（新高考通用）2024年高考数学【讲义】高频考点题型归纳与方法总结 第25讲 解三角形（精讲）（原卷版+解析）

这是一份（新高考通用）2024年高考数学【讲义】高频考点题型归纳与方法总结 第25讲 解三角形（精讲）（原卷版+解析），共79页。试卷主要包含了知识点梳理，公式的相关应用，解三角形的实际应用，解答题等内容，欢迎下载使用。

题型目录一览
一、知识点梳理
一、正余弦定理和面积公式
（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
（2）面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
二、公式的相关应用
（1）正弦定理的应用
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①边化角，角化边
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②大边对大角 大角对大边
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③合分比：
（2）内角和定理：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③在中，内角成等差数列.
三、解三角形的实际应用
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
（4）坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
【常用结论】
1.解三角形多解情况
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
2.（1）在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”
（2）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（3）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.
二、题型分类精讲
题型一 正弦、余弦定理的应用
策略方法 正余弦定理解三角形
(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，可先求出角C及b，再求出c．
(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccs A，先求出a，再求出角B，C．
(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C．
(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)可求出c，而通过eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．
【典例1】（单选题）的内角的对边分别为，若，则（ ）
A．B．C．或D．或
【典例2】（单选题）在中，角、、的对边分别为、、．若，则（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（单选题）在中，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）在中，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）在中，若，则最大角和最小角之和为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）设△的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3a=b，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则A＝（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则c＝（ ）
A．4B．6C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）在中，内角的对边分别为，且满足，若，则外接圆的半径长为（ ）
A．B．1C．D．
8．（2023·河南·襄城高中校联考三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，，则（ ）
A．B．C．8D．4
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，能使的形状唯一确定的有（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，下列命题中，正确的是（ ）
A．在△ABC中，若sin A=sin B，则A=B
B．在△ABC中，若BC=5，sin C=2sin A，则AB=25
C．在△ABC中，若sin 2A=sin 2B，则a=b
D．在△ABC中，asinA=b+csinB+sinC
三、填空题
11．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，则___________．
12．（2023·全国·高三专题练习）的内角A，B，C的对边分别为A，b，c，若，则__________．
13．（2023·上海嘉定·校考三模）在中，已知，则角的大小为__________.
14．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知在中，它的内角的对边分别为，若，则_________．
15．（2023·陕西西安·统考一模）在中，，则___________.
16．（2023春·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）如图，在中，若，D为边上一点，，，，则__________．

四、解答题
17．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A的大小；
(2)若， ，求BC边上高的长.
18．（2023·广东东莞·校考三模）在中，内角，，所对的边分别为，，.已知.
(1)求角的大小；
(2)设，，求的值.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
20．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，已知
(1)求角的大小；
(2)若，，求边及的值．
题型二 解三角形面积问题
策略方法
1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
【典例1】（单选题）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）在中，，且，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河南·校联考模拟预测）在中，角所对的边分别为 ，，且的面积为，若，则（ ）
A．B．5C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为，，，则（ ）
A．4B．C．8D．
4．（2023·河南开封·统考三模）在中，，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b＝2c，，则a=（ ）
A．13B．2C．D．
6．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）在中，，则边上的高等于（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·西藏拉萨·统考一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（ ）
A．B．C．12D．16
二、多选题
8．（2023·全国·高三专题练习）（多选）分别为内角的对边，已知，且，则（ ）
A．B．
C．的周长为D．的面积为
9．（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则（ ）
A．
B．若，则
C．若，，则
D．若，则的面积的最小值为
三、填空题
10．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）的内角，，所对边分别为，，，若，，，则的面积为______.
11．（2023·北京海淀·北航实验学校校考三模）已知中，，且，则的面积是________．
12．（2023·北京东城·统考模拟预测）在中，，，，则______.
13．（2023·全国·高三专题练习）的内角的对边分别为，若，，外接圆的周长为，则的面积为______．
14．（2023·全国·高三专题练习）在中，，D为BC边上的中点且AD＝4，则面积的最大值为______．
四、解答题
15．（2023·全国·高三专题练习）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
16．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.
(1)求B；
(2)D为AC的中点，,求的面积.
17．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)求；
(2)若，，求的面积.
18．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在中，角的对边分别是，且.
(1)求角；
(2)若的中线长为，求面积的最大值.
题型三 判断三角形形状
策略方法
1．判定三角形形状的两种常用途径
2．判定三角形的形状的注意点
在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
【典例1】（单选题）中，若，且，那么是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）在中，若，则一定是（ ）
A．正三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰三角形
2．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）记的内角的对边分别为，，，若，则为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
3．（2023·高三课时练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则为（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等边三角形
4．（2023·甘肃酒泉·统考三模）在中内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
5．（2023·全国·高三专题练习）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
6．（2023·青海西宁·统考二模）在和中，若，，则（ ）
A．与均是锐角三角形
B．与均是钝角三角形
C．是钝角三角形，是锐角三角形
D．是锐角三角形，是钝角三角形
二、多选题
7．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）在中，内角、、的对边分别是、、，下列结论正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为等腰三角形
C．若，，则为等边三角形
D．若，，，则有两解
8．（2023·全国·高三专题练习）已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，则是锐角三角形
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若，则是等边三角形
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）对于，有如下四个命题:
①若 ，则为等腰三角形，
②若，则是直角三角形
③若，则是钝角三角形
④若，则是等边三角形.
其中正确的命题序号是_________
四、解答题
10．（2023·上海虹口·统考一模）设的内角 所对的边分别为 ，已知．
(1)求角A；
(2)若，求证：是直角三角形．
11．（2023·全国·高三专题练习）在中，．
(1)若，判断的形状；
(2)求的最大值．
题型四 解三角形与三角函数综合
【典例1】已知函数，为奇函数，其图像相邻的对称轴之间的距离为．
(1)求函数的解析式及其减区间；
(2)在中，角A、B、C对应的边为a、b、c，若，，，求．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，则实数的最大值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（2023·全国·高三专题练习）在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为___________.
4．（2023·全国·高三专题练习）锐角中，，角A的角平分线交于点， ,则 的取值范围为_________.
三、解答题
5．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）在凸四边形中，.
(1)若.求的长；
(2)若四边形有外接圆，求的最大值.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
8．（2023·陕西榆林·统考三模）已知分别为的内角所对的边，，且．
(1)求；
(2)求的取值范围．
9．（2023·湖南·模拟预测）已知函数.
(1)求函数的定义域和值域；
(2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值.
10．（2023·全国·模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求A；
(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．
题型五 解三角形的实际应用
策略方法 解三角形的实际应用
【典例1】（单选题）塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑.如图，为测量某塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为（ ）

