备考2024届高考数学一轮复习分层练习第四章三角函数第4讲简单的三角恒等变换

这是一份备考2024届高考数学一轮复习分层练习第四章三角函数第4讲简单的三角恒等变换，共5页。试卷主要包含了若θ为锐角，cs，化简并求值等内容，欢迎下载使用。
1.[2023黑龙江鹤岗一中模拟]已知tan（π－α）＝－2，则11+cs2α＝（ D ）
A.23B.34C.45D.56
解析 因为tan（π－α）＝－2，所以tan α＝2，则11+cs2α＝sin2α＋cs2αsin2α+2cs2α＝tan2α+1tan2α+2＝4+14+2＝56，故选D.
2.若θ为锐角，cs（θ＋π4）＝－210，则tan θ＋1tanθ＝（ B ）
A.1225B.2512C.247D.724
解析 因为cs（θ＋π4）＝cs θcsπ4－sin θsinπ4＝22（cs θ－sin θ）＝－210，所以cs θ－
sin θ＝－15.
解法一 因为sin2θ＋cs2θ＝1且有0＜θ＜π2，所以sin θ＝45，cs θ＝35，所以tan θ＝sinθcsθ＝43，所以tan θ＋1tanθ＝43＋34＝2512，故选B.
解法二 将cs θ－sin θ＝－15两边平方，整理得1－2sin θcsθ＝125，所以sin θcsθ＝1225，所以tan θ＋1tanθ＝sinθcsθ＋csθsinθ＝sin2θ＋cs2θsinθcsθ＝1sinθcsθ＝2512，故选B.
3.[2024四川成都新都一中模拟]sin50°1－cs80°3cs10°的值为（ C ）
A.63B.64C.66D.62
解析 sin50°1－cs80°3cs10°＝2sin50°·sin40°3cs10°＝2cs40°·sin403cs10°＝2sin80°23cs10°＝66，故选C.
4.[数学文化]魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24 576边形，求出圆周率π约等于355113，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破.若已知π的近似值还可以表示成4sin 52°，则1－2cs27°π16－π2的值为（ A ）
A.－18B.－8C.8D.18
解析 将π≈4sin 52°代入1－2cs27°π16－π2，可得1－2cs27°4sin52°16－16sin252°＝－cs14°16sin52°cs52°＝－cs14°8sin104°＝
－cs14°8sin（90°+14°）＝－cs14°8cs14°＝－18.
5.[浙江高考]若0＜α＜π2，－π2＜ β＜0，cs（π4＋α）＝13，cs（π4－β2）＝33，则cs（α＋β2）＝（ C ）
A.33B.－33C.539D.－69
解析 不难发现α＋β2＝（π4＋α）－（π4－β2）.注意到0＜α＜π2，则π4＜α＋π4＜3π4，所以sin（π4＋α）＝1－（13）2＝223.
又－π2＜ β＜0，所以0＜－β2＜π4，所以π4＜π4－β2＜π2，所以sin（π4－β2）＝1－（33）2＝63，从而cs（α＋β2）＝cs[（π4＋α）－（π4－β2）]＝cs（π4＋α）cs（π4－β2）＋sin（π4＋α）sin（π4－β2）＝13×33＋223×63＝539.
6.[2024浙江联考]已知2sin α－sin β＝3，2cs α－cs β＝1，则cs（2α－2 β）＝（ D ）
A.－18B.154C.14D.－78
解析 由题可得，（2sin α－sin β）2＝3，（2cs α－cs β）2＝1，即4sin2α－4sin αsin β＋sin2 β＝3，4cs2α－4cs αcs β＋cs2 β＝1，两式相加可得4－4sin αsin β－4cs αcs β＋1＝4，即cs αcs β＋sin αsin β＝14，故cs（α－ β）＝14，cs（2α－2 β）＝2cs2（α－ β）－1＝2×116－1＝－78.故选D.
