备考2024届高考数学一轮复习讲义第四章三角函数第6讲函数y＝Asinωx＋φA＞0ω＞0的图象及其应用

这是一份备考2024届高考数学一轮复习讲义第四章三角函数第6讲函数y＝Asinωx＋φA＞0ω＞0的图象及其应用，共12页。
设X＝ωx＋φ，由X取0，π2，π，3π2，2π求出相应的x，通过列表（如下表所示），计算得出五点坐标，描点连线后得出图象.
2.三角函数的图象变换
函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，φ≠0）的图象的两种方法：
辨析比较
图象两种变换方法的区别与联系
3.函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的物理意义
注意 要求一个函数的初相，应先将函数解析式化成f（x）＝Asin（ωx＋φ）的形式（其中A＞0，ω＞0）.
1.要得到f（x）＝cs2x－sin2x的图象，只需要将g（x）＝cs（2x＋π3）的图象（ D ）
A.向左平移π3个单位长度B.向右平移π3个单位长度
C.向左平移π6个单位长度D.向右平移π6个单位长度
解析 f（x）＝cs2x－sin2x＝cs 2x，g（x）＝cs（2x＋π3）＝cs[2（x＋π6）]，故只需将g（x）的图象向右平移π6个单位长度即可.
2.函数y＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜π2）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（ B ）
A.y＝2sin（2x－π4）B.y＝2sin（2x＋π4）
C.y＝2sin（x＋3π8）D.y＝2sin（x2＋7π16）
解析 设函数的最小正周期为T，由图象可知，T2＝5π8－π8＝π2，∴T＝π.由T＝2πω，得ω＝2，∴y＝2sin（2x＋φ）.∵点（π8，2）在函数图象上，∴2＝2sin（2×π8＋φ），∴φ＝2kπ＋π4，k∈Z，又｜φ｜＜π2，∴φ＝π4，故解析式为y＝2sin（2x＋π4）.
3.[2024江苏淮安模拟]某个弹簧振子做简谐运动，已知在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：cm）之间满足函数关系：y＝sin t＋cs（t－π6），则这个简谐运动的振幅是（ C ）
A.1 cmB.2 cmC.3 cmD.23 cm
解析 因为y＝sin t＋cs（t－π6）＝sin t＋cs tcsπ6＋sin tsinπ6＝32sin t＋32cs t＝3sin（t＋π6），所以这个简谐运动的振幅是3cm.故选C.
4.用“五点法”画y＝2sin（2x＋π3）在一个周期内的简图时，所描的五个点分别是（－π6，0），（π12，2），（π3，0），（7π12，－2）， （5π6，0） .
解析 令2x＋π3＝2π，则解得x＝5π6，故最后一个关键点是（5π6，0）.
研透高考 明确方向
命题点1 三角函数的图象及变换
例1 （1）[2021全国卷乙]把函数y＝f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y＝sin（x－π4）的图象，则f（x）＝（ B ）
A.sin（x2－7π12）B.sin（x2＋π12）
C.sin（2x－7π12）D.sin（2x＋π12）
解析 依题意，将y＝sin（x－π4）的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f（x）的图象，所以y＝sin（x－π4）的图象向左平移π3个单位长度y＝sin（x＋π12）的图象所有点的横坐标扩大到原来的2倍f（x）＝sin（x2＋π12）的图象.
（2）[2023全国卷甲]函数y＝f（x）的图象由函数y＝cs（2x＋π6）的图象向左平移π6个单位长度得到，则y＝f（x）的图象与直线y＝12x－12的交点个数为（ C ）
A.1B.2C.3D.4
解析 把函数y＝cs（2x＋π6）的图象向左平移π6个单位长度后得到函数f（x）＝cs[2（x＋π6）＋π6]＝cs（2x＋π2）＝－sin 2x的图象.作出函数f（x）的部分图象和直线y＝12x－12，如图所示.观察图象知，共有3个交点.故选C.
方法技巧
（1）当x的系数不等于1时，注意先伸缩后平移和先平移后伸缩的区别，同时也要分清哪个是原始函数（图象），哪个是平移后的函数（图象）.
（2）如果平移前后两个图象对应的函数名称不一致，应先利用诱导公式化为同名函数.
