备考2024届高考数学一轮复习分层练习第四章三角函数第6讲函数y＝Asinωx＋φA＞0ω＞0的图象及其应用

这是一份备考2024届高考数学一轮复习分层练习第四章三角函数第6讲函数y＝Asinωx＋φA＞0ω＞0的图象及其应用，共8页。试卷主要包含了由题图可得，f，所以f，故选B，函数f＝2，则α＝　π3　等内容，欢迎下载使用。

1.[2024江西宜春模拟]要得到函数y＝3cs x的图象，只需将y＝3sin（2x＋π4）的图象上所有的点（ C ）
A.横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再向左平移π4个单位长度
B.横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再向左平移π8个单位长度
C.横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π4个单位长度
D.横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π8个单位长度
解析 y＝3cs x＝3sin（x＋π2），将y＝3sin（2x＋π4）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到y＝3sin（x＋π4）的图象，再向左平移π4个单位长度得到y＝
3sin（x＋π2）即函数y＝3cs x的图象.故选C.
2.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π）的部分图象如图所示，则
f（x）的解析式为（ D ）
A.f（x）＝2 3sin（π8x＋π4）
B.f（x）＝2 3sin（π8x＋3π4）
C.f（x）＝2 3sin（π8x－π4）
D.f（x）＝2 3sin（π8x－3π4）
解析 由题图可得，函数的最大值为23，最小值为－23，又A＞0，故A＝23.由题图可得，f（x）图象两个相邻的对称中心分别为（－2，0），（6，0），所以函数的最小正周期T＝2×[6－（－2）]＝16，又ω＞0，所以ω＝2πT＝2π16＝π8.所以f（x）＝23sin（π8x＋φ）.
解法一（由对称中心定φ） 由点（－2，0）在函数图象上可得f（－2）＝23sin[π8×
（－2）＋φ]＝23sin（φ－π4）＝0，又（－2，0）在函数图象的下降段上，所以φ－π4＝π＋2kπ（k∈Z），解得φ＝2kπ＋5π4（k∈Z）.
因为｜φ｜＜π，所以φ＝－3π4.所以f（x）＝23sin（π8x－3π4）.
解法二（由最值点定φ） 由函数图象可知，相邻两个对称中心分别为（－2，0），（6，0），所以这两个对称中心之间的函数图象的最低点的坐标为（2，－23）.代入函数解析式可得f（2）＝23sin（π8×2＋φ）＝－23，即sin（π4＋φ）＝－1，所以π4＋φ＝2kπ－π2（k∈Z），解得φ＝2kπ－3π4（k∈Z）.因为｜φ｜＜π，所以φ＝－3π4.故f（x）＝
23sin（π8x－3π4）.
3.[2023江西模拟]将函数f（x）＝Acs（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0）的图象上的所有点向右平移π6个单位长度，得到如图所示的函数y＝g（x）的图象，则f（0）＋f（π3）＝（ C ）
A.0B.1C.2D.－1
解析 依题意，g（x）＝Acs[ω（x－π6）＋φ]＝Acs（ωx－ωπ6＋φ），由题图可知，A＝2，由g（x）的周期T满足T4＝π3－π12＝π4，得T＝2πω＝π，所以ω＝2，所以g（x）＝2cs（2x－π3＋φ），由g（π3）＝2，得2×π3－π3＋φ＝2kπ，k∈Z，又－π＜φ＜0，所以φ＝－π3，所以
f（x）＝2cs（2x－π3），所以f（0）＋f（π3）＝2cs（－π3）＋2csπ3＝2.故选C.
4.[2024天津滨海模拟]将y＝sin（2x＋π3）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为（ B ）
A.2π3B.π6C.π3D.π12
解析 将函数y＝sin（2x＋π3）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度得到函数y＝
sin[2（x－φ）＋π3]的图象，∵所得函数图象关于原点对称，即π3－2φ＝kπ（k∈Z），
∴φ＝π6－kπ2（k∈Z），∵φ＞0，∴当k＝0时，φ取得最小值π6.故选B.
5.[2024浙江名校联考]已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π2）的图象如图所示，M，N是直线y＝－1与曲线y＝f（x）的两个交点，且｜MN｜＝2π9，则f（π）的值为（ D ）
A.2B.－1C.－2D.－3
解析 由题中函数图象可知A＝2.因为M，N是直线y＝－1与曲线f（x）＝2sin（ωx＋φ）的两个相邻交点，所以sin（ωx＋φ）＝－12，结合题中图象可知，ωxM＋φ＝－5π6，ωxN＋φ＝－π6，解得xM＝－5π6－φω，xN＝－π6－φω，所以｜MN｜＝xN－xM＝2π3ω＝2π9，解得ω＝3.因为点（－4π9，0）在f（x）的图象上，所以2sin（－4π3＋φ）＝0，结合“五点作图法”，得φ＝π3，（方法点拨：根据“五点作图法”可知，f（x）图象上的点（－4π9，0）对应y＝sin x图象上的点（－π，0））
所以f（x）＝2sin（3x＋π3），所以f（π）＝2sin（3π＋π3）＝－2sin π3＝－3，故选D.