A．B．
C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）如图，有一古塔，在A点测得塔底位于北偏东方向上的点D处，在A点测得塔顶C的仰角为，在A的正东方向且距D点30m的B点测得塔底位于西偏北方向上（A，B，D在同一水平面），则塔的高度CD约为（，）（ ）

A．17.32mB．14.14mC．10.98mD．6.21m
2．（2023·四川·校考模拟预测）如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，则山高（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）锦州古塔坐落在大广济寺前，是辽宁省级文物.据明嘉靖碑文（宣大巡抚文贵撰）载：金代的中靖大夫高琏曾写过《塔记》说，塔建于辽道宗清宁三年（1057年），是为收藏皇后所降的舍利子而建.塔是砖实心密檐式，现高57米.塔身八面，每面雕有一佛胁侍，三个宝盖和两位飞天.飞天翱翔于上，大佛端坐龛中，胁待肃立龛旁.下面是古塔的示意图，游客（视为质点）从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线DB前进64米达到E点，此时看点C点的仰角为45°，若，则该八角观音塔的高AB约为（ ）（）

A．63米B．61米C．57米D．54米
4．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M，N间架设一条索道．为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度，在BC同一水平面上选一点A，测得M点的仰角为，N点的人仰角为，以及， 则M，N间的距离为（ ）

A．B．120mC．D．200m
5．（2023·全国·高三专题练习）圣·索菲亚教堂（英语： SAINTSOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位. 其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）
A．20mB．30mC． mD． m
二、多选题
6．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．A、D之间的距离为海里
C．A、B两处岛屿间的距离为海里
D．B、D之间的距离为海里
7．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市实验中学校联考阶段练习）在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点处测得河对岸点位于点的南偏西的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点，，，使点，，共线，点位于点的正西方向上，点位于点的正东方向上，测得，，，，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是（ ）
A．B．的面积为
C．D．点在点的北偏西方向上
三、填空题
8．（2023·重庆·统考模拟预测）如图，某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山脚处测得山顶处的仰角为，又利用无人机在离地面高的处（即），观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，则山高_________m．

9．（2023·江西·校联考模拟预测）中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算山高的问题（如图1）：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何?假设古代有类似的一个问题，如图2，要测量海岛上一座山峰的高度AH，立两根高48丈的标杆BC和DE，两竿相距BD=800步，D，B，H三点共线且在同一水平面上，从点B退行100步到点F，此时A，C，F三点共线，从点D退行120步到点G，此时A，E，G三点也共线，则山峰的高度AH=_________步.（古制单位:180丈=300步）

10．（2023·全国·高三专题练习）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为______米.
四、解答题
11．（2023·河北沧州·统考三模）汾阳文峰塔建于明末清初，位于山西省汾阳市城区以东2公里的建昌村，该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位于中国砖结构古塔之首.如图，某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的三个测量基点C，D，E，现测得，，，，，在点C测得塔顶A的仰角为.参考数据：取，，.

(1)求；
(2)求塔高（结果精确到1m）.
12．（2023·全国·高三专题练习）为了测量隧道口、间的距离，开车从点出发，沿正西方向行驶米到达点，然后从点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达点，再从点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口点处，测得间的距离为1000米.
(1)若隧道口在点的北偏东度的方向上，求的值；
(2)求隧道口间的距离.
13．（2023·全国·高三专题练习）“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子·离娄章句上》．“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具。有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点都在圆周上，角的对边分别为，，，满足
(1)求；
(2)若的面积为，且，求的周长
2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第25讲 解三角形（精讲）
题型目录一览
一、知识点梳理
一、正余弦定理和面积公式
（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
（2）面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
二、公式的相关应用
（1）正弦定理的应用
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①边化角，角化边
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②大边对大角 大角对大边
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③合分比：
（2）内角和定理：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③在中，内角成等差数列.
三、解三角形的实际应用
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
（4）坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
【常用结论】
1.解三角形多解情况
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
2.（1）在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”
（2）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（3）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.
二、题型分类精讲
题型一 正弦、余弦定理的应用
策略方法 正余弦定理解三角形
(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，可先求出角C及b，再求出c．
(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccs A，先求出a，再求出角B，C．
(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C．
(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)可求出c，而通过eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．
【典例1】（单选题）的内角的对边分别为，若，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】利用正弦定理以及大边对大角即可求解．
【详解】因为，
则由正弦定理可得：，
又，且，
所以或．
故选：．
【典例2】（单选题）在中，角、、的对边分别为、、．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求得的值.
【详解】因为，由正弦定理可得，
设，则，，
由余弦定理可得.
故选：D.
【典例3】（单选题）在中，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合正弦定理求得，再由余弦定理，即可求解.
【详解】因为，由正弦定理可得，且，
由余弦定理可得：.
故选：C．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.
【详解】因为，
所以由正弦定理得，即，
则，故，
又，所以.
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）在中，若，则最大角和最小角之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理，推出三条边的比值，通过余弦定理求解中间角的大小，即可得出结果.
【详解】由正弦定理得，
，
所以最大角为，最小角为，
所以设，，
则由余弦定理得，
，
又，所以，.
故选：D
3．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）设△的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3a=b，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用正弦定理求得的值，再利用二倍角的余弦公式即可求得的值.
【详解】由正弦定理可知，

