（新高考通用）2024年高考数学【讲义】高频考点题型归纳与方法总结 第25练 解三角形（精练：基础+重难点）（原卷版+解析）.

这是一份（新高考通用）2024年高考数学【讲义】高频考点题型归纳与方法总结 第25练 解三角形（精练：基础+重难点）（原卷版+解析）.，共70页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

刷真题 明导向
一、单选题
1．（2021·全国·高考真题）在中，已知，，，则（ ）
A．1B．C．D．3
2．（2021·全国·统考高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高B．表高
C．表距D．表距
3．（2021·全国·统考高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346B．373C．446D．473
二、填空题
4．（2021·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
5．（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则_________．
三、解答题
6．（2021·天津·统考高考真题）在，角所对的边分别为，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．
7．（2022·浙江·统考高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
8．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
9．（2022·天津·统考高考真题）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
10．（2023·全国·统考高考真题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
11．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
12．（2021·全国·统考高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
13．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
14．（2023·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023秋·吉林辽源·高三校联考期末）在中，∠A､∠B､∠C所对的边分别为a，b，c，若，，b=2，则∠B=（ ）
A．B．C．D．或
2．（2023·北京·高三专题练习）在中，，，，则（ ）
A．B．4C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形D．锐角三角形
4．（2023·青海·校联考模拟预测）在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若的面积是，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·四川成都·成都七中校考二模）的内角所对的边分别为，且，则的值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
6．（2023·全国·高三专题练习）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了，测得，，，，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算的值（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·四川南充·统考二模）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
8．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）圭表，是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成.圭表和日晷一样，也是利用日影进行测量的古代天文仪器.所谓高表测影法，通俗的说，就是垂直于地面立一根杆，通过观察记录它正午时影子的长短变化来确定季节的变化.垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”，如图1，利用正午时太阳照在表上，表在圭上的影长来确定节令．已知某地夏至和冬至正午时，太阳光线与地面所成角分别约为，，如图2，若影长之差尺，则表高AB为（ ）尺．
A．B．
C．D．
9．（2023·全国·高三专题练习）在中，，则为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
10．（2023·全国·高三专题练习）已知在非 中，，，且，则△ABC的面积为（ ）
A．1B．C．2D．3
11．（2023·全国·高三专题练习）在中，D是BC边的中点，且，，，则的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．无法确定
12．（2023·全国·高三专题练习）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·全国·高三专题练习）在中，，的角平分线交于点D，的面积是面积的3倍，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
14．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，为三个内角，，的对边，若，则角（ ）
A．B．
C．D．
15．（2023·全国·高三专题练习）在中，角， ，的对边分别为，，，若，且，则不可能为（ ）
A．等腰直角三角形B．等边三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
16．（2023·全国·高三专题练习）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为.货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（ ）
A．处与处之间的距离是B．灯塔与处之间的距离是
C．灯塔在处的西偏南D．在灯塔的北偏西
17．（2023春·山东济宁·高三校考阶段练习）如图，在平面四边形中，已知，，，，，下列四个结论中正确的是（ ）
A．B．四边形的面积为
C．D．四边形的周长为
三、填空题
18．（2023·高三课时练习）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的值为___________.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知在中，，，，则_________ ．
20．（2023·全国·高三专题练习）若钝角△ABC中，，则△ABC的面积为___________．
21．（2023秋·江西·高三校联考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，且的周长和面积分别是10和，则______.
22．（2023秋·河南商丘·高三商丘市回民中学校考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则的面积为______．
23．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角的对边分别为，且，若，则的外接圆半径为__________.
24．（2023·浙江·校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，，，，，，则________．
四、解答题
25．（2023·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求B；
(2)若，，求c．
26．（2023·全国·高三专题练习）在中，角，，的对边分别为，，，且，.
(1)若，求的值；
(2)若的面积为，求的值.
27．（2023春·辽宁朝阳·高三校联考开学考试）已知的内角的对边分别为，．
(1)求A；
(2)若，，求的面积．
28．（2023春·海南海口·高三校联考阶段练习）的内角，，分别为，，.已知.
