（新高考通用）2024年高考数学【讲义】高频考点题型归纳与方法总结 分层作业02 常用逻辑用语（精练：基础+重难点）（原卷版+解析）

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【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．命题，的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．命题为假命题，则的取值范围是（ ）
A．B．
C． D．
5．已知命题，，若为真命题，则a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
6．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．不等式（）恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≥1B．a＞1C．D．a＞2
8．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．已知是两条不同直线，若平面，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题
10．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是__________．
11．若命题“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是_________.
12．已知条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______．
13．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象.则“”是“函数为偶函数”的________条件，（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中选填一个）
14．已知角是的内角，则“”是“”的__________条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．
15．已知命题，，则是成立的_______条件.（从充分不必要、必要不充分、既不充分有不必要、充要条件中选一个填）
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．某同学连续抛掷一枚硬币若干次，若正面朝上则写下1，反面朝上则写下0，于是得到一组数据.记命题：“这组数据的中位数是”，命题：“这组数据的标准差为”，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4．下列说法正确的有（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“，”的否定是“，”
C．若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是
D．设，则“”的充要条件是“a，b都不为1”
5．下列说法正确的有（ ）
A．设，，若，则实数a的取值范围是
B．“，”是“”成立的充分条件
C．命题p：，，则：，
D．“”是“函数是R上的单调增函数”的必要不充分条件
三、填空题
6．命题“”为真，则实数a的范围是__________
7．已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为________．
8．若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是___________.
9．“”是“直线与直线相互垂直”的______条件．
10．若“存在x∈[﹣1，1]，成立”为真命题，则a的取值范围是___．
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．已知成立, 函数是减函数, 则是的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知函数的定义域为，则“”是“是周期为2的周期函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件D．充要条件
二、多选题
3．已知定义在上的函数，对于给定集合，若，当时都有，则称是“封闭”函数.则下列命题正确的是（ ）
A．是“封闭”函数
B．定义在上的函数都是“封闭”函数
C．若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数
D．若是“封闭”函数，则不一定是“封闭”函数
4．同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数），对于函数以下结论正确的是（ ）
A．是函数为偶函数的充分不必要条件；
B．是函数为奇函数的充要条件；
C．如果，那么为单调函数；
D．如果，那么函数存在极值点.
三、填空题
5．若命题“，使得成立．”为假命题，则实数的最大值为__________．
6．已知不等式的解集为A，的解集为B，若“”是“”的充分不必要条件，那么实数m的取值范围是________.
2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第02讲 常用逻辑用语（精练）
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.
【详解】解：由全称命题的否定是存在量词命题，
所以命题“，”的否定是“，”，
故选：C．
2．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题可得恒成立，由即可求出.
【详解】因为命题“，使”是假命题，
所以恒成立，所以，解得，
故实数的取值范围是．
故选：B．
3．命题，的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据全称命题的否定形式，即得解
【详解】根据全称命题的否定形式，命题，的否定是：，.
故选：C
4．命题为假命题，则的取值范围是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次型不等式恒成立求解即可．
【详解】为假命题，则为真命题，则当时，显然满足，
当时，，
故选：
5．已知命题，，若为真命题，则a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据全称命题的否定得到，然后将存在问题转化为最值问题，求出即可.
【详解】：，，因为为真命题，则，即.
故选：C.
6．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据圆与圆的位置关系、充分和必要条件的知识确定正确答案.
【详解】因为圆内切于圆，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
7．不等式（）恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≥1B．a＞1C．D．a＞2
【答案】D
【分析】先求得不等式（）恒成立的充要条件，再找其充分不必要条件.
【详解】不等式（）恒成立，显然不成立，
故应满足 ，解得，所以不等式（）恒成立的充要条件是，A、C选项不能推出，B选项是它的充要条件，可以推出，但反之不成立，故是的充分不必要条件.
