湖北省武汉市常青联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份湖北省武汉市常青联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附答案），共11页。试卷主要包含了已知是虚数单位，，则复数的模为，已知平面向量的夹角为，则等内容，欢迎下载使用。
命题学校：武汉市关山中学 命题教师：田艳 审题教师：陈长西
考试时间：2024年6月28日15：00-17：00 试卷满分：150分
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知是虚数单位，，则复数的模为（ ）
A. B. C.5 D.3
2.已知平面向量的夹角为，则（ ）
A.2 B. C. D.
3.在一次数学测试中，高一某班40名学生成绩的平均分为82，方差为10.2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（ ）
A.100 B.85 C.65 D.55
4.为两个不同的平面，为两条不同的直线，下列说法中正确的个数是（ ）
①若，则
②若，则
③若，则
④若，则
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知棱长为1的正方体中，分别为和的中点，则到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
6.已知在中，满足，点在边上，且平分，，则的最大值为（ ）
A.3 B.1 C. D.4
7.已知为三角形内一点，且满足和，则角为（ ）
A. B. C. D.
8.在正三棱锥中，分别为的中点，为棱上的一点，且，，若，则此正三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分.
9.已知为虚数单位，以下说法正确的是（ ）
A.复数在复平面对应的点在第一象限
B.若复数满足，则
C.若为纯虚数，则实数
D.复数满足，则
10.在中，角所对的边分别是，下列说法正确的是（ ）
A.若，则是等腰三角形
B.若为锐角三角形，则
C.若，则满足条件的三角形有2个
D.若不是直角三角形，则
11.已知正方体的棱长为分别为的中点，且与正方体的内切球（为球心）交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A.线段的长为
B.三棱锥的体积为
C.过三点的平面截正方体所得的截面面积为
D.设为球上任意一点，则的范围为
三､填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.
12.某歌手在一次比赛中评委给分为（十分制）则该歌手得分的第七十五百分位数是__________.
13.如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是__________.
14.已知在三角形中，角的对边分别为，且，角为锐角，向量与共线，且，则三角形的周长为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知向量
（1）若与垂直，求的值；
（2）若与共线，求的值.
16.（15分）如图，在四棱锥中，底面，点为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小.
17.（15分）
已知在中，角的对边分别为，且
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
18.（17分）
随着社会的进步､科技的发展，人民对自己生活的环境要求越来越高，尤其是居住环境的环保和绿化受到每一位市民的关注，因此，2019年6月25日，生活垃圾分类制度入法，提倡每位居民做好垃圾分类储存､分类投放，方便工作人员依分类搬运，提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用.某市环卫局在A､B两个小区分别随机抽取6户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近期一周（7天）进行生活垃圾分类占用时间统计如下表：
（1）分别计算小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；以及两个小区抽取的一共12户每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；
（2）如果两个小区住户均按照1000户计算，小区的垃圾也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物业及住户协商，初步实施下列方案：
①小区方案：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每200位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，每位工作人员月工资按照3000元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？
②小区方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职工作人员对生活垃圾分类的效果相当于5位普通居民对生活垃圾分类效果，每位专职工作人员（每天工作8小时）月工资按照4000元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？
（3）市环卫局与两个小区物业及住户协商分别试行一个月，根据实施情况，试分析哪个方案惠民力度大，值得进行推广？
19.（17分）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，分别是线段的中点，在平面内的射影为.
（1）求证：平面；
（2）若点为棱的中点，求三棱锥的体积；
（3）在线段上是否存在点，使二面角的大小为，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由.
武汉市常青联合体2023—2024学年度第二学期期末考试
高一数学答案
一，单选题
1.A 2.C 3.D 4.B 5.C 6.A 7.B 8.D
二，多选题
9.CD 10.BD 11.ABD
三，填空题
12. 13. 14.
四，解答题
15.【详解】（1），
，
.
与垂直，.
（2）由（1）知，，得.
16.【详解】（1）如图，取中点，连接，
由于分别为的中点，故，且，
又，可得，且，
故四边形为平行四边形，
所以，又因为平面平面，
所以平面.
（2）因为底面底面，
又平面，
平面.
又平面.
为的中点，
，
又平面平面，
直线在平面内的射影为直线，
故为直线与平面所成的角，
由底面底面可得，，
为等腰直角三角形，且平分，
，
所以直线与平面所成的角为.
17.【详解】（1）故得
所以，
即.
由正弦定理，得，
显然，所以，所以.
因为，所以.
（2）由题设及（1）可知，的面积
为锐角三角形，
，解得，
又，
18.【详解】
（1）（分钟），
（分钟），
总体的平均数，
总体的方差
（2）①按照方案，A小区一月至少需要5名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，其费用是元，
每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为（元），
②由（1）知，小区平均每位住户每周需要220分钟进行垃圾分类，一月需要（分钟），
小区一月平均需要分钟的时间用于生活垃圾分类，
一位专职工人一天的工作时间按照8小时作为计算标准，每月按照28天作为计算标准，
一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于5名普通居民对生活垃圾分类的效果，
小区一月需要专职工作人员至少（名），
则每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为（元），
③根据上述计算可知，按照每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费来说，
选择A方案惠民力度大，但需要住户平时做好生活垃圾分类事项；
如果对于高档小区的居民来说，可以选择方案，这只是方便个别高收入住户，
综上，选择方案推广，有利于国民热爱劳动及素质的提升.
19.【详解】（1）
如图所示，连接，由题意可知面，四边形是菱形.
面，
，
又是中点，是正三角形，
，
显然面，
面，
面，
，
在菱形中，有，
而分别是线段的中点，
则，
面，
面；
（2）方法一：
如图所示，取的中点，连接，过作交于，
过作分别交的延长线于，
易知分别是的中点，
则由条件可得面面，故面，
即到面的距离等于到面的距离，
由（1）得面，所以面是直角三角形，
在菱形中，易得，
所以，
即到面的距离为，
，所以；
方法二：
（3）如图所示，假设存在点满足题意，取的中点，连接，
过作交于，连接，
易得面面，故面，
又结合（1）的结论有，故二面角为，
所以，
在菱形中，作，易得
，
易知为直角三角形，故.住户编号
1
2
3
4
5
6
A小区（分钟）
220
185
220
225
205
235
B小区（分钟）
205
195
245
235
225
215