(1)求；
(2)从下列①②③中选择两个作为条件，证明另外一个条件成立：
①；②；③.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
29．（2023春·湖北·高三安陆第一高中校联考阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且的周长为6，.
(1)求角的大小；
(2)若是边的中点，且，求的面积.
30．（2023·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小．
(2)若，求的周长的取值范围．
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023·江苏南京·统考二模）在中，角，，的对边分别为，，．若，则角的大小为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，的面积为，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·甘肃酒泉·统考三模）在中内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
5．（2023·西藏拉萨·统考一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（ ）
A．B．C．12D．16
6．（2023·河南郑州·三模）在△ABC中，若，，，点P为△ABC内一点，PA⊥PB且，则（ ）
A．B．C．2D．5
7．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）如图，为了在两座山之间的一条河流上面修建一座桥，勘测部门使用无人机测量得到如下数据：无人机P距离水平地面的高度为h，A，B两点的俯角分别为，.则下列求A，B两点间的距离的表达式中，错误的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，，则线段的长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．是钝角三角形
C．当时，的面积 D．若，则
10．（2023·全国·高三专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，且满足，则下列结论可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
11．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则________．
12．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）在△ABC中，若，且，则的面积是______________．
13．（2023·甘肃兰州·兰化一中校考模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则______．
14．（2023·陕西·统考一模）在中，点D是边BC上一点，且，.，，则DC=___________.
四、解答题
15．（2023·北京房山·北京市房山区良乡中学校考模拟预测）在△ABC中，已知，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
(1)求；
(2)求△ABC的面积．
条件①：；条件②：．
16．（2023·浙江·校联考模拟预测）记锐角内角的对边分别为.已知.
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
17．（2023·山东聊城·统考三模）如图，函数的图象经过的三个顶点，且．

(1)求；
(2)若的面积为，，求在区间上的值域．
18．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线BD交AC于点．
(1)从下面三个条件中任选一个作为已知条件，求的大小．
①；②；③．
(2)若，求的取值范围．
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023·湖南岳阳·统考模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若点M满足，且∠MAB＝∠MBA，则△AMC的面积是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河南·校联考模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则的值可为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）已知中，角A，B，C对应的边分别为a、b、c，D是AB上的三等分点（靠近点A）且，，则的最大值是（ ）
A．B．
C．2D．4
4．（2023·全国·高三专题练习）在非直角中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，是角的内角平分线，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
6．（2023·山西阳泉·统考三模）设内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知的三个内角所对边的长分别为，若，则下列正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．若是边上的一点，且，，则的面积的最大值为
C．若是锐角三角形，则的取值范围是
D．若平分交点，且，则的最小值为
三、填空题
8．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知的面积S满足，则角A的值为______．
9．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）记锐角三角形的内角的对边分别为，若，则的取值范围为__________.
四、解答题
10．（2023·全国·高三专题练习）在中，.
(1)求A；
(2)若的内切圆半径，求的最小值.
11．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
(1)求证：存在，使得；
(2)求面积S的最大值.
2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第25练 解三角形（精练）
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2021·全国·高考真题）在中，已知，，，则（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】D
【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.
【详解】设，
结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），
故.
故选：D.
【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：
(1)已知三角形的三条边求三个角；
(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；
(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．
2．（2021·全国·统考高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高B．表高
C．表距D．表距
【答案】A
【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
【详解】如图所示：
由平面相似可知，，而 ，所以
，而 ，
即＝ ．
故选：A.
【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．
3．（2021·全国·统考高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346B．373C．446D．473
【答案】B
【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案．
【详解】
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以
所以．
故选：B．
【点睛】本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为．
二、填空题
4．（2021·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
【答案】
【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.
【详解】由题意，，
所以，
所以，解得（负值舍去）.
故答案为：.
5．（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则_________．
【答案】
【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出；
方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出．
【详解】
如图所示：记，
方法一：由余弦定理可得，，
因为，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案为：．
方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．
故答案为：．
三、解答题
6．（2021·天津·统考高考真题）在，角所对的边分别为，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．
【答案】（I）；（II）；（III）
【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；
（II）由余弦定理即可计算；
（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.
【详解】（I）因为，由正弦定理可得，
，；
（II）由余弦定理可得；
（III），，
，，
所以.