故选：D
8．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】不等式可化为或，
所以“”可以推出“”，
所以“”是“”的充分条件，
又“”不能推出“”，
所以“”不是“”的必要条件，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
9．已知是两条不同直线，若平面，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据空间中直线与平面的位置关系即可判断充分性与必要性是否成立，即可得答案.
【详解】若平面，，则或，故充分性不成立；
若平面，，则或相交或异面，故必要性不成立；
所以若平面，则“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
二、填空题
10．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【分析】转化为命题的否定是真命题后求解
【详解】由题意得“”为真命题，故，
故答案为：
11．若命题“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【分析】由题意可知，命题“，使得成立”是真命题，可得出，结合基本不等式可解得实数的取值范围．
【详解】若命题“，使得成立”是假命题，
则有“，使得成立”是真命题.
即，则，
又，当且仅当时取等号，故．
故答案为：
12．已知条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】条件p:lg2(1−x)<0，∴0<1−x<1，解得0条件q:x>a，
若p是q的充分不必要条件，
根据包含关系可得a⩽0.
则实数a的取值范围是：(−∞,0].
故答案为(−∞,0].
13．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象.则“”是“函数为偶函数”的________条件，（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中选填一个）
【答案】充分不必要
【分析】先由题意得到，结合充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.
【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位，可得的图像，
当时，可得，显然为偶函数，
所以“”是“函数为偶函数”的充分条件；
若函数为偶函数，则，
即，不能推出，
所以“”不是“函数为偶函数”的必要条件，
因此“”是“函数为偶函数”的充分不必要条件.
故答案为充分不必要
【点睛】本题主要考查命题的充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.
14．已知角是的内角，则“”是“”的__________条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．
【答案】充分不必要
【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数值判断即可．
【详解】解：因为为的内角，则，
若命题成立，则，即；
若命题成立，又由，则或；则或，
因此由可以推得成立，由推不出，
即是的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
【点睛】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属基础题．
15．已知命题，，则是成立的_______条件.（从充分不必要、必要不充分、既不充分有不必要、充要条件中选一个填）
【答案】必要不充分
【分析】首先求出命题中的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可；
【详解】解：由：，解得，
因为
所以是成立的必要不充分条件
故答案为：必要不充分
【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，属于基础题.
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据的特征，设函数，并判断其单调性，由此判断“”可推出“”，举反例说明反推不成立，可得答案.
【详解】设函数，
则，
即为单调增函数，则，
即得，
所以当时，成立，
当时，，但推不出成立，
故“”是“”的充分而不必要条件，
故选：A
2．某同学连续抛掷一枚硬币若干次，若正面朝上则写下1，反面朝上则写下0，于是得到一组数据.记命题：“这组数据的中位数是”，命题：“这组数据的标准差为”，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】充分性由中位数分析必须抛偶数次，且正反次数相同，即可得出这组数据的标准差；
必要性由设出掷硬币的次数次，其中正面朝上则写下1的有次，即可得出这组数据的平均数，根据已知与标准差公式列出等式，解出，即可得出这组数据的中位数；
再综合即可得出答案.
【详解】根据某同学连续抛掷一枚硬币若干次，若正面朝上则写下1，反面朝上则写下0，于是得到一组数据，
若想这组数据的中位数是，
则必须抛偶数次，且正反次数相同，
则此时这组数据的平均数，
则这组数据中，
则这组数据的标准差，
即是的充分条件；
设某同学连续抛掷一枚硬币次，其中正面朝上则写下1的有次，
则此时这组数据的平均数，
若这组数据的标准差是，
则这组数据的标准差，
化简得，解得，
则这位同学连续抛掷一枚硬币次，其中有一半为正面朝上，一半为反面朝上，
则这组数据的中位数是，
即是的必要条件；
综上所述：是的充要条件，
故选：C.
3．使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出使得函数在区间上单调递减时的范围，结合充分性、必要性的定义即可得出答案.
【详解】由函数在区间上单调递减，
得在区间上单调递减，
所以，解得.