训练1 （1）[2023江西南昌联考]为了得到函数y＝2cs（2x－2π3）的图象，只需将函数y＝2sin x（ A ）
A.图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向右平移π12个单位长度
B.图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移π12个单位长度
C.图象向右平移π3个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
D.图象向左平移π6个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变
解析 将函数y＝2sin x＝2cs（x－π2）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝2cs（2x－π2）的图象，再将所得图象向右平移π12个单位长度，得到函数y＝2cs[2（x－π12）－π2]＝2cs（2x－2π3）的图象，故A正确，B错误.
将函数y＝2sin x＝2cs（x－π2）的图象上所有的点向右平移π6个单位长度得到函数y＝
2cs（x－π6－π2）＝2cs（x－2π3）的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝2cs（2x－2π3）的图象，故C，D错误.故选A.
（2）[2023郑州二模]将函数y＝sin（2x＋π3）图象上的点A（m，n）向右平移14个周期（最小正周期）得到点A'，若A'位于函数y＝cs 2x的图象上，则m的值可以是（ D ）
A.π12B.π6C.π3D.5π12
解析 函数y＝sin（2x＋π3）的最小正周期T＝2π2＝π，设A'（m'，n'），由题知将点
A（m，n）向右平移π4个单位长度得到点A'（m'，n'），则m'＝m＋π4，n'＝n，因为A'位于函数y＝cs 2x的图象上，所以n'＝cs 2m'，所以n＝cs 2（m＋π4），又n＝sin（2m＋π3），所以sin（2m＋π3）＝cs 2（m＋π4）＝cs（2m＋π2）＝－sin 2m，即sin 2mcsπ3＋cs 2msinπ3＝
－sin 2m，化简得32sin 2m＝－32cs 2m，所以tan 2m＝－33，故2m＝－π6＋kπ（k∈Z），
m＝－π12＋kπ2（k∈Z），当k＝1时，m＝5π12，故选D.
命题点2 由图象确定y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
例2 （1）[2023新高考卷Ⅱ]已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ），如图，A，B是直线y＝12与曲线y＝f（x）的两个交点，若｜AB｜＝π6，则
f（π）＝ －32 .
解析 对比正弦函数y＝sin x的图象，不妨设点（2π3，0）为“五点作图法”中的第五个点，所以2π3ω＋φ＝2π ①.设A，B的横坐标分别为xA，xB，由题知｜AB｜＝xB－xA＝π6，ωxA＋φ＝π6，ωxB＋φ＝5π6，两式相减，得ω（xB－xA）＝4π6，即π6ω＝4π6，解得ω＝4.代入①，得φ＝
－2π3，所以f（π）＝sin（4π－2π3）＝－sin2π3＝－32.
（2）[2021全国卷甲]已知函数f（x）＝2cs（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则满足条件（f（x）－f（－7π4））（f（x）－f（4π3））＞0的最小正整数x为 2 .
解析 由题图可知，34T＝13π12－π3＝3π4（T为f（x）的最小正周期），解得T＝π，所以ω＝±2.
当ω＝－2时，f（x）＝2cs（－2x＋φ），因为π3＋T4＝π3＋π4＝712π，所以函数f（x）的图象经过点（712π，－1），所以2cs（－2×712π＋φ）＝－1，所以－2×712π＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝13π6＋2kπ，k∈Z，令k＝－1，则φ＝π6，所以f（x）＝2cs（－2x＋π6）＝2cs（2x－π6）.
当ω＝2时，f（x）＝2cs（2x＋φ）.点（π3，0）可看作“五点作图法”中的第二个点，则2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6，所以f（x）＝2cs（2x－π6）.
综上，f（－7π4）＝2cs[2×（－7π4）－π6]＝2cs（－11π3）＝2cs π3＝1，f（4π3）＝2cs（2×4π3－π6）＝2cs5π2＝0，所以（f（x）－f（－7π4））（f（x）－f（4π3））＞0，即（f（x）－1）
·f（x）＞0，可得f（x）＞1或f（x）＜0，所以cs（2x－π6）＞12或cs（2x－π6）＜0.
当cs（2x－π6）＜0时，π2＋2kπ＜2x－π6＜3π2＋2kπ，k∈Z，解得π3＋kπ＜x＜5π6＋kπ，k∈Z，此时最小正整数x为2.当cs（2x－π6）＞12时，－π3＋2kπ＜2x－π6＜π3＋2kπ，k∈Z，解得－π12＋kπ＜x＜π4＋kπ，k∈Z，此时最小正整数x为3.综上，最小正整数x为2.
方法技巧
确定y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）的解析式的步骤与方法
（1）求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M＋m2.