7．（2022·浙江·统考高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．
【详解】（1）由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
（2）因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
8．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【分析】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
9．（2022·天津·统考高考真题）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出；
（2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出；
（3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出．
【详解】（1）因为，即，而，代入得，解得：．
（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．
（3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以，
故．
10．（2023·全国·统考高考真题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得；
(2)由题意可得，则，据此即可求得的面积.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
则，，
.
（2）由三角形面积公式可得，
则.
11．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【详解】（1）由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，.
12．（2021·全国·统考高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，且.
【分析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.
【详解】（1）因为，则，则，故，，
，所以，为锐角，则，
因此，；
（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，
由余弦定理可得，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，，故.
13．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
14．（2023·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，

则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，
所以.
方法2：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，则，
，过作于，于是，，
所以.
（2）方法1：在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，
又，解得，而，于是，
所以.
方法2：在中，因为为中点，则，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以.
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023秋·吉林辽源·高三校联考期末）在中，∠A､∠B､∠C所对的边分别为a，b，c，若，，b=2，则∠B=（ ）
A．B．C．D．或
【答案】B
【分析】根据正弦定理结合大边对大角，即可求的大小.
【详解】由正弦定理，得，
又，所以，则角为锐角，所以.
故选：B.
2．（2023·北京·高三专题练习）在中，，，，则（ ）
A．B．4C．D．
【答案】C
【分析】利用余弦定理得到，，利用同角三角函数基本公式得到，然后利用面积公式求面积即可.
【详解】，，，所以，解得，，
因为，所以，.
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形D．锐角三角形
【答案】B
【分析】根据正弦定理边角互化可得，进而由三角函数的性质求解.
【详解】由得,
由二倍角公式可得或，
由于在，,所以或,故为等腰三角形或直角三角形
故选：B
4．（2023·青海·校联考模拟预测）在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若的面积是，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正余弦定理及面积公式化简计算即可.
【详解】由余弦定理可得：
由条件及正弦定理可得：
，
所以，则．
故选：A
5．（2023·四川成都·成都七中校考二模）的内角所对的边分别为，且，则的值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】B
【分析】根据正弦定理可得，再结合同角商数关系，平方关系，最后求得.
【详解】由得，又，所以，从而，所以.
故选：B
6．（2023·全国·高三专题练习）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了，测得，，，，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算的值（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据三条边求出，利用平方关系得到，结合正弦定理可得.
【详解】由题意，在中，由余弦定理可得，
，
因为，所以，
在中，由正弦定理，
即，解得.
故选：C.
7．（2023·四川南充·统考二模）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【答案】B
【分析】利用正弦定理和余弦定理有，再根据条件整体代换即可.
【详解】因为，
则根据正弦定理和余弦定理有
.
故选：B.
8．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）圭表，是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成.圭表和日晷一样，也是利用日影进行测量的古代天文仪器.所谓高表测影法，通俗的说，就是垂直于地面立一根杆，通过观察记录它正午时影子的长短变化来确定季节的变化.垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”，如图1，利用正午时太阳照在表上，表在圭上的影长来确定节令．已知某地夏至和冬至正午时，太阳光线与地面所成角分别约为，，如图2，若影长之差尺，则表高AB为（ ）尺．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题设定义及，将公式转化变形即可得结果.
【详解】由题设，则.
故选：C
9．（2023·全国·高三专题练习）在中，，则为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】利用正弦定理及三角恒等变换计算即可.
【详解】由正弦定理可得：，而，
所以，
则，即
易知，所以
在三角形中，所以.
故选：C.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知在非 中，，，且，则△ABC的面积为（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】C
【分析】首先由及不是直角三角形得出，再结合同角三角函数的平方关系求出，代入面积计算公式即可．
【详解】，
，
又不是直角三角形，
，
，即，
又，
，解得，
，即，
，
，
故选：C．
11．（2023·全国·高三专题练习）在中，D是BC边的中点，且，，，则的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．无法确定
【答案】C
【分析】分别在和中，利用余弦定理得到两个等式，然后两式相加，得到，然后在中，由余弦定理判断.