7.[2024广东阳江模拟]已知α∈（0，π），若3（sin α＋sin 2α）＋cs α－cs 2α＝0，则
sin（α－π12）＝（ C ）
A.22B.32C.6＋24D.6－24
解析 ∵3（sin α＋sin 2α）＋cs α－cs 2α＝0，∴3sin α＋cs α＝cs 2α－3sin 2α，∴sin（α＋π6）＝sin（π6－2α），∴α＋π6＝π6－2α＋2kπ或α＋π6＋π6－2α＝2kπ＋π，k∈Z，即α＝2kπ3或α＝－（6k+2）π3，k∈Z，又α∈（0，π），∴α＝2π3，∴sin（α－π12）＝sin（2π3－π12）＝sin7π12＝sin（π3＋π4）＝sinπ3csπ4＋csπ3sinπ4＝6＋24，故选C.
8.已知cs4α－sin4α＝23，且α∈（0，π2），则sin 2α＝ 53 ，cs（2α＋π3）＝ 2－156 .
解析 ∵cs4α－sin4α＝（sin2α＋cs2α）（cs2α－sin2α）＝cs 2α＝23，又α∈（0，π2），∴2α∈（0，π），∴sin 2α＝1－cs22α＝53，cs（2α＋π3）＝12cs 2α－32sin 2α＝12×23－32×53＝2－156.
9.[2023湖南张家界模拟]已知锐角α满足1＋3tan80°＝1sinα，则α＝ 50° .
解析 1＋3tan80°＝sin80°＋3cs80°sin80°＝2sin（80°+60°）sin80°＝2sin140°2sin40°cs40°＝2sin40°2sin40°cs40°＝1cs40°＝1sin50°＝1sinα，则sin α＝sin 50°.因为α为锐角，所以α＝50°.
10.化简并求值.
（1）3－4sin20°+8sin320°2sin20°sin480°；
（2）（1cs280°－3cs210°）·1cs20°.
解析 （1）原式＝3－4sin20°（1－2sin220°）2sin20°sin480°＝3－4sin20°cs40°2sin20°sin480°＝2sin（20°+40°）－4sin20°cs40°2sin20°sin480°＝2sin（40°－20°）2sin20°sin480°＝1sin480°＝1sin120°＝233.
（2）原式＝（cs10°－3cs80°)(cs10°＋3cs80°）cs280°cs210°cs20°＝（cs10°－3sin10°)(cs10°＋3sin10°）cs280°cs210°cs20°＝4cs70°cs50°cs280°cs210°cs20°＝4sin20°sin40°sin210°cs210°cs20°＝32sin220°cs20°sin220°cs20°＝32.
11.设θ∈R，则“0＜θ＜π3”是“3sin θ＋cs 2θ＞1”的（ A ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 3sin θ＋cs 2θ＞1⇔3sin θ＞1－cs 2θ＝2sin2θ⇔（2sin θ－3）sin θ＜0⇔0＜sin θ＜32.当0＜θ＜π3时，0＜sin θ＜32；当0＜sin θ＜32时，2kπ＜θ＜π3＋2kπ，k∈Z或2π3＋2kπ＜θ＜π＋2kπ，k∈Z.所以0＜θ＜π3是3sin θ＋cs 2θ＞1的充分不必要条件.故选A.
12.已知tan α＝13，tan β＝－17，且α， β∈（0，π），则2α－ β＝（ C ）
A.π4B.π4或5π4
C.－3π4D.π4或5π4或－3π4
解析 ∵tan α＝13＞0，且α∈（0，π），∴α∈（0，π2），2α∈（0，π），∴tan 2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－（13）2＝34＞0，∴2α∈（0，π2）.∵tan β＝－17＜0，且 β∈（0，π），∴ β∈（π2，π），∴2α－ β∈（－π，0），又tan（2α－ β）＝tan2α－tanβ1+tan2αtanβ＝34－（－17）1+34×（－17）＝1，∴2α－ β＝－3π4.
13.[2023武汉模拟]f（x）满足：∀x1，x2∈（0，1）且x1≠x2，都有x2f（x1）－x1f（x2）x1－x2＜0.a＝sin 7°sin 83°，b＝tan8°1+tan28°，c＝cs25π24－12，则f（a）a，f（b）b，f（c）c的大小顺序为（ C ）
A. f（a）a＜f（b）b＜f（c）c
B. f（a）a＜f（c）c＜f（b）b
C. f（b）b＜f（c）c＜f（a）a
D. f（c）c＜f（a）a＜f（b）b
解析 a＝sin 7°sin 83°＝sin 7°cs 7°＝12sin 14°，b＝tan8°1+tan28°＝sin8°cs8°cs28°＋sin28°＝12sin 16°，c＝cs25π24－12＝12cs 5π12＝12sin π12＝12sin 15°，∴a＜c＜b.由题知，∀x1，x2∈（0，1）且x1≠x2，都有x2f（x1）－x1f（x2）x1－x2＜0，两边同时除以x1x2得f（x1）x1－f（x2）x2x1－x2＜0，∴y＝f（x）x在（0，1）上单调递减，∴f（b）b＜f（c）c＜f（a）a.