故选：B.
4．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则A＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由正弦定理得到，利用余弦定理得到，求出答案.
【详解】，由正弦定理得，
因为，所以由余弦定理得，
因为，所以.
故选：B
5．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则c＝（ ）
A．4B．6C．D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理化边为角有，再利用两角和与差的正弦公式有，再利用正弦定理进行化角为边有.
【详解】因为，根据正弦定理得
，
移项得，
即，即，
则根据正弦定理有．
故选：D.
6．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值.
【详解】由题意结合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
据此可得，
则.
故选：C.
7．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）在中，内角的对边分别为，且满足，若，则外接圆的半径长为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】由余弦定理结合题意可得出，再由正弦定理即可求出外接圆的半径长.
【详解】由可得，
再由余弦定理可得：，
故，因为，所以
则.
故选：B.
8．（2023·河南·襄城高中校联考三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，，则（ ）
A．B．C．8D．4
【答案】D
【分析】由可得，求出，利用正弦定理可得答案.
【详解】在中，由可得，
即
所以，因为，
所以，且，
所以，又，可得，
由正弦定理可得．
故选：D.
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，能使的形状唯一确定的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用余弦定理可判断A；利用正弦定理可判断B、D；利用三角形的内角和以及正弦定理可判断C.
【详解】对于A，由余弦定理可得，解得，故A正确；
对于B，根据正弦定理：，可得，
又因为，所以，所以或，故B不正确；
对于C，由三角形的内角和可知，又 ，利用正弦定理，可知均有唯一值，故C正确；
对于D，根据正弦定理：，可得，
又因为，所以，所以只能是锐角，故D正确；
故选：ACD
10．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，下列命题中，正确的是（ ）
A．在中，若，则
B．在中，若，，则
C．在中，若，则
D．在中，
【答案】ABD
【分析】利用正弦定理边角互化计算判断ABD；由sin2A=sin 2B确定角A，B的关系判断C作答.
【详解】在△ABC中，由sinA=sinB及正弦定理得：a=b，因此A=B，A正确；
在△ABC中，由sinC=2sinA及正弦定理得：AB=2BC=25，B正确；
在△ABC中，0则有2A=2B或2A+2B=π，即有A=B或A+B=π2，当A=B时，a=b，
当A+B=π2时，a与b不一定相等，C错误；
令R为△ABC外接圆半径，则asinA=bsinB=csinC=2R，于是b+csinB+sinC=2RsinB+2RsinCsinB+sinC=2R=asinA，D正确.
故选：ABD
三、填空题
11．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，则___________．
【答案】
【分析】根据同角的三角函数关系求得，利用两角和的正弦公式求得，再用正弦定理即可求得答案.
【详解】在中，，则，
故，
故由正弦定理得,
故答案为：
12．（2023·全国·高三专题练习）的内角A，B，C的对边分别为A，b，c，若，则__________．
【答案】
【分析】利用三角函数的定义及正弦定理即可求解.
【详解】因为，
所以
根据正弦定理可得,即，所以.
故答案为：.
13．（2023·上海嘉定·校考三模）在中，已知，则角的大小为__________.
【答案】
【分析】利用正弦定理化边为角，再结合二倍角的正弦公式即可得解.
【详解】因为，
由正弦定理得，即，
又因为，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
14．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知在中，它的内角的对边分别为，若，则_________．
【答案】
【分析】利用正弦定理和余弦定理进行边角转化，可得到，代入即可求解.
【详解】由，可得，化简得，
又∵，∴，
故答案为：
15．（2023·陕西西安·统考一模）在中，，则___________.
【答案】
【分析】先利用正弦定理化角为边求出边，再利用余弦定理即可得解.
【详解】因为，所以，
所以，
由余弦定理.
故答案为：.
16．（2023春·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）如图，在中，若，D为边上一点，，，，则__________．