【详解】解：在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
两式相加得，则，，
在中，由余弦定理得，
所以是钝角三角形，
故选：C
12．（2023·全国·高三专题练习）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】运用正弦定理与和差公式求解.
【详解】因为，由正弦定理得：， ，
，即 ，，
又 ，所以 ，即或，
得或 （舍），
又 ，， ，
所以 ；
故选：B.
13．（2023·全国·高三专题练习）在中，，的角平分线交于点D，的面积是面积的3倍，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用面积之比可得，，作边上高，垂足为，即可求.
【详解】
因为，
即，在中，作边上高，垂足为，
则，
故选:A.
二、多选题
14．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，为三个内角，，的对边，若，则角（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】由余弦定理化边为角即得.
【详解】由题得
根据余弦定理可知，
∴或．
故选：BD.
15．（2023·全国·高三专题练习）在中，角， ，的对边分别为，，，若，且，则不可能为（ ）
A．等腰直角三角形B．等边三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
【答案】BCD
【解析】由余弦定理求出，然后可得角，然后可选出答案.
【详解】由余弦定理，所以，又，所以，
故为等腰直角三角形.
故选：BCD
【点睛】本题考查的是利用余弦定理解三角形，较简单.
16．（2023·全国·高三专题练习）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为.货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（ ）
A．处与处之间的距离是B．灯塔与处之间的距离是
C．灯塔在处的西偏南D．在灯塔的北偏西
【答案】ABC
【分析】作图，运用正弦定理和余弦定理解相应的三角形即可.
【详解】在中，由已知得，，
则，．
由正弦定理得，
所以处与处之间的距离为 ，故A正确；
在中，由余弦定理得，
，
又，
解得．
所以灯塔与处之间的距离为 ，故B正确，
，
，
灯塔在处的西偏南，故C正确；
灯塔在的南偏东，
在灯塔的北偏西，故D错误；
故选：ABC．
17．（2023春·山东济宁·高三校考阶段练习）如图，在平面四边形中，已知，，，，，下列四个结论中正确的是（ ）
A．B．四边形的面积为
C．D．四边形的周长为
【答案】ACD
【分析】在和中，分别利用余弦定理，得到，结合，求得，得到，可判定A正确；利用直角三角形的面积公式，可判定B不正确；在直角中，利用勾股定理，可判定C正确；求得四边形的周长，可判定D正确.
【详解】在中，可得，
在中，可得，
可得，即
因为，可得，可得，
又因为为三角形的内角，所以，所以，所以A正确；
由
，所以B不正确；
在直角中，可得，所以C正确；
四边形的周长为，
所以D正确.
故选：ACD
三、填空题
18．（2023·高三课时练习）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的值为___________.
【答案】12
【分析】利用余弦定理结合已知条件求得，进而得出，即可得解．
【详解】由余弦定理可得，即，解得，
则，故．
故答案为：12．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知在中，，，，则_________ ．
【答案】14
【分析】利用两角和正弦公式得到，结合正弦定理得到结果.
【详解】∵在中，，，
∴，，
∴，
∴，∴．
故答案为：14
20．（2023·全国·高三专题练习）若钝角△ABC中，，则△ABC的面积为___________．
【答案】
【分析】由正弦定理求得三角形的内角，然后再由面积公式计算．
【详解】由正弦定理得，
是三角形内角，则或，
若，则不合题意，舍去，故，，
．
故答案为：．
21．（2023秋·江西·高三校联考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，且的周长和面积分别是10和，则______.
【答案】3
【分析】根据三角形的面积公式和余弦定理求解.
【详解】因为，所以，所以，
所以.
因为，所以，
所以，
所以.
由余弦定理可得，
即，所以，
则，解得.
故答案为:3.
22．（2023秋·河南商丘·高三商丘市回民中学校考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则的面积为______．
【答案】
【分析】由余弦定理及已知条件可得，再由三角形的面积公式即可得答案.
【详解】解：因为，，
所以，
因为，
所以，
得，
故．
故答案为：
23．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角的对边分别为，且，若，则的外接圆半径为__________.