（2）求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝2πT.
（3）求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入.
训练2 （1）[2023芜湖模拟]已知函数f（x）＝Acs（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π2）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象上各点的横坐标拉伸为原来的3倍（纵坐标不变），再向左平移π2个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（ C ）
A.[－3π2＋3kπ，3kπ]（k∈Z）
B.[3kπ，3kπ＋3π2]（k∈Z）
C.[－7π4＋3kπ，－π4＋3kπ]（k∈Z）
D.[－π4＋3kπ，5π4＋3kπ]（k∈Z）
解析 依题意，得A＋b=1，－A＋b＝－3，解得A=2，b＝－1，∴f（x）＝2cs（ωx＋φ）－1，而
f（π12）＝1，f（π3）＝－1，设T是f（x）的最小正周期，∴T4＝π3－π12＝π4，∴T＝π，
∴ω＝2ππ＝2，∴f（x）＝2cs（2x＋φ）－1.又2cs（π6＋φ）－1＝1，∴π6＋φ＝2kπ（k∈Z），∵｜φ｜＜π2，∴φ＝－π6，∴f（x）＝2cs（2x－π6）－1.将函数f（x）的图象上各点的横坐标拉伸为原来的3倍，得到y＝2cs（23x－π6）－1的图象，再向左平移π2个单位长度，得到g（x）＝2cs（23x＋π3－π6）－1＝2cs（23x＋π6）－1的图象，令－π＋2kπ≤23x＋π6≤2kπ（k∈Z），解得－7π4＋3kπ≤x≤－π4＋3kπ（k∈Z），∴函数g（x）的单调递增区间为[－7π4＋3kπ，－π4＋3kπ]（k∈Z）.
（2）[2023山东省泰安一中模拟]函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）在区间[－π6，5π6]上的图象如图所示，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则θ的最小值为（ C ）
A.π3B.π6C.π12D.7π24
解析 由题图可知函数f（x）的最小正周期T＝5π6－（－π6）＝π，所以ω＝2ππ＝2，又
f（π12）＝1，故sin（π6＋φ）＝1，由于0＜φ＜π2，故φ＝π3，所以f（x）＝sin（2x＋π3）.
将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），
再向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，得到y＝sin（4x－4θ＋π3）的图象，因为该函数图象关于原点对称，所以y＝sin（4x－4θ＋π3）为奇函数，所以－4θ＋π3＝kπ，k∈Z，解得θ＝π12－kπ4，k∈Z，又θ＞0，所以θ的最小值为π12，故选C.
命题点3 三角函数的图象与性质的综合应用
例3 （1）[2022天津高考]已知f（x）＝12sin 2x，关于该函数有下面四个说法：
①f（x）的最小正周期为2π；②f（x）在[－π4，π4]上单调递增；③当x∈[－π6，π3]时，f（x）的取值范围为[－34，34]；④f（x）的图象可由g（x）＝12sin（2x＋π4）的图象向左平移π8个单位长度得到.
以上四个说法中，正确的个数有（ A ）
A.1B.2C.3D.4
解析 ①f（x）的最小正周期为T＝2π2＝π，故①错误；
②解法一 当－π2＋2kπ≤2x≤π2＋2kπ，k∈Z，即x∈[－π4＋kπ，π4＋kπ]，k∈Z时，f（x）单调递增，又因为[－π4，π4]⊆[－π4＋kπ，π4＋kπ]，k∈Z，故f（x）在[－π4，π4]上单调递增，②正确；
解法二 当x∈[－π4，π4]时，设t＝2x∈[－π2，π2]，y＝12sin t在[－π2，π2]上单调递增，②正确；
③当x∈[－π6，π3]时，2x∈[－π3，2π3]，f（x）∈[－34，12]，③错误；
④f（x）的图象可由g（x）＝12sin（2x＋π4）＝12sin 2（x＋π8）的图象向右平移π8个单位长度得到，④错误.故选A.