【答案】6
【分析】利用正弦定理解出，再利用，结合余弦定理即可求出结果.
【详解】中，由正弦定理得，
，则，
设，则，
又中，由余弦定理得
．
在中，由余弦定理得
，
又因为，
即：，
则，
故．
故答案为：6.
四、解答题
17．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A的大小；
(2)若， ，求BC边上高的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角变换可得答案；
（2）利用余弦定理求出边，根据面积相等可得答案.
【详解】（1）∵，∴，
∴，
即.
又∵，，∴，.
（2）设BC边上的高为h，∵，即，解得 ，
∴，解得，即BC边上的高为 .
18．（2023·广东东莞·校考三模）在中，内角，，所对的边分别为，，.已知.
(1)求角的大小；
(2)设，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用正弦定理求解；
（2）运用两角差公式求解.
【详解】（1）在中，由正弦定理得：，
因为，所以，可得，
即，，又，可得；
（2）在中，由余弦定理得：，
由，以及，可得，
因为，所以A是锐角，所以，
因此，，
所以，，
综上，，.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可.
【详解】（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
20．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，已知
(1)求角的大小；
(2)若，，求边及的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可求，根据角的范围即可求解的值；
（2）由已知利用正弦定理可得的值，利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用二倍角公式可求，的值，由余弦定理可得，解方程可求的值，利用两角和的余弦公式即可求解的值．
【详解】（1）因为，可得，
所以由正弦定理可得，
又为三角形内角，，
所以，
因为，，，
所以，可得，
所以；
（2）因为，，，
所以由正弦定理，可得，
所以为锐角，，，，
由余弦定理，可得，
整理可得，解得或（舍去），
所以．
题型二 解三角形面积问题
策略方法
1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
【典例1】（单选题）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出边长a，再判断三角形形状，求出面积作答.
【详解】在中，由正弦定理得：，因此，
则，而，即有是正三角形，
所以的面积.
故选：B
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）在中，，且，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量的数量积公式得，再根据三角形面积公式计算即可.
【详解】由，
故.
故选：A
2．（2023·河南·校联考模拟预测）在中，角所对的边分别为 ，，且的面积为，若，则（ ）
A．B．5C．D．
【答案】A
【分析】根据三角形面积可推出，利用余弦定理即可求得答案.
【详解】由于,，故有，解得，
又，则,
故选：A．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为，，，则（ ）
A．4B．C．8D．
【答案】B
【分析】由已知利用三角形面积公式可求，结合利用余弦定理求出边.
【详解】解：，的面积为，∴，
又，由余弦定理，
，可得： .
故选：B
4．（2023·河南开封·统考三模）在中，，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用余弦定理求出的值，代入三角形面积公式即可求解.
【详解】在中，因为，，，
由余弦定理可得，，
即，所以，
解得，或（舍去），
所以，
故选：A.
5．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b＝2c，，则a=（ ）
A．13B．2C．D．
【答案】C
【分析】由三角形的面积公式可求出，再由余弦定理即可求出答案.
【详解】因为，因为，所以，
，解得：，
，由余弦定理可得：.
解得：.
故选：C.
6．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）在中，，则边上的高等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据余弦定理求，再得，利用的面积公式即可求边上的高.
【详解】在中，因为，
由余弦定理得
因为，所以
设边上的高为，则，