结合A，B，C，D四个选项，知使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是.
故选：C.
二、多选题
4．下列说法正确的有（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“，”的否定是“，”
C．若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是
D．设，则“”的充要条件是“a，b都不为1”
【答案】BCD
【分析】根据充分必要条件的定义判断AD、命题的否定的定义B，由不等式恒成立判断C．
【详解】，可取，，此时，“”
∴“”不是“”的充分条件，A错．
命题“，”，否定“，”，B对．
命题“，”是真命题，∴，C对．
若，即，即，
则，，充分．
若，，则，则，必要，
∴“”是“a，b都为1”的充要条件，D对．
故选：BCD．
5．下列说法正确的有（ ）
A．设，，若，则实数a的取值范围是
B．“，”是“”成立的充分条件
C．命题p：，，则：，
D．“”是“函数是R上的单调增函数”的必要不充分条件
【答案】BD
【分析】分与两种情况讨论，求出参数的范围，即可判断A，根据不等式的性质及充分条件的定义判断B，根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断C，求出函数的导数，由恒成立求出的取值范围，再根据集合的包含关系判断D即可；
【详解】解：对于A：当，即，解得时满足，
当，因为，所以，解得，综上可得，故A错误；
对于B：由，则，故“，”是“”成立的充分条件，即B正确；
对于C：命题p：，，则：，，故C错误；
对于D：因为，所以，若在上单调递增，
则恒成立，所以，解得，因为，
所以“”是“函数是R上的单调增函数”的必要不充分条件，故D正确；
故选：BD
三、填空题
6．命题“”为真，则实数a的范围是__________
【答案】
【分析】将问题转化为“不等式对恒成立”，由此对进行分类讨论求解出的取值范围.
【详解】由题意知：不等式对恒成立，
当时，可得，恒成立满足；
当时，若不等式恒成立则需，解得，
所以的取值范围是，
故答案为：.
【点睛】思路点睛：形如的不等式恒成立问题的分析思路：
（1）先分析的情况；
（2）再分析，并结合与的关系求解出参数范围；
（3）综合（1）（2）求解出最终结果.
7．已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为________．
【答案】
【分析】求函数的值域求得集合，根据“”是“”的充分条件列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】函数的对称轴为，开口向上，
所以函数在上递增，
当时，；当时，.
所以.
，
由于“”是“”的充分条件，
所以，，
解得或，
所以的取值范围是.
故答案为：
8．若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据含绝对值不等式的解法，求解不等式的解集，结合充分条件，列出关系式，即可求解.
【详解】由不等式，
当时，不等式的解集为空集，显然不成立；
当时，不等式，可得，
要使得不等式的一个充分条件为，则满足，
所以，即
∴实数a的取值范围是.
故答案为：.
9．“”是“直线与直线相互垂直”的______条件．
【答案】充分不必要
【分析】根据直线垂直的等价条件结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】若，直线的斜率，直线的斜率，则两条直线垂直，即充分性成立，
当，两条直线方程为，和，则两条直线垂直；
当，直线的斜率，直线的斜率，满足两直线垂直，故必要性不成立，
所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分不必要条件
故答案为：充分不必要
10．若“存在x∈[﹣1，1]，成立”为真命题，则a的取值范围是___．
【答案】
【解析】转化为在上有解，不等式右边构造函数，利用单调性求出最大值即可得解.
【详解】存在x∈[﹣1，1]，成立，即在上有解，
设，，
易得y＝f(x)在[﹣1，1]为减函数，
所以，即，即，
即，所以，
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：将问题转化为在上有解进行求解是解题关键.
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．已知成立, 函数是减函数, 则是的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】 ，设，则
，可得在上单调递增，而 ，则；由函数是减函数，可知，故是的必要不充分条件
2．已知函数的定义域为，则“”是“是周期为2的周期函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件D．充要条件
【答案】A
【分析】通过可以得出，反过来不可以，反例见详解.