（2）[2023广东六校联考]已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π2）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ C ）
A.直线x＝π是f（x）图象的一条对称轴
B.f（x）图象的对称中心为（－π12＋kπ，0），k∈Z
C.f（x）在区间[－π3，π6]上单调递增
D.将f（x）的图象向左平移π12个单位长度后，可得到一个奇函数的图象
解析 根据函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π2）的部分图象，可得A＝2，14·2πω＝5π12－π6，所以ω＝2.结合“五点作图法”及｜φ｜＜π2，可得2×π6＋φ＝π2，所以φ＝π6，即f（x）＝2sin（2x＋π6）.令x＝π，得f（π）＝1，不是函数的最值，故直线x＝π不是
f（x）图象的对称轴，故A错误；令2x＋π6＝kπ，k∈Z，得x＝－π12＋kπ2，k∈Z，故f（x）图象的对称中心为（－π12＋kπ2，0），k∈Z，故B错误；x∈[－π3，π6]时，2x＋π6∈[－π2，π2]，函数f（x）单调递增，故C正确；将f（x）的图象向左平移π12个单位长度后，可得y＝
2sin（2x＋π3）的图象，故D错误.故选C.
方法技巧
有关三角函数图象与性质的综合应用问题，常以多选题或填空题的形式出现，破解此类题的关键：
一是转化思想的应用，如将函数转化为“一角一函数”的形式；
二是见数思形，熟悉正、余弦及正切函数的图象，并能适时应用；
三是整体思想的应用，会用整体换元的思想研究函数的性质.
训练3 （1）[多选/2024江苏省南通市模拟]已知（π3，0）是函数f（x）＝sin（ωx＋π3）（0＜ω＜3）图象的一个对称中心，则（ AC ）
A.ω＝2
B.x＝π6是函数f（x）图象的一条对称轴
C.将函数f（x）的图象向右平移π6个单位长度后得到的图象关于原点对称
D.函数f（x）在区间[－π2，0]上的最小值是－32
解析 对于A，由题意得sin（π3ω＋π3）＝0，故π3ω＋π3＝kπ，k∈Z，解得ω＝3k－1，k∈Z，又0＜ω＜3，故0＜3k－1＜3，解得13＜k＜43，所以k＝1，ω＝2，A正确；
对于B，由选项A可得f（x）＝sin（2x＋π3），当x＝π6时，f（π6）＝sin（π3＋π3）＝32，故x＝π6不是函数f（x）图象的对称轴，B错误；
对于C，将函数f（x）的图象向右平移π6个单位长度后得到g（x）＝sin[2（x－π6）＋π3]＝
sin 2x的图象，易知g（x）为奇函数，其图象关于原点对称，C正确；
对于D，令z＝2x＋π3，当x∈[－π2，0]时，z∈[－2π3，π3]，由于y＝sin z在区间[－2π3，π3]上的最小值为－1，当且仅当z＝－π2时，等号成立，故f（x）在区间[－π2，0]上的最小值是－1，D错误.故选AC.
（2）[多选/2024福建省漳州市一检]函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π2）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ABD ）
A.ω＝2
B.y＝f（x）的图象关于直线x＝－5π12对称
C.将y＝f（x）的图象向右平移π3个单位长度后，得到的图象关于原点对称
D.若y＝f（λx）（λ＞0）在[0，π]上有且仅有一个零点，则λ∈[13，56）
解析 由题图可得，A＝2，设f（x）的最小正周期为T，则T4＝π3－π12＝π4，故T＝π，ω＝2，f（x）＝2sin（2x＋φ），A正确.
由f（π12）＝2sin（π6＋φ）＝2，得π6＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，解得φ＝π3＋2kπ，k∈Z，又｜φ｜＜π2，所以φ＝π3，f（x）＝2sin（2x＋π3）.
对于B，当x＝－5π12时，2x＋π3＝－π2，y＝f（x）的图象关于直线x＝－5π12对称，B正确.
对于C，将y＝f（x）的图象向右平移π3个单位长度后，得到y＝2sin[2（x－π3）＋π3]＝
2sin（2x－π3）的图象，不关于原点对称，C错误.
对于D，设f（λx）＝2sin（2λx＋π3）在[0，π]上的唯一零点为x0，则2λx0＋π3∈[π3，2λπ＋π3]，∴π≤2λπ＋π3＜2π，∴13≤λ＜56，D正确.故选ABD.