所以，即边上的高等于.
故选：B.
7．（2023·西藏拉萨·统考一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（ ）
A．B．C．12D．16
【答案】B
【分析】由正弦定理及两角和的正弦公式得，再利用余弦定理得，从而求出的面积.
【详解】由正弦定理及，得，
所以，
所以，
即，
所以.
由正弦定理得.
因为，所以，
又，所以由余弦定理得
，
解得，
所以的面积为.
故选：B.
二、多选题
8．（2023·全国·高三专题练习）（多选）分别为内角的对边，已知，且，则（ ）
A．B．
C．的周长为D．的面积为
【答案】ABD
【分析】由正弦定理得，即可判断A选项；由平方关系及商数关系即可判断B选项；先由余弦定理得，再求出周长即可判断C选项；先求得，再求面积即可判断D选项.
【详解】由正弦定理得，整理得，即，A正确；
由可得，则，B正确；
由余弦定理得，又，可得，
整理得，的周长为，C错误；
由上知：，，可得，
则的面积为，D正确.
故选：ABD.
9．（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则（ ）
A．
B．若，则
C．若，，则
D．若，则的面积的最小值为
【答案】BC
【分析】对于A选项，根据，由正弦定理求得判断；对于B选项，结合A选项，利用正弦定理求解判断；对于C选项，结合A选项，利用余弦定理求解判断；对于D选项，利用余弦定理结合基本不等式求解判断.
【详解】对于A选项，由正弦定理有，有，有，可得，故A选项错误；
对于B选项，由正弦定理有，有，故B选项正确；
对于C选项，由余弦定理有，有，代入，可得，故C选项正确；
对于D选项，由余弦定理有（当且仅当时取等号），有，故D选项错误．
故选：BC．
三、填空题
10．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）的内角，，所对边分别为，，，若，，，则的面积为______.
【答案】/
【分析】根据余弦定理计算，，再根据面积公式计算得到答案.
【详解】，，，则，
解得，，
.
故答案为：
11．（2023·北京海淀·北航实验学校校考三模）已知中，，且，则的面积是________．
【答案】3
【分析】根据给定条件，利用夹角公式求出，再利用三角形面积公式求解作答.
【详解】在中，，，
解得，而，因此，
所以的面积.
故答案为：3
12．（2023·北京东城·统考模拟预测）在中，，，，则______.
【答案】
【分析】由余弦定理求解，由同角函数基本关系求出，代入面积公式求解即可.
【详解】由余弦定理可得，
解得，则，
又，
所以.
故答案为：
13．（2023·全国·高三专题练习）的内角的对边分别为，若，，外接圆的周长为，则的面积为______．
【答案】2
【分析】根据正弦定理，依据题目中三角形外接圆的周长，求得边长，利用余弦定理，求得另一条边长，结合三角形面积公式，可得答案.
【详解】设外接圆的半径为R，则，由正弦定理可得，解得，
由余弦定理可得，解得（负值舍去），所以.
故答案为：.
14．（2023·全国·高三专题练习）在中，，D为BC边上的中点且AD＝4，则面积的最大值为______．
【答案】
【分析】先用表示，再由求模公式计算得，用基本不等式得，代入三角形面积公式即可求最大值.
【详解】如图，
设，由题可知，则，
所以，即，
又，当且仅当b＝c时等号成立，
解得，故.
故答案为：
四、解答题
15．（2023·全国·高三专题练习）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．
【详解】（1）因为，所以，解得：．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
16．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.
(1)求B；
(2)D为AC的中点，,求的面积.
【答案】(1)
(2)或,
【分析】（1）由诱导公式化简，再应用正弦定理，最后由余弦即可求出.
（2）由D为AC的中点，求出关系,可得，最后求出面积即可.
【详解】（1）
（2）D为AC的中点，,
,,
,,
或,
当时,，
时,
所以的面积为或.
17．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)求；
(2)若，，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理和两角和的正弦公式，诱导公式即可求解；
（2）根据余弦定理，面积公式，同角三角函数基本关系式即可求解.
【详解】（1）因为，
根据正弦定理，
，
所以，
因为在三角形中，则，所以，
所以，
则，即，所以，
又因为在三角形中，则，
所以，
又因为有意义，则，
所以，即.
（2），，，
由余弦定理得，
所以，则，即，
又，则，
所以的面积为.
18．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在中，角的对边分别是，且.
(1)求角；
(2)若的中线长为，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换计算即可；
（2）利用平面向量知，利用数量积与模关系及基本不等式可得，再根据面积公式求最值即可.
【详解】（1）在中，由正弦定理得：，
而，
所以，
化简得，
因为，所以，，
即，所以，
又因为，所以，即.
（2）由是的中线，，
所以，
即，所以，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以三角形面积，
即的面积的最大值为.
题型三 判断三角形形状
策略方法
1．判定三角形形状的两种常用途径
2．判定三角形的形状的注意点
在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
【典例1】（单选题）中，若，且，那么是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】利用正余弦定理边角化及两角和的正弦公式，结合三角形的内角和定理和三角函数的特殊值对应的特殊角即可求解.
【详解】由及正余弦定理，得，化简得，
将代入，得，即，
由及正弦定理，得,
因为,
所以，
所以，即，
所以，
故是等边三角形.
故选：B.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）在中，若，则一定是（ ）
A．正三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰三角形
【答案】D
【分析】由余弦定理化简计算即可.
【详解】由及余弦定理得：，即.
故选：D
2．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）记的内角的对边分别为，，，若，则为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】由已知条件和正弦定理得，再由角的范围得满足的关系.
【详解】由，得，
由正弦定理得，所以，
因为，所以或，
所以或.即是等腰或直角三角形.
故选：D.
3．（2023·高三课时练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则为（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等边三角形
【答案】A
【分析】根据题意，结合正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，得到，进而得到三角形的形状.
【详解】在中，因为，可得，
又因为，可得，
即，可得，
由，所以，所以，
所以为钝角三角形.
故选：A.
4．（2023·甘肃酒泉·统考三模）在中内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】由正弦定理，余弦定理化角为边，化简已知等式可得，即可判断的形状．
【详解】由正弦定理，余弦定理及得，
，即，
则，即
或为等腰三角形或直角三角形．
故选：D.
5．（2023·全国·高三专题练习）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
【答案】B
【分析】先利用余弦定理求出角，再根据正弦定理化角为边，再结合已知求出，即可得解.
【详解】因为，
所以，
又，所以，
因为，由正弦定理得，
则，
则，
所以为有一个角为的直角三角形.
故选：B.
6．（2023·青海西宁·统考二模）在和中，若，，则（ ）
A．与均是锐角三角形
B．与均是钝角三角形
C．是钝角三角形，是锐角三角形
D．是锐角三角形，是钝角三角形
【答案】D
【分析】根据题意，由三角形的正弦值一定大于零，即可判断是锐角三角形，然后再由，判断的形状即可得到结果.
【详解】在和中，因为，
所以均为锐角，即为锐角三角形.
另一方面，可得或
即，
所以为锐角或者钝角，
同理可得为锐角或者钝角，
但是中必然有一个为钝角，否则不成立，所以为钝角三角形.
故选:D
二、多选题
7．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）在中，内角、、的对边分别是、、，下列结论正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为等腰三角形
C．若，，则为等边三角形
D．若，，，则有两解
【答案】AC
【分析】利用正弦定理可判断A选项；利用正弦定理、二倍角公式可判断B选项；利用余弦定理可判断C选项；利用正弦定理求出的值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，若，由正弦定理可得，则，
所以，为等腰三角形，A对；
对于B选项，因为，由正弦定理可得，
因为、中至少有一个是锐角，则，
从而可知、均为锐角，由可得，
因为、，则、，所以，或，
所以，或，故为等腰三角形或直角三角形，B错；
对于C选项，因为，，
由余弦定理可得，即，
所以，，因此，为等边三角形，C对；
对于D选项，因为，，，
由正弦定理得，所以，不存在，D错.
故选：AC.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，则是锐角三角形
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若，则是等边三角形
【答案】ACD
【分析】由两角和的正切公式结合诱导公式以及，，为的内角可判断A；由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可判断B；由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式可判断C；利用正弦定理化边为角结合同角三角函数基本关系可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A，因为，所以，
所以，
因为，，为的内角，所以，，都是锐角，所以是锐角三角形，故选项A正确；
对于B：由及正弦定理，可得，
即，所以或，所以或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故选项B错；
对于C：由及正弦定理化边为角，
可知，即，
因为，为的内角，所以，所以是等腰三角形，故选项C正确；
对于D：由和正弦定理化边为角，易知，所以，因为，，为的内角，所以，所以是等边三角形，故选项D正确；
故选：ACD.
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）对于，有如下四个命题:
①若 ，则为等腰三角形，
②若，则是直角三角形
③若，则是钝角三角形
④若，则是等边三角形.
其中正确的命题序号是_________
【答案】③④
【分析】对于①可得或；②若可判断；③由正弦定理得，即，是钝角三角形；④由正弦定理知，进而，可判断.
【详解】解：对于①可推出或，故不正确；
②若，显然满足条件，但不是直角三角形；
③由正弦定理得，所以，是钝角三角形；
④由正弦定理知，由于半角都是锐角，所以，三角形是等边三角形.
故答案为：③④
四、解答题
10．（2023·上海虹口·统考一模）设的内角 所对的边分别为 ，已知．
(1)求角A；
(2)若，求证：是直角三角形．
【答案】(1)
(2)证明见解析．
【分析】（1）根据三角函数诱导公式以及二倍角公式，化简，即可求得答案；
（2）利用正弦定理边化角可得，结合两角和差的正余弦公式化简，求值，可得答案.
【详解】（1）由条件，得，
即，亦即，
故，因为，所以．
（2）证明：由正弦定理及得，
由（1）知，故，于是，
则，即，
因，故，又，
从而，
所以，则，
因此是直角三角形．
11．（2023·全国·高三专题练习）在中，．
(1)若，判断的形状；
(2)求的最大值．
【答案】(1)是直角三角形
(2)
【分析】（1）利用正弦定理把化为，再利用余弦定理可得，再由，即可求出，，代入正弦的和角公式可知，从而可判断为直角三角形；
（2）由（1）中的，可得，再利用正切的差角公式可得，结合基本不等式求解即可.
【详解】（1）设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
由及正弦定理
得：，
，
，
．
，
，
是直角三角形．
（2）由（1）知，，
，且，
，
当且仅当，即时取等号，
的最大值为．
题型四 解三角形与三角函数综合
【典例1】已知函数，为奇函数，其图像相邻的对称轴之间的距离为．
(1)求函数的解析式及其减区间；
(2)在中，角A、B、C对应的边为a、b、c，若，，，求．
【答案】(1)，的减区间为；
(2).
【分析】（1）由辅助角公式化简函数解析式，然后由对称轴间距离求得周期得，由奇函数性质得，从而得解析式，然后利用正弦函数的单调性得减区间；
（2）由（1）求得，利用正弦定理求，由内角和公式求，由三角形面积公式求．
【详解】（1），
由函数相邻的对称轴之间的距离为，，
所以，又，故
∴，
又∵为奇函数，∴，即，
得，即，而，故，
因为函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又，所以为奇函数，满足要求，
令，得，
∴的减区间为；
（2）由（1）可知，又，
所以，即，
∵，∴，
∴，即，
由正弦定理可得，又，，
所以，所以，
因为，所以，所以，
所以，
所以.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，则实数的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据余弦定理和得，进而得，再根据三角函数的性质求解即可得答案.
【详解】解：由余弦定理，得，结合，
得，
解得，
即，
则当时，．
.
故选：D．
【点睛】本题考查余弦定理与三角函数的性质求最值，考查运算能力，是中档题.
2．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正弦定理和余弦定理可得，再由三角恒等变换可得，由的范围可得的范围，令，，利用导数得出函数的单调性，从而可得出答案.
【详解】解：∵，∴，
∴，∴，
∴，∴
，∴，∴或（不符合题意舍去），
∴，
∴
，
设，
∵是锐角三角形，∴，∴，
∴，
∴，
令，则，
∴函数在上单调递增，
故，
∴.
故选：C．
二、填空题
3．（2023·全国·高三专题练习）在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为___________.
【答案】
【分析】由余弦定理化简已知式，再由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换得，由锐角三角形求得的范围，待求式切化弦，通分后利用已知条件化为，由正弦函数性质可得范围．
【详解】因为，由余弦定理得，所以，
，
由正弦定理得，所以，
因为为锐角三角形，所以，，，
由，得，，
，
，所以．
故答案为：．
【点睛】本题考查都得用正弦定理和余弦定理求三角函数的取值范围，解题关键是由正弦定理和余弦定理变形化简得出三角形中角的关系，从而再由锐角三角形得角的范围．再把待求式化为某个角的函数，从而求得取值范围．
4．（2023·全国·高三专题练习）锐角中，，角A的角平分线交于点， ,则 的取值范围为_________.
【答案】
【分析】根据正弦定理表示出，，从而表示出，根据角的范围结合三角恒等变换求得答案.
【详解】由已知得， ,
在中，由正弦定理得， ,
同理可得 ,
故,
而
，
因为锐角中， ,
故，则，，
故，
故答案为：
三、解答题
5．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）在凸四边形中，.
(1)若.求的长；
(2)若四边形有外接圆，求的最大值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由同角关系可得正弦值，进而由和差角公式，结合余弦定理即可求解，
（2）根据正弦定理可得，同理可知，进而由三角函数的性质即可求解最值.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
由余弦定理可知，，即
（2）因为四边形有外接圆，所以，
因为，且由正弦定理可知，，
所以，即，
设，则，
由正弦定理可知，，
所以，同理可知，
所以，
因为，所以，所以当，
即时，取得最大值为.