6.[多选/2024江苏南通模拟]已知函数f（x）＝sin 2x＋acs 2x的图象关于直线x＝π3对称，则（ AB ）
A.a＝－33
B.函数f（x）的图象关于点（－5π12，0）对称
C.函数f（x）在（－π3，π4）上单调递增
D.将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度后与原图象关于y轴对称，则φ的最小值为π2
解析 函数f（x）＝sin 2x＋acs 2x的图象关于直线x＝π3对称，则x＝π3时，f（x）取最值，f（π3）＝sin 2π3＋acs2π3＝32－a2，则有32－a2＝1+a2或32－a2＝－1+a2，解得a＝－33，A选项正确；f（x）＝sin 2x－33cs 2x＝233sin（2x－π6），f（－5π12）＝
233sin[2（－5π12）－π6]＝233sin（－π）＝0，函数f（x）的图象关于点（－5π12，0）对称，B选项正确；x∈（－π3，π4）时，2x－π6∈（－5π6，π3），正弦函数在（－5π6，π3）上不单调，C选项错误；将函数
f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度得到函数g（x）＝233sin[2（x＋φ）－π6]的图象，由f（x）与g（x）的图象关于y轴对称，则f（－x）＝g（x），即sin（－2x－π6）＝sin[2（x＋φ）－π6]，则－2x－π6－[2（x＋φ）－π6]＝2kπ或－2x－π6＋2（x＋φ）－π6＝（2k＋1）π，k∈Z，又－2x－π6－[2（x＋φ）－π6]＝2kπ，k∈Z不恒成立，
所以－2x－π6＋2（x＋φ）－π6＝（2k＋1）π，k∈Z，
解得φ＝kπ＋2π3，k∈Z，由φ＞0，则k＝0时φ的最小值为2π3，D选项错误.故选AB.
7.函数f（x）＝Asin（ωx－π6）＋1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，设α∈（0，π2），f（α2）＝2，则α＝ π3 .
解析 ∵函数f（x）＝Asin（ωx－π6）＋1（A＞0，ω＞0）的最大值为A＋1＝3，∴A＝2.
∵其图象的相邻两条对称轴之间的距离为12×2πω＝π2，∴ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x－π6）＋1.∵α∈（0，π2），∴α－π6∈（－π6，π3）.∵f（α2）＝2，∴2sin（α－π6）＋1＝2，∴sin（α－π6）＝12.又α－π6∈（－π6，π3），∴α－π6＝π6，可得α＝π3.
8.[2024江苏联考]已知函数f（x）＝2sin ωxcsωx＋23cs2ωx－3（ω＞0）的最小正周期为π.
（1）求ω的值；
（2）将函数f（x）的图象先向左平移π6个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数
y＝g（x）的图象，若g（x）在区间[0，m]上有且仅有5个零点，求m的取值范围.
解析 （1）f（x）＝2sin ωxcsωx＋23cs2ωx－3＝sin 2ωx＋3cs 2ωx＝2sin（2ωx＋π3），因为函数f（x）的最小正周期为π，所以2π2ω＝π，解得ω＝1.
（2）将函数f（x）＝2sin（2x＋π3）的图象先向左平移π6个单位长度，再向上平移2个单位长度，
得到y＝2sin[2（x＋π6）＋π3]＋2＝2sin（2x＋2π3）＋2的图象，
所以g（x）＝2sin（2x＋2π3）＋2.
令g（x）＝0，则sin（2x＋2π3）＝－1，所以2x＋2π3＝3π2＋2kπ（k∈Z），即x＝kπ＋5π12（k∈Z），
因为g（x）在区间[0，m]上有且仅有5个零点，
所以53π12≤m＜65π12.
所以m的取值范围为[53π12，65π12）.
9.[2024江苏扬州模拟]阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器，被称为“镇楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为y＝sin（ωt＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜π），如图2.若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t1，t2，t3（0＜t1＜t2＜t3），且t1＋t2＝2，t2＋t3＝6，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于等于0.5 m的总时间为（ D ）
图1图2
A.13 sB.23 sC.1 sD.43 s
解析 因为t1＋t2＝2，t2＋t3＝6，所以该阻尼器的运动周期T＝t3－t1＝4，所以ω＝2πT＝π2.由t1＋t2＝2，得直线t＝1是函数y＝sin（π2t＋φ）的图象的一条对称轴，则π2＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，即φ＝kπ，k∈Z.因为｜φ｜＜π，所以φ＝0，所以y＝sinπ2t.由sinπ2t≥12（0≤t≤4），得π6≤π2t≤5π6，解得13≤t≤53，所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于等于0.5 m的总时间为53－13＝43（s），故选D.
10.[全国卷Ⅲ]设函数f（x）＝sin（ωx＋π5）（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点.下述四个结论：
①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点；
②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点；
③f（x）在（0，π10）单调递增；
④ω的取值范围是[125，2910）.