【答案】
【分析】由利用余弦定理化简，再利用余弦定理可求出，从而可求出角，再利用正弦定理可求出的外接圆半径.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，
所以由正弦定理得，得，
所以的外接圆半径为，
故答案为：.
24．（2023·浙江·校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，，，，，，则________．
【答案】
【分析】连接，在△中求得，结合余弦的差角公式，即可求得，再在△中，利用余弦定理即可求得.
【详解】连接，如下所示：
在△中，由余弦定理，
可得，故可得，
则，又，故；
又，又，故可得；
则
，
在△中，由余弦定理可得
即，故.
故答案为：.
四、解答题
25．（2023·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求B；
(2)若，，求c．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和定理及两角和的正弦公式化简，即可得解；
（2）利用余弦定理求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
即，化简得，
又，所以，
又，所以；
（2）由余弦定理得，
又，由（1）可得，
所以，又，所以．
26．（2023·全国·高三专题练习）在中，角，，的对边分别为，，，且，.
(1)若，求的值；
(2)若的面积为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理求解即可；
（2）利用三角形面积公式和余弦定理求解即可.
【详解】（1）由题意在中，，，，
由正弦定理可得.
（2）由，，，即，
解得，
由余弦定理，
可得.
27．（2023春·辽宁朝阳·高三校联考开学考试）已知的内角的对边分别为，．
(1)求A；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用正弦定理及条件，进行边转角即可求出结果；
(2)利用余弦定理及条件，建立方程求出的值，再用面积公式求出结果.
【详解】（1）(1)由正弦定理及，得，
所以，
即，所以
因为，所以，又，所以
（2）(2)，，又由(1)知
由余弦定理得，
即，则
所以的面积为
28．（2023春·海南海口·高三校联考阶段练习）的内角，，分别为，，.已知.
(1)求；
(2)从下列①②③中选择两个作为条件，证明另外一个条件成立：
①；②；③.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由三角形内角性质及三角恒等变换可得，再应用二倍角正切公式、同角三角函数关系求；
（2）根据所选两个条件，结合平方关系、余弦定理、三角形面积公式求证第三个条件成立即可.
【详解】（1）由，则，所以，
又，则，故，
由，故，则.
（2）选①②：，，由（1）知：，
由，，则，
所以，则，故.
选②③：，，由（1）知：，
由，则，
由，故.
选①③：，，
由，可得，
由（1）知：，则.
29．（2023春·湖北·高三安陆第一高中校联考阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且的周长为6，.
(1)求角的大小；
(2)若是边的中点，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合三角形的周长以及余弦定理求得，进而求得.
（2）利用向量运算、三角形的周长以及（1）求得，从而求得三角形的面积.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得
又由，可得，
整理得，所以
又因为，
所以；
（2）因为是边的中点，所以.
即
又，，
解得.所以的面积.
30．（2023·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小．
(2)若，求的周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两角差的正弦公式、两角和的余弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；
（2）根据余弦定理，结合基本不等式、三角形两边之和大于第三边进行求解即可.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
因为因为，所以，
所以
因此有．
又因为，所以．
（2）由，及余弦定理，得
，
所以，当且仅当时取等号．
又因为，所以，故的周长的取值范围为．
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023·江苏南京·统考二模）在中，角，，的对边分别为，，．若，则角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理结合三角恒等变换得到，解得答案.
【详解】，即，
即，
，则，，则，故，
，故，.
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】运用正弦定理与和差公式可得，根据角的范围可得，再结合倍角正弦公式即可求解.
【详解】因为，由正弦定理得：， ，
，即 ，
即，
又 ，所以 ，
所以或，得或（舍），
又 ，， ，
所以 .
故选：D.
3．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，的面积为，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件及三角形的面积公式，利用余弦定理及三角形的周长公式即可求解.
【详解】因为，的面积为，
所以，解得.
所以.
由余弦定理得，解得，
所以的周长为.
故选：D.
4．（2023·甘肃酒泉·统考三模）在中内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】由正弦定理，余弦定理化角为边，化简已知等式可得，即可判断的形状．
【详解】由正弦定理，余弦定理及得，
，即，
则，即
或为等腰三角形或直角三角形．
故选：D.