6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据图形求出最小正周期可求得，代入点可求得；
（2）根据求得，根据面积求出，即可由余弦定理求得.
【详解】解：（1）据图象可得，故，
由得：．
由得：．
由知，，
，解得，
；
（2），，
，，
，，
由题意得的面积为，解得，
由余弦定理得，解得：.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理,将角化边,即可得到三边关系,进而转化成余弦定理形式求解.
（2）用二倍角公式降幂，然后利用辅助角公式合并，根据角的范围求解.
【详解】（1）及，
，化简得，
，又，.
（2）由（1）可得
为锐角三角形，
且，，
.
，，
故的取值范围为.
8．（2023·陕西榆林·统考三模）已知分别为的内角所对的边，，且．
(1)求；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的数量积的定义及正弦定理的边角化即可求解；
（2）根据（1）的结论及三角形的内角和定理，利用诱导公式、两角和的正弦公式及降幂公式，结合辅助角公式及三角函数的性质即可解.
【详解】（1），
由及正弦定理，得，
得，代入得，
又因为，
所以．
（2）由（1）知，
所以.
所以
，
因为,
所以，
所以，
所以，
故的取值范围是.
9．（2023·湖南·模拟预测）已知函数.
(1)求函数的定义域和值域；
(2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值.
【答案】(1)；
(2)2
【分析】（1）先化简，然后利用真数大于0可得，即可求出定义域，继而求出值域；
（2）先利用（1）可得，结合锐角三角形可得，然后利用正弦定理进行边变角即可求出答案
【详解】（1），
所以要使有意义，
只需，即，
所以，解得
所以函数的定义域为，
由于，所以，
所以函数的值域为；
（2）由于，所以，
因为，所以，所以即，
由锐角可得，所以，
由正弦定理可得，
因为，所以所以，
所以的最大值为2.
10．（2023·全国·模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求A；
(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用二倍角公式及和角公式代入化简解方程即可.
（2）根据锐角三角形得B的范围，运用正弦定理边化角，将所求式子转化为关于的对勾函数，研究其值域即可.
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
又，即，
∴，
又∵，
∴.
（2）由（1）知，
①当时，因为，所以，即，与△ABC为锐角三角形矛盾，所以不成立；
②当时，因为，所以，
所以．
由，得．
所以，
．
因为，所以，，
令，则，
所以在上单调递增，所以，所以的取值范围为．
题型五 解三角形的实际应用
策略方法 解三角形的实际应用
【典例1】（单选题）塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑.如图，为测量某塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先在中利用正弦定理求出的长，再在直角利用三角函数可求得结果.
【详解】在中，，，
则，
，
由正弦定理得，即，
所以，得，
在直角中，，则
，
故选：D
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）如图，有一古塔，在A点测得塔底位于北偏东方向上的点D处，在A点测得塔顶C的仰角为，在A的正东方向且距D点30m的B点测得塔底位于西偏北方向上（A，B，D在同一水平面），则塔的高度CD约为（，）（ ）