其中所有正确结论的编号是（ D ）
A.①④B.②③C.①②③D.①③④
解析 解法一 如图，根据题意知，xA≤2π＜xB，根据图象可知函数f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点，所以①正确，②错误；根据xA≤2π＜xB，有24π5ω≤2π＜29π5ω，得125≤ω＜2910，所以④正确；当0＜x＜π10时，π5＜ωx＋π5＜ωπ10＋π5，因为125≤ω＜2910，所以ωπ10＋π5＜49π100＜π2，所以函数f（x）在（0，π10）单调递增，所以③正确.
解法二 由0≤x≤2π，得π5≤ωx＋π5≤2πω＋π5.因为f（x）＝sin（ωx＋π5）（ω＞0）在[0，2π]有且仅有5个零点，所以5π≤2πω＋π5＜6π，解得125≤ω＜2910，故④正确，排除B，C.
当0＜x＜π10时，π5＜ωx＋π5＜ωπ10＋π5，因为125≤ω＜2910，所以ωπ10＋π5＜29π100＋20π100＝49π100＜π2，故
f（x）在（0，π10）单调递增，③正确，排除A.故选D.
11.[2024西安市铁一中学模拟]若函数f（x）＝2sin（ωx＋π3）（ω＞0），A（α，2），
B（β，0）是函数f（x）图象上的两点，且｜AB｜的最小值为4+π24，则f（5π6）的值为 －1 .
解析 因为A（α，2），B（β，0），所以｜AB｜＝（α－β）2+4，则（α－β）2+4≥4+π24，所以｜α－β｜min＝π2，此时点A，B分别为函数图象上相邻的最高点和对称中心，设T是f（x）的最小正周期，则T4＝π2，所以π2ω＝π2，解得ω＝1，所以
f（x）＝2sin（x＋π3），所以f（5π6）＝2sin（5π6＋π3）＝2sin（π＋π6）＝－2sinπ6＝－1.
12.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π2）的部分图象如图所示，则使f（2a＋x）＋f（－x）＝0成立的a的最小正值为 5π12 .
解析 由f（2a＋x）＋f（－x）＝0，可知函数f（x）的图象关于点（a，0）对称.由题图可知，A＝2，f（0）＝2sin φ＝1，得sin φ＝12，因为｜φ｜＜π2，所以φ＝π6，所以f（x）＝
2sin（ωx＋π6），又f（x）的图象过点（11π12，0），所以由五点作图法知11π12ω＋π6＝2π，解得ω＝2，所以f（x）＝2sin（2x＋π6）.令2x＋π6＝kπ，k∈Z，得x＝kπ2－π12，k∈Z，所以函数
f（x）图象的对称中心为（kπ2－π12，0），k∈Z，所以a＝kπ2－π12，k∈Z，则当k＝1时，a取得最小正值，为5π12.
13.[2023广东中山纪念中学模拟]已知函数f（x）＝sin（ωx＋π6）＋cs ωx（ω＞0），将
f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象.g（x）的部分图象如图所示（D，C分别为函数图象的最高点和最低点），其中CA·CB＝｜AD｜22，则ω的值为 π .
解析 f（x）＝sin（ωx＋π6）＋cs ωx＝32sin ωx＋32cs ωx＝3sin（ωx＋π3），将f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到g（x）＝3sin（12ωx＋π3）的图象.
因为D，C分别为函数图象的最高点和最低点，所以｜DA｜＝｜AC｜＝｜CB｜，由CA·CB＝｜AD｜22，得｜CA｜2·cs∠ACB＝｜AD｜22，所以cs∠ACB＝12，因为0＜∠ACB＜π，所以∠ACB＝π3，所以△ABC为等边三角形.因为△ACB的高为3，所以｜AB｜＝｜AC｜＝3sinπ3＝2，即函数g（x）的最小正周期T＝4，又ω＞0，所以由T＝2π12ω＝4，解得ω＝π.
14.[与数列综合]已知数列{an}的通项公式是an＝f（nπ6），其中f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜π2）的部分图象如图所示，Sn为数列{an}的前n项和，则S2 025的值为（ B ）
A.－1B.0C.12D.32
解析 由题图可知，3T4＝5π6－π12＝3π4，则T＝π，所以ω＝2πT＝2.又f（x）的图象过点（π12，1），所以sin（2×π12＋φ）＝1，得π6＋φ＝π2＋2kπ（k∈Z），所以φ＝π3＋2kπ（k∈Z），
又｜φ｜＜π2，所以φ＝π3，f（x）＝sin（2x＋π3），所以an＝f（nπ6）＝sin（nπ3＋π3），则数列{an}是周期为2ππ3＝6的周期数列.由an＝sin（nπ3＋π3）可得a1＝32，a2＝0，a3＝－32，a4＝
－32，a5＝0，a6＝32，则S6＝0，S2 025＝337S6＋S3＝0，故选B.