5．（2023·西藏拉萨·统考一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（ ）
A．B．C．12D．16
【答案】B
【分析】由正弦定理及两角和的正弦公式得，再利用余弦定理得，从而求出的面积.
【详解】由正弦定理及，得，
所以，
所以，
即，
所以.
由正弦定理得.
因为，所以，
又，所以由余弦定理得
，
解得，
所以的面积为.
故选：B.
6．（2023·河南郑州·三模）在△ABC中，若，，，点P为△ABC内一点，PA⊥PB且，则（ ）
A．B．C．2D．5
【答案】B
【分析】在中，由余弦定理求得，在Rt中，令，则，在中，由正弦定理求得，即可得出结果．
【详解】
在中，由余弦定理得，即，解得，
在Rt中，令，则，
在中，，
由正弦定理得，即，
所以，又，所以，所以．
故选：B．
7．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）如图，为了在两座山之间的一条河流上面修建一座桥，勘测部门使用无人机测量得到如下数据：无人机P距离水平地面的高度为h，A，B两点的俯角分别为，.则下列求A，B两点间的距离的表达式中，错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意画出三角形示意图，然后分别利用正、余弦定理求出即可判断各选项是否正确.
【详解】
由题意知.
设高线与交于点，则,
所以，故选项A正确.
由正弦定理得，又因为，
所以，故选项B正确.
由余弦定理得，
又因为，
所以
所以，故选项C错误，选项D正确.
故选：C.
8．（2023·全国·高三专题练习）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，，则线段的长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据写出的向量表达式，平方后转化为与的边，有关的表达式，再利用正弦定理将边转化为角，从而求出最大值.
【详解】在中，由正弦定理得，，所以，.
由得，，两边平方得，
，其中，.
因为，所以当时，
取得最大值为，
所以最大值为.
故选：D.
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．是钝角三角形
C．当时，的面积 D．若，则
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式逐项分析、计算判断作答.
【详解】由得，
在中，由正弦定理得：，A正确；
依题意，角C是最大角，，则C是锐角，是锐角三角形，B不正确；
当时，，，，，C，D都正确.
故选：ACD
10．（2023·全国·高三专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，且满足，则下列结论可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】利用两角和的正弦公式化简得出，结合角的取值范围以及正弦定理可得出结论.
【详解】因为，
所以，，
所以，，即.
所以，或，，或.
故选：AD.
三、填空题
11．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则________．
【答案】1
【分析】根据题意利用正弦定理进行边化角，结合三角恒等变换运算求解.
【详解】∵，由正弦定理可得：，
则，
整理得①，
又∵，则，即，
将①式两边同除于，可得，即.
故答案为：1.
12．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）在△ABC中，若，且，则的面积是______________．
【答案】
【分析】利用诱导公式可得，再由商数关系和平方关系可得，然后由面积公式可得.
【详解】因为，
所以，解得
又，所以，
所以．故答案为：
13．（2023·甘肃兰州·兰化一中校考模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则______．
【答案】1
【分析】利用正弦定理及三角恒等变换得，则，求出的大小，再求出的大小，最后得到角，则得到.
【详解】由和正弦定理得,
则有,整理得，，则，
，又，则由正弦定理有，
，
故答案为：1,
14．（2023·陕西·统考一模）在中，点D是边BC上一点，且，.，，则DC=___________.
【答案】3
【分析】在中，利用余弦定理得到进而在中，利用两角差正弦公式得到结果．
【详解】在中，，可得.
又由余弦定理，，可得.
在中，，
由此可得，
由已知可得，代入可得，
所以，所以.故答案为：3.
四、解答题
15．（2023·北京房山·北京市房山区良乡中学校考模拟预测）在△ABC中，已知，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
(1)求；
(2)求△ABC的面积．
条件①：；条件②：．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）根据所选条件，应用平方关系、和角正弦公式或正弦定理求；
（2）由所选条件，应用正余弦定理求边，再由三角形面积公式求面积即可.
【详解】（1）选①：因为，，B，，
所以，．
所以．
所以．
选②：由，，可得．
由正弦定理得．
（2）选①：由正弦定理得．
所以．
选②：由余弦定理，得．
即，解得（负值舍），
所以．
16．（2023·浙江·校联考模拟预测）记锐角内角的对边分别为.已知.