A．17.32mB．14.14mC．10.98mD．6.21m
【答案】B
【分析】在中，根据正弦定理可求出.在中，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，在中，有，，，
根据正弦定理可得，
.
在中，有，，
，所以(m).
故选：B.
2．（2023·四川·校考模拟预测）如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，则山高（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】在中，根据正弦定理求得，结合，即可求解.
【详解】在中，，
由正弦定理得，可得，
过点作，可得
所以.
故选：D.

3．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）锦州古塔坐落在大广济寺前，是辽宁省级文物.据明嘉靖碑文（宣大巡抚文贵撰）载：金代的中靖大夫高琏曾写过《塔记》说，塔建于辽道宗清宁三年（1057年），是为收藏皇后所降的舍利子而建.塔是砖实心密檐式，现高57米.塔身八面，每面雕有一佛胁侍，三个宝盖和两位飞天.飞天翱翔于上，大佛端坐龛中，胁待肃立龛旁.下面是古塔的示意图，游客（视为质点）从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线DB前进64米达到E点，此时看点C点的仰角为45°，若，则该八角观音塔的高AB约为（ ）（）

A．63米B．61米C．57米D．54米
【答案】C
【分析】不妨设，然后得到，再根据，求出的值即可．
【详解】不妨设，根据条件可得，，
，
，
，
，
米．
故选：C．

4．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M，N间架设一条索道．为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度，在BC同一水平面上选一点A，测得M点的仰角为，N点的人仰角为，以及， 则M，N间的距离为（ ）

A．B．120mC．D．200m
【答案】A
【分析】根据题意，在直角和直角中，分别求得和，再在中，利用余弦定理，即可求解.
【详解】由题意，可得，
且，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在中，由余弦定理得，
所以.
故选：A.