【详解】由得，，
所以，，即.
所以“”是“是周期为2的周期函数”的充分条件.
如下图是一个周期为得函数，
得不出，
所以“”是“是周期为2的周期函数”的不必要条件.
所以“”是“是周期为2的周期函数”的充分不必要条件.
故选：A.
二、多选题
3．已知定义在上的函数，对于给定集合，若，当时都有，则称是“封闭”函数.则下列命题正确的是（ ）
A．是“封闭”函数
B．定义在上的函数都是“封闭”函数
C．若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数
D．若是“封闭”函数，则不一定是“封闭”函数
【答案】BC
【分析】A特殊值判断即可；B根据定义及函数的性质即可判断；C根据定义得到都有，再判断所给定区间里是否有成立即可判断，D选项可判断出其逆否命题的正误，得到D选项的正误.
【详解】A：当时，，而，A错误；
B：对于区间，使，即，必有，
所以定义在上的函数都是“封闭”函数，B正确；
C：对于区间，使，则，
而是“封闭”函数，则，即都有，
对于区间，使，则，，
而，，...，，
所以，
即，故，一定是“封闭”函数，C正确；
D选项，其逆否命题为，若是“封闭”函数，则不是“封闭”函数，只需判断出其逆否命题的正误即可，
使，则，
若，则，
由解得，因为，所以，
即使，则，
满足是“封闭”函数，
故逆否命题为假命题，故原命题也时假命题，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：对于C，根据给定的条件得到都有，有恒成立，利用递推关系及新定义判断正误.
4．同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数），对于函数以下结论正确的是（ ）
A．是函数为偶函数的充分不必要条件；
B．是函数为奇函数的充要条件；
C．如果，那么为单调函数；
D．如果，那么函数存在极值点.
【答案】BCD
【分析】根据奇偶函数的定义、充分条件和必要条件的定义即可判断AB；利用导数，分类讨论函数的单调性，结合极值点的概念即可判断CD.
【详解】对于A，当时，函数定义域为R关于原点对称，
，故函数为偶函数；
当函数为偶函数时，，故，
即，又，故，
所以是函数为偶函数的充要条件，故A错误；
对于B，当时，函数定义域为R关于原点对称，
，故函数为奇函数，
当函数为奇函数时，，
因为，，故.
所以是函数为奇函数的充要条件，故B正确；
对于C，，因为，
若，则恒成立，则为单调递增函数，
若则恒成立，则为单调递减函数，
故，函数为单调函数，故C正确；
对于D，，
令得，又，
若，
当，，函数为单调递减.
当，，函数为单调递增.函数存在唯一的极小值.
若，
当，，函数为单调递增.
当，，函数为单调递减.故函数存在唯一的极大值.
所以函数存在极值点，故D正确.
故答案为：BCD.
三、填空题
5．若命题“，使得成立．”为假命题，则实数的最大值为__________．
【答案】
【分析】由题意得知命题“，成立”，且满足不等式，由不等式，变形得出，构造函数，利用导数求出函数在区间上的最小值，可得出实数的最大值.
【详解】由题意得知命题“，成立”.
（1）当时，不等式成立；
（2）当时，由，得，不等式两边取自然对数得，
，构造函数，其中.
，令，得，当时，.
所以，函数在区间上单调递减，则，.
因此，实数的最大值为.
故答案为.
【点睛】本题考查利用命题的真假求参数，同时也考查了利用导数研究不等式恒成立问题，解题的关键就是利用参变量分离思想转化为函数的最值来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
6．已知不等式的解集为A，的解集为B，若“”是“”的充分不必要条件，那么实数m的取值范围是________.
【答案】
【解析】计算得到，根据题意得到A⊆B，设，得到
，计算能得到答案.
【详解】等式的解集为A，则，“”是“”的充分不必要条件，则A⊆B.
设，则 解得
故答案为：
【点睛】本题考查了根据充分不必要条件求参数，转化为A⊆B是解题的关键.