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形内角和定理，两角和的余弦公式的得到，进而求解；
（2）利用正弦定理和三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）由，故，
故，
，
故，因是锐角三角形，故，.
故，故，所以.
（2）由正弦定理可知，
故，
.
.
由是锐角三角形，可知，
故，
故.
17．（2023·山东聊城·统考三模）如图，函数的图象经过的三个顶点，且．

(1)求；
(2)若的面积为，，求在区间上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图像性质，结合正弦定理与，求得，从而得解；
（2）由（1）及的面积为得，再结合图像性质依次求得，从而求得，最后根据的范围，结合正弦型函数的图像即可得解.
【详解】（1）由函数的图象性质可知，
在中由正弦定理，得，又，
所以，即，
所以，即，
所以，又，
所以，，
因为，所以．
（2）由（1）及的面积为，得，解得，
设与轴的交点为，则为边长是2的正三角形，

所以，，所以．
又，所以，即
又，解得，即．
因为，所以，所以，
所以，
即在区间上的值域为.
18．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线BD交AC于点．
(1)从下面三个条件中任选一个作为已知条件，求的大小．
①；②；③．
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)三个条件任选其一都有
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再对等式进行化简，进而根据的取值范围求出其大小．
（2）运用角平分线的条件求出，然后利用面积公式求出的取值范围．
【详解】（1）选①，
因为，所以．
由正弦定理得．
即，
故 ，
因为，，所以，
所以，所以．
选②，
由及正弦定理，得
，
即，
，
所以．
因为，所以，
所以，即．
又，所以，所以．
选③，
由及正弦定理，得
，
即．
因为，所以，所以．
又，所以．
（2）因为BD平分，所以，
在中，，即，
在中，，即，
因为，所以，
所以，所以，故．
因为，，，
所以，
又，
所以．
又，所以，
所以，
所以，，
即的取值范围为．
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023·湖南岳阳·统考模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若点M满足，且∠MAB＝∠MBA，则△AMC的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由正弦定理及诱导公式结合可得.
由，结合可得，.后由∠MAB＝∠MBA，结合正弦定理，可得，即可得面积
【详解】由正弦定理及诱导公式，可得：
，
化简得：，又，则.
又，则 ，.
因，则，，
则在MAC中，，解之：.
则，
则MAC中，边对应高，
则MAC面积．
2．（2023·河南·校联考模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则的值可为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角恒等变换结合条件可得，然后利用正弦定理可得，再通过换元法，构造函数利用导数研究函数的性质进而即得.
【详解】由题知，
则，
即，
因为，所以，则，
所以，则，为钝角，为锐角，
，
因为，则，则，则，
令，则，令，
则，
所以在上单调递减，又，则，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过三角恒等变换得到，然后利用边角互化及换元法把问题转化求函数最值，再利用导数即得.
3．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）已知中，角A，B，C对应的边分别为a、b、c，D是AB上的三等分点（靠近点A）且，，则的最大值是（ ）
A．B．
C．2D．4
【答案】A
【分析】由正余弦边角关系可得，进而有，设，则，且，利用正弦定理、和差角正弦公式得，即可求最大值.
【详解】由，则，即，
所以，，则，

设，则，且，
△中，则，
△中，则，
又，即，（为△的外接圆半径），
所以， 即，
又，故，时，.
故选：A
4．（2023·全国·高三专题练习）在非直角中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，是角的内角平分线，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理的角边化及余弦定理的推论，利用等面积法及三角形的面积公式，结合正余弦的二倍角公式及同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解.
【详解】由及正弦定理，得.
由余弦定理，得，
因为为非直角三角形，
所以，
所以，
因为是角的内角平分线，且，
所以由三角形的面积公式得，
所以，即，
因为，
所以，
所以,
所以，
,
.故选：B.