命题点4 三角函数模型的应用
例4 水车（如图1），又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，有1 700余年历史.如图2是一个水车的示意图，它的直径为 3 m，其中心（即圆心）O距水面0.75 m.如果水车每4 min逆时针转3圈，在水车轮边缘上取一点P，我们知道在水车匀速转动时，P点距水面的高度h（单位：m）是一个变量，它是时间t（单位：s）的函数.为了方便，不妨从P点位于水车与水面交点Q时开始计时（t＝0），则我们可以建立函数关系式h（t）＝
Asin（ωt＋φ）＋k（其中A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π2）来反映h随t变化的规律.下面关于函数h（t）的描述，正确的是（ D ）
A.最小正周期为80π
B.一个单调递减区间为[30，70]
C.y＝｜h（t）｜的最小正周期为40
D.图象的一条对称轴方程为t＝－403
解析 由题意可得，A＝32，k＝34，T＝4÷3×60＝80（T为h（t）的最小正周期），所以ω＝π40，由h（0）＝0及｜φ｜＜π2可得，φ＝－π6，所以h（t）＝32sin（π40t－π6）＋34.因为T＝80，所以A错误；令2kπ＋π2≤π40t－π6≤2kπ＋3π2（k∈Z），解得80k＋803≤t≤80k＋2003（k∈Z），取k＝0，得[803，2003]为其中一个减区间，因为[30，70]不是[803，2003]的子区间，所以B错误；函数y＝｜h（t）｜＝｜32sin（π40t－π6）＋34｜的图象是把y＝h（t）的图象在t轴下方的部分翻折到t轴的上方，最小正周期
仍为80，所以C错误；令π40t－π6＝kπ＋π2（k∈Z），得t＝40k＋803（k∈Z），取k＝－1得t＝－403，即函数图象的一条对称轴方程为t＝－403，所以D正确.故选D.
方法技巧
构建三角函数模型求解实际问题时，一般需要根据实际问题得到解析式，求得的解析式一般为f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋b的形式，然后利用三角函数的有关性质和题中条件进行求解.
训练4 [2023江西赣州五校联考]在西双版纳热带植物园中有一种原产于美洲热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为20 ℃，但当气温上升到31 ℃时，时钟花基本都会凋谢.已知某景区有时钟花观花区，且观花区每天6时～14时的气温T（单位：℃）与时间t（单位：时，6时对应t＝6）近似满足函数关系式T＝25＋10sin（π8t＋3π4），则每天在6时～14时期间，观花的最佳时段约为（参考数据：sin π5≈0.6.假设在花期内，时钟花每天开闭一次）（ C ）
A.6.7时～11.6时B.6.7时～12.2时
C.8.7时～11.6时D.8.7时～12.2时
解析 当t∈[6，14]时，π8t＋3π4∈[3π2，5π2]，则T＝25＋10sin（π8t＋3π4）在[6，14]上单调递增.设花开、花谢的时间分别为t1，t2（t1，t2∈[6，14]）.令T＝20，则sin（π8t1＋3π4）＝
－0.5，即π8t1＋3π4＝11π6，解得t1＝263≈8.7.令T＝31，则sin（π8t2＋3π4）＝0.6≈sinπ5＝sin115π，即π8t2＋3π4≈11π5，解得t2≈11.6.故每天在6时～14时期间，观花的最佳时段约为8.7时～11.6时.
课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.结合具体实例，了解y＝Asin（ωx＋φ）的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.
2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
三角函数的图象及变换
2023全国卷甲T10；2021全国卷乙T7
本讲是高考命题热点，主要考查三角函数的图象变换，根据图象求解析式，图象和性质的综合应用以及三角函数模型的应用.题型以选择题和填空题为主，难度中等.在2025年的高考备考中要掌握三角函数的图象及其变换技巧，并能从已知图象中识别出有效信息进行求解，同时关注命题新角度、新综合以及三角函数模型的应用问题.
由图象确定y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
2023新高考卷ⅡT16；2021全国卷甲T16；2020新高考卷ⅠT10
三角函数的图象与性质的综合应用
2022新高考卷ⅡT9；2022天津T9；2019全国卷ⅢT12
三角函数模型的应用
X＝ωx＋φ
0
π2
π
3π2
2π
x
－φω
① π2-φω
② π-φω
③ 3π2-φω
④ 2π-φω
y＝Asin（ωx＋φ）
0
A
0
－A
0
区别
先平移变换（左右平移）再周期变换（伸缩变换），平移的量是｜φ｜个单位长度，而先周期变换（伸缩变换）再平移变换（左右平移），平移的量是个单位长度.
联系
两种变换方法都是针对x而言的，即x本身加减多少，而不是ωx加减多少.平移规律：“左加右减，上加下减”，前提是先把x的系数提取出来.
y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，
x≥0）表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
⑩ T＝2πω
f＝1T＝ω2π
⑪ ωx＋φ
φ