(−8km4k2+3)+m2=3m2−12k24k2+3．
因为kAC⋅kBD=y1y2x1x2=−34，所以3m2−12k24m2−12=−34，即4k2+3=2m2．
因为|AB|= 1+k2|x1−x2|= 1+k2⋅ (x1+x2)2−4x1x2，
所以|AB|= 1+k2⋅ (−8km4k2+3)2−4(4m2−12)4k2+3=2 3× 1+k2|m|．
因为原点O到直线AB的距离d=|m| 1+k2，且四边形ABCD为平行四边形，
所以四边形ABCD的面积S=4SΔOAB=4×12×|m| 1+k2×2 3× 1+k2|m|=4 3．
所以，四边形ABCD的面积为定值4 3．
19.解：(1)由题意，R(x)=a0+a1x1+b1x．
因为f(0)=R(0)，所以a0=0，所以R(x)=a1x1+b1x．
因为f′(x)=11+x，R′(x)=a1(1+b1x)2，且f′(0)=R′(0)，所以a1=1．
因为f′′(x)=−1(1+x)2，R′′(x)=−2b(1+b1x)3，且f′′(0)=R′′(0)，所以b1=12．
所以R(x)=2x2+x．
(2)因为F(x)=x(x+2)×2x2+x−2ln(x+1)=2x2−2ln(x+1)，
所以F(x)−2x3=2[x2−x3−ln(x+1)]．
记G(x)=x2−x3−ln(x+1)，则G′(x)=2x−3x2−1x+1=−3x3−(x−1)2x+1，
因为x≥0，所以G′(x)1n(n+1)=1n−1n+1，所以ln(1n+1)+1n3≥1n−1n+1．
所以，当n≥2时，
ln(12+1)+123≥12−13，
ln(13+1)+133≥13−14，⋯⋯，
ln(1n+1)+1n3≥1n−1n+1，
以上各式两边相加，得ln[(12+1)(13+1)⋯(1n+1)]+123+133+⋯+1n3≥12−1n+1． X
−10
0
10
P
13
12
16