5．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据余弦定理和的面积公式，结合题意求出、的值，再用表示，求出的取值范围，即可求出的取值范围．
【详解】因为的面积为，
所以，
中，由余弦定理得，，
则，
因为，
所以,
又，，
所以，
化简得，
解得或（不合题意，舍去）；
因为，
所以，，
所以，
因为，
所以，
又因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，所以，
所以，
设，其中，
所以
，
又，
所以时，取得最大值为，
时，，时，，且，
所以，即的取值范围是，
故选：D．
二、多选题
6．（2023·山西阳泉·统考三模）设内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】由，得到或，推出，判断AB；由得到C正确；由三角函数的单调性结合导数得到D正确.
【详解】因为中，，所以或，
当时，，由于无意义，A错误；
当时，，
此时，故，B正确；
因为，所以，由大角对大边，得，C正确；
因为，所以，
即，
令，，
则，所以单调递减，
又，，所以，
所以，所以，故D正确.
故选：BCD.
7．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知的三个内角所对边的长分别为，若，则下列正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．若是边上的一点，且，，则的面积的最大值为
C．若是锐角三角形，则的取值范围是
D．若平分交点，且，则的最小值为
【答案】BCD
【分析】根据正弦定理和余弦定理变形求出.对于A，将化为关于的三角函数，根据的范围可求出的范围；对于B，根据两边平方得到，利用基本不等式得，再由面积公式可得的面积的最大值；对于C，由锐角三角形得，由正弦定理将化为的三角函数可求出的范围；对于D，根据，得，再根据基本不等式可得的最小值.
【详解】由及正弦定理得，
，得，
得，得，
因为，所以.
对于A，
，
因为，所以，，
所以，故A不正确；
对于B，因为，所以，
所以，
所以，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，所以.故B正确；
对于C，因为三角形为锐角三角形，所以，得，
所以，
因为，所以，
所以，故C正确；
对于D，因为平分交点，且，
所以，所以，
所以，所以，
所以，
当且仅当时，又，即，时，等号成立.故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：D中利用三角形的面积关系推出是解题关键.
三、填空题
8．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知的面积S满足，则角A的值为______．
【答案】
【分析】根据余弦定理和三角形面积公式化简已知条件，得
求解可得角A的值.
【详解】由已知得，
根据余弦定理和三角形面积公式，
得，
化简为，
由于，所以，
化简得，
即 ，
解得，或（舍），
由于，所以.
故答案为：
9．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）记锐角三角形的内角的对边分别为，若，则的取值范围为__________.
【答案】
【分析】由正弦边角关系及锐角三角形内角的性质可得且，将目标式化边为角，结合三角恒等变换有，应用基本不等式及分式型函数性质求范围即可.
【详解】由正弦边角关系知：，
所以，故或（舍），则，
而，，则，且，
又，
则，
令，则，仅当时等号成立，
当时，，当时，，
综上，.
故答案为：
【点睛】关键点睛：根据已知条件，应用正弦定理边角关系求得且是关键.
四、解答题
10．（2023·全国·高三专题练习）在中，.
(1)求A；
(2)若的内切圆半径，求的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据已知条件、三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，再结合解三角方程即可求解.
（2）由题意可知，利用三角形的等面积法及余弦
定理得出含有和的关系式，再利用基本不等式的变形即可求得的最小值.
【详解】（1）在中,，
整理得，即
，于是
所以，
因为，所以，即
，
所以，又因为，所以，
所以，解得.
所以.
（2）令，（1）知.
由，得
，即，
由余弦定理及（1）知，得
，
所以，
即，
于是
当且仅当时取等号
所以，
或
又的内切圆半径，， ，
，的最小值为.
11．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
(1)求证：存在，使得；
(2)求面积S的最大值.
【答案】(1)证明过程见解析；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换即可证明；
（2）将的面积用角表示出来，进而求出最大值.
【详解】（1）证明：由，可得：
由正弦定理得：
所以
所以
即
所以或者
即或者
当时，符合题意
此时令，得：
所以存在，使得
（2）解：由（1）知或者，，
①当时，
对求导得：
因为，所以在三角形中，，且
令得：
在时，
在时，
所以当，时，，取得最大值；
②当时，
当时，，取得最大值.
所以面积的最大值为.
【点睛】思路点睛：本题第二问利用三角形的面积公式将面积表示出来，再分别对和两种情况进行讨论，进而利用导数或三角函数求最值.