（新高考通用）2024年高考数学【讲义】高频考点题型归纳与方法总结 第13练 函数的应用和函数模型（精练：基础+重难点）（原卷版+解析）

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【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点为（ ）
A．10B．9C．（10，0）D．（9，0）
2．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产万件该产品，需另投入成本万元.其中，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为（ ）
A．720万元B．800万元
C．875万元D．900万元
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中的核心零件是多层式结构的棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯），主要用于去除铁锈､泥沙､悬浮物等各种大颗粒杂质.假设每一层棉滤芯可以过滤掉的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过，则棉滤芯层数最少为（ ）（参考数据：，）
A．B．C．D．
6．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）定义符号函数，则方程的解是（ ）
A．2或B．3或C．2或3D．2或3或
7．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数，，，则函数的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．（2023·全国·高三专题练习）设表示不超过的最大整数，如，已知函数，若方程有且仅有个实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数a的值可以是（ ）
A．0B．1C．D．2
10．（2023·全国·模拟预测）已知定义域为的函数满足不恒为零，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．是奇函数
C．的图像关于直线对称D．在[0，10]上有6个零点
三、填空题
11．（2023春·北京大兴·高三校考开学考试）已知函数，则函数的零点个数为___________.
12．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数的所有零点之和为______.
13．（2023春·江苏南京·高三江苏省南京市第十二中学校考阶段练习）已知函数，若方程f（x）＝m（m∈R）恰有三个不同的实数解a，b，c（a＜b＜c），则（a＋b）c的取值范围是_____________．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的两个零点一个大于2，一个小于2，且，则的取值范围为______
四、解答题
15．（2023春·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中学校考阶段练习）已知函数是偶函数.当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)若函数在区间上单调，求实数a的取值范围；
(3)已知，试讨论的零点个数，并求对应的m的取值范围.
16．（2023·全国·高三专题练习）某企业生产一种电子设备，通过市场分析，每台设备的成本与产量满足一定的关系式.设年产量为（，）（单位：台），若年产量不超过70台，则每台设备的成本为（单位：万元）；若年产量超过70台不超过200台，则每台设备的成本为（单位：万元），每台设备售价为100万元，假设该企业生产的电子设备能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（台）的关系式；
(2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少万元？
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）“打水漂”是一种游戏,通过一定方式投掷石片,使石片在水面上实现多次弹跳,弹跳次数越多越好.小赵同学在玩“打水漂”游戏时,将一石片按一定方式投掷出去,石片第一次接触水面时的速度为,然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素,假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的,若石片接触水面时的速度低于,石片就不再弹跳,沉入水底,则小赵同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为( )(参考数据:).
A．6B．7C．8D．9
2．（2023·四川成都·校考三模）已知函数，，若存在2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）若函数与函数（且）的图像有且仅有一个交点，则的范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·全国·东北师大附中校联考模拟预测）定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在有实数根，则方程在区间上所有实数根之和是（ ）
A．6B．12C．30D．56
二、多选题
5．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知函数，对于任意的，，，关于的方程的解集可能的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，的零点分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
7．（2023·北京·高三专题练习）已知函数
①函数的零点个数为__________．
②若存在实数b，使得关于x的方程有三个不同的根，则实数m的取值范围是__________．
8．（2023·全国·模拟预测）已知函数在定义域内有两个零点，则实数a的取值范围是______．
四、解答题
9．（2023·全国·高三专题练习）某公园的赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为30天，园区从某月1号至30号开放，每天的旅游人数与第天近似地满足（千人），游客人均消费与第天近似地满足（元），且.
(1)求该园区第天的旅游收入（单位：千元）的函数关系式；
(2)记（1）中的最小值为（千元），若最终总利润为（千元），试问该园区能否收回投资成本？
10．（2023春·湖南长沙·高三校联考期中）已知函数在区间上有最大值2和最小值1.
