备考2024届高考数学一轮复习分层练习第四章三角函数第5讲三角函数的图象与性质

这是一份备考2024届高考数学一轮复习分层练习第四章三角函数第5讲三角函数的图象与性质，共9页。试卷主要包含了函数f，已知函数f，[2023江西月考]已知函数f，[全国卷Ⅰ]设函数f，定义运算a*b为等内容，欢迎下载使用。
1.函数f（x）＝tan（2x＋π4）的定义域为（ C ）
A.{x｜x≠kπ＋π2，k∈Z}B.{x｜x≠2kπ＋π2，k∈Z}
C.{x｜x≠kπ2＋π8，k∈Z}D.{x｜x≠kπ＋π8，k∈Z}
解析 由2x＋π4≠kπ＋π2，k∈Z，得2x≠kπ＋π4，k∈Z，∴x≠kπ2＋π8，k∈Z，
∴函数y＝tan（2x＋π4）的定义域为{x｜x≠kπ2＋π8，k∈Z}.
2.[2023天津新华中学统练]下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ D ）
A.y＝sin（2x＋π2）B.y＝tan 2x
C.y＝2sin（π－x）D.y＝tan（x＋π）
解析 对于函数y＝sin（2x＋π2）＝cs 2x，最小正周期为π，是偶函数，排除A；对于函数y＝tan 2x，最小正周期为π2，是奇函数，排除B；对于函数y＝2sin（π－x）＝2sin x，最小正周期为2π，是奇函数，排除C；对于函数y＝tan（π＋x）＝tan x，最小正周期为π，是奇函数，故选D.
3.下列函数中，以π2为周期且在区间（π4，π2）单调递增的是（ A ）
A.f（x）＝｜cs 2x｜B.f（x）＝｜sin 2x｜
C.f（x）＝cs｜x｜D.f（x）＝sin｜x｜
解析 A中，函数f（x）＝｜cs 2x｜的最小正周期为π2，当x∈（π4，π2）时，2x∈（π2，π），函数f（x）单调递增，故A正确；B中，函数f（x）＝｜sin 2x｜的最小正周期为π2，当x∈（π4，π2）时，2x∈（π2，π），函数f（x）单调递减，故B不正确；C中，函数f（x）＝cs｜x｜＝cs x的最小正周期为2π，故C不正确；D中，f（x）＝sin｜x｜＝sinx，x≥0，－sinx，x2π，解得14≤ω＜54.综上，ω∈[14，23].
18.[2023湖北省部分重点中学联考]已知函数f（x）＝4sin2（π4＋x2）sin x＋（cs x＋
sin x）·（cs x－sin x）－1.
（1）求f（x）的解析式及其图象的对称中心；
（2）若函数g（x）＝12[f（2x）＋af（x）－af（π2－x）－a]－1在区间[－π4，π2]上的最大值为2，求实数a的值.
解析 （1）f（x）＝2[1－cs（π2＋x）]·sin x＋cs2x－sin2x－1＝sin x·（2＋2sin x）＋1－2sin2x－1＝2sin x.
对称中心为（kπ，0），k∈Z.
（2）g（x）＝sin 2x＋asinx－acsx－a2－1，
令sin x－cs x＝t，则sin 2x＝1－t2，
（小技巧：函数式中既含正余弦的和或差（sin x－cs x或sin x＋cs x），又含二者的乘积（即sin x·csx），可令sin x－cs x＝t或sin x＋cs x＝t，然后转化为关于t的二次函数求最值）
∴y＝1－t2＋at－a2－1＝－（t－a2）2＋a24－a2.
∵t＝sin x－cs x＝2sin（x－π4），x∈[－π4，π2]，
∴x－π4∈[－π2，π4]，∴－2≤t≤1.
①当a2＜－2，即a＜－22时，ymax＝－（－2－a2）2＋a24－a2＝－2a－a2－2.
令－2a－a2－2＝2，解得a＝－822+1（舍去）.
②当－2≤a2≤1，即－22≤a≤2时，ymax＝a24－a2，
令a24－a2＝2，解得a＝－2或a＝4（舍去）.
③当a2＞1，即a＞2时，ymax＝－（1－a2）2＋a24－a2＝a2－1，由a2－1＝2，得a＝6.
综上，a＝－2或6.
19.[条件创新/多选]已知函数f（x）＝cs（2x＋φ）（｜φ｜＜π2），F（x）＝f（x）＋
32f'（x）为奇函数，则下述四个结论正确的是（ BC ）
A.tanφ＝3
B.若f（x）在[－a，a]上存在零点，则a的最小值为π6
C.F（x）在（π4，3π4）上单调递增
D.f（x）在（0，π2）上有且仅有一个极大值点
解析 由f（x）＝cs（2x＋φ），得f'（x）＝－2sin（2x＋φ），则F（x）＝f（x）＋
32f'（x）＝cs（2x＋φ）－3sin（2x＋φ）＝－2sin（2x＋φ－π6）.因为F（x）为奇函数，所以φ－π6＝kπ（k∈Z），所以φ＝kπ＋π6（k∈Z）.因为｜φ｜＜π2，所以φ＝π6.
对于A，由以上可得tan φ＝33，故A错误；对于B，令f（x）＝cs（2x＋π6）＝0，得2x＋π6＝kπ＋π2（k∈Z），则x＝kπ2＋π6（k∈Z），即函数f（x）的零点为x＝kπ2＋π6（k∈Z），且该函数零点的绝对值的最小值为π6，所以a的最小值为π6，故B正确；对于C，F（x）＝
－2sin 2x，当x∈（π4，3π4）时，2x∈（π2，3π2），此时函数F（x）单调递增，故C正确；对于D，函数f（x）＝cs（2x＋π6），令2x＋π6＝2kπ（k∈Z），得x＝kπ－π12（k∈Z），所以函数f（x）在（0，π2）上无极大值点，故D错误.