5．（2023·全国·高三专题练习）圣·索菲亚教堂（英语： SAINTSOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位. 其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）
A．20mB．30mC． mD． m
【答案】D
【分析】在在中，求出，在中，利用正弦定理求出，再解即可得解.
【详解】由题意可知，在中，，
则，
所以，
在中，，
则，
由正弦定理得，
所以，
在中，，
则，所以，
所以小明估算索菲亚教堂的高度为.
故选：D.
二、多选题
6．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．A、D之间的距离为海里
C．A、B两处岛屿间的距离为海里
D．B、D之间的距离为海里
【答案】BC
【分析】根据三角形的内角求得∠CAD,判定A；利用正弦定理求得AD,判定A；利用等腰直角三角形性质求得BD,判定D；利用余弦定理求得AB,判定C.
【详解】解：由题意可知，，，，，
所以，故A错误；
，
在中，由正弦定理得，得(海里)，故B正确；
在中，因为，，所以(海里)，故D错误；
在中，由余弦定理得，
(海里)，故C正确.
故选：BC.
7．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市实验中学校联考阶段练习）在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点处测得河对岸点位于点的南偏西的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点，，，使点，，共线，点位于点的正西方向上，点位于点的正东方向上，测得，，，，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是（ ）
A．B．的面积为
C．D．点在点的北偏西方向上
【答案】AC
【分析】利用正余弦定理解三角形逐一求解即可；
对于，先求出，，，再根据，，即可判断；
对于，根据三角形的面积公式求解即可，即可判断；
对于，在中，由正弦定理，即可判断；
对于，过点作于点，易知，即可判断．
【详解】对于，因为，点位于点的南偏西的方向上，
所以，，，
又，，，，
在，中，，，所以，故A正确；
对于，的面积为，故B错误；
对于，在中，由正弦定理，得，解得，故C正确；
对于，过点作于点，易知，所以，故D错误，
故选：．
三、填空题
8．（2023·重庆·统考模拟预测）如图，某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山脚处测得山顶处的仰角为，又利用无人机在离地面高的处（即），观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，则山高_________m．

【答案】
【分析】确定，，，在中，利用正弦定理求出，再由锐角三角函数计算得到答案.
【详解】依题意，则，,，
故，，
在中，由正弦定理得，即，
解得，则.

故答案为：
9．（2023·江西·校联考模拟预测）中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算山高的问题（如图1）：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何?假设古代有类似的一个问题，如图2，要测量海岛上一座山峰的高度AH，立两根高48丈的标杆BC和DE，两竿相距BD=800步，D，B，H三点共线且在同一水平面上，从点B退行100步到点F，此时A，C，F三点共线，从点D退行120步到点G，此时A，E，G三点也共线，则山峰的高度AH=_________步.（古制单位:180丈=300步）

【答案】3280
【分析】易得在RtAHF中，在RtAHG中，得到，求解.
【详解】解：由题可知步，步，步.步.
在RtAHF中，在RtAHG中.
所以，，
则.
所以步.
故答案为：3280
10．（2023·全国·高三专题练习）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为______米.
【答案】
【分析】根据已知角的关系，在三角形中，利用正余弦定理求解即可.
【详解】由题意，，所以，
所以在中，，，
又，所以，
在中，由正弦定理得，，所以，
在中，，
由余弦定理得，，
所以.
故答案为：
四、解答题
11．（2023·河北沧州·统考三模）汾阳文峰塔建于明末清初，位于山西省汾阳市城区以东2公里的建昌村，该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位于中国砖结构古塔之首.如图，某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的三个测量基点C，D，E，现测得，，，，，在点C测得塔顶A的仰角为.参考数据：取，，.

(1)求；
(2)求塔高（结果精确到1m）.
【答案】(1)
(2)85m
【分析】（1）在中，由余弦定理即可得解；
（2）在中，先利用正弦定理求出，再解即可.
【详解】（1）在中，由余弦定理得，
则
；
（2）在中，由正弦定理得，
则，
在中，，
所以，
故塔高为85m.
12．（2023·全国·高三专题练习）为了测量隧道口、间的距离，开车从点出发，沿正西方向行驶米到达点，然后从点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达点，再从点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口点处，测得间的距离为1000米.
(1)若隧道口在点的北偏东度的方向上，求的值；
(2)求隧道口间的距离.
【答案】(1)
(2)1000米.
【分析】（1）由正弦定理及同角三角函数的关系可求解；
（2）由余弦定理可求解.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，
即，
所以，
由题可知，，
所以，即.
（2）由（1）可知，，
在中，由余弦定理得
，
所以，
故两隧道口间的距离为1000米.
13．（2023·全国·高三专题练习）“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子·离娄章句上》．“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具。有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点都在圆周上，角的对边分别为，，，满足
(1)求；
(2)若的面积为，且，求的周长
【答案】(1)
(2)cm
【分析】（1）根据题意可求圆的直径，再结合正弦定理运算求解；
（2）根据题意结合面积公式和余弦定理运算求解.
【详解】（1）设的外接圆半径为，则（cm），
由正弦定理，可得.
（2）∵，则，故为锐角，
∴，
由面积公式，即，可得，
由余弦定理，即，
可得，解得（cm），
故的周长为（cm）.
①正弦、余弦定理的应用
②解三角形面积问题
③判断三角形形状
④解三角形与三角函数综合
⑤解三角形的实际应用
定理
正弦定理
余弦定理
公式
；
；
.
常见变形
(1)，，；
(2)，，；
；
；
.
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
①正弦、余弦定理的应用
②解三角形面积问题
③判断三角形形状
④解三角形与三角函数综合
⑤解三角形的实际应用
定理
正弦定理
余弦定理
公式
；
；
.
常见变形
(1)，，；
(2)，，；
；
；
.
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解