14.[多选]已知tan（α＋ β）＝tan α＋tan β，其中α≠nπ2（n∈Z）且 β≠mπ2（m∈Z），则下列结论一定正确的是（ AD ）
A.sin（α＋ β）＝0
B.cs（α＋ β）＝1
C.sin2α2＋sin2β2＝1
D.sin2α＋cs2 β＝1
解析 由条件得tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝tan α＋tan β（α≠nπ2（n∈Z）且 β≠mπ2（m∈Z）），从而得到
tan α＋tan β＝0，所以α＝kπ－ β，k∈Z，即α＋ β＝kπ，k∈Z，所以sin（α＋ β）＝0，故A正确；对于B选项，cs（α＋ β）＝cs kπ＝±1，故B错误；对于C选项，sin2α2＋sin2β2＝sin2（kπ2－β2）＋sin2β2，当k为偶数时，sin2α2＋sin2β2＝sin2β2＋sin2β2＝2sin2β2，故C错误；对于D选项，sin2α＋cs2 β＝sin2（kπ－ β）＋cs2 β＝sin2 β＋cs2 β＝1，所以D正确.
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角 β的终边与单位圆分别交于点A，B，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知S△OAM＝55，点B的纵坐标是210.
（1）求cs（α－ β）的值；
（2）求2α－ β的值.
解析 （1）由题意，｜OA｜＝｜OM｜＝1，
∵S△OAM＝12｜AO｜·｜OB｜·sin α＝12sin α＝55，且α为锐角，
∴sin α＝255，cs α＝55，
又点B的纵坐标是210，且 β为钝角，∴sin β＝210，cs β＝－7210，
∴cs（α－ β）＝cs αcs β＋sin αsin β＝55×（－7210）＋255×210＝－1010.
（2）∵cs 2α＝2cs2α－1＝2×（55）2－1＝－35，sin 2α＝2sin αcs α＝2×255×55＝45，
∴2α∈（π2，π），
∵ β∈（π2，π），∴2α－ β∈（－π2，π2）.
∵sin（2α－ β）＝sin 2αcs β－cs 2αsin β＝45×（－7210）－（－35）×210＝－22，
∴2α－ β＝－π4.
16.[情境创新/2023盐城模拟]已知由sin 2x＝2sin xcsx，cs 2x＝2cs2x－1，cs 3x＝cs（2x＋x）可推得三倍角余弦公式cs 3x＝4cs3x－3cs x，已知cs 54°＝sin 36°，结合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式可得sin 18°＝ 5－14 ；如图，已知五角星ABCDE是由边长为2的正五边形GHIJK和五个全等的等腰三角形组成的，则HE·HG＝ 5＋5 .
解析 因为cs 54°＝cs（90°－36°）＝sin 36°，所以4cs318°－3cs 18°＝2sin 18°·
cs 18°，即4cs218°－3＝2sin 18°，即4（1－sin218°）－3＝2sin 18°，即4sin218°＋2sin 18°－1＝0，因为0＜sin 18°＜1，所以sin 18°＝－2+4+168＝5－14.
在五角星ABCDE中，EG＝EI，HG＝HI，HE＝HE，故△EHG≌△EHI，又正五边形中每个内角均为108°，从而可得∠HEG＝12∠CEB＝18°，∠EHG＝12∠IHG＝54°，
过点H作HM⊥BE，垂足为点M，如图，则∠GHM＝18°，于是cs∠GHM＝HMGH，
从而有HM＝GHcs∠GHM＝2cs 18°，于是EH＝HMsin∠HEG＝2cs18°sin18°，
所以HE·HG＝｜HE｜·｜HG｜cs 54°＝2×2cs18°sin18°×sin 36°＝8cs218°＝8－8sin218°＝8－8×（5－14）2＝8－（3－5）＝5＋5.