(1)求的值；
(2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)若且方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知.若函数的零点个数与方程的不等实根个数相等，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·全国·高三校联考阶段练习）定义在上的奇函数满足，当时，，若在有2023个零点，则的取值范围可以是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数且有三个不同的零点，，，若，则（ ）
A．
B．当为，的等比中项时，为，的等差中项
C．当为，的等差中项时，
D．实数a的取值范围为
三、填空题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为____________
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，当关于的方程的不同实数根的个数最多时，实数的取值范围是______．
四、解答题
6．（2023·江苏·统考二模）已知函数，.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若有且只有2个不同的零点，求的取值范围.
2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第13练 函数的应用和函数模型（精练）
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点为（ ）
A．10B．9C．（10，0）D．（9，0）
【答案】A
【分析】令，解对数方程，求出x＝10.
【详解】令，即，所以，因此x＝10，所以函数的零点为10，
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据解析式判断函数单调性，再应用零点存在性定理确定所在区间即可.
【详解】由在上递减，
所以在上递减，
又，，
所以零点所在区间为.
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产万件该产品，需另投入成本万元.其中，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为（ ）
A．720万元B．800万元
C．875万元D．900万元
【答案】C
【分析】先求得该企业每年利润的解析式，再利用分段函数求最值的方法即可求得该企业每年利润的最大值.
【详解】该企业每年利润为
当时，
在时，取得最大值；
当时，
（当且仅当时等号成立），即在时，取得最大值；
由，可得该企业每年利润的最大值为.
故选：C
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将，，的零点看成函数分别与，，的交点的横坐标，分别画出这些函数图象，利用数形结合的方法即可求解.
【详解】由已知条件得
的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标，
在同一坐标系分别画出，，，的函数图象，如下图所示,
可知，
故选：.
5．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中的核心零件是多层式结构的棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯），主要用于去除铁锈､泥沙､悬浮物等各种大颗粒杂质.假设每一层棉滤芯可以过滤掉的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过，则棉滤芯层数最少为（ ）（参考数据：，）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据指数与对数的运算直接求解.
【详解】由题意得，经层滤芯过滤后水中大颗粒杂质含量为，，
则，得，所以，
即，所以，
解得，，
所以的最小值为，
故选：C.
6．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）定义符号函数，则方程的解是（ ）
A．2或B．3或C．2或3D．2或3或
【答案】D
【分析】根据符号函数的意义，分段解方程作答.
【详解】依题意，当时，方程为：，解得或，因此或，
当时，方程为：，解得，于是无解，
当时，方程为：，解得或，因此，
所以方程的解是或或.
故选：D
7．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数，，，则函数的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】先求时，函数的零点，再根据为偶函数，可得时，函数还有一个零点，由此可得答案.
【详解】当时，，所以不是函数的零点，
因为，所以，所以为偶函数，
当时，，，，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在时取得最大值，
所以当时，有唯一零点，
又函数为偶函数，其图象关于轴对称，所以在时，还有一个零点，
综上所述：函数的零点个数为.
故选：A
8．（2023·全国·高三专题练习）设表示不超过的最大整数，如，已知函数，若方程有且仅有个实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由可得，则问题转化为与在上恰有3个交点，数形结合即可得解.
【详解】由可得，依题意与在上恰有3个交点，
如图所示，点和点为临界点，
所以实数的取值范围是，
故选：C
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数a的值可以是（ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】BCD
【分析】首先根据题意画出函数的图象，结合图象可知：当时，直线与的图象有2个交点，当直线与曲线相切在第一象限时，有2个交点，即可得到答案.
【详解】函数的图象，如图所示：
由题意知，直线与的图象有2个交点．
当直线过点时，，
当直线过点时，．
结合图象如图可知，当时，直线与的图象有2个交点，
如图所示：
又当直线与曲线相切在第一象限时，
直线与的图象也有2个交点，如图所示：
，化简可得，由，得，
又由图可知，所以，此时切点的横坐标为2符合.
综上，实数a的取值范围是.
故选：BCD．
10．（2023·全国·模拟预测）已知定义域为的函数满足不恒为零，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．是奇函数
C．的图像关于直线对称D．在[0，10]上有6个零点
【答案】AB
【分析】通过给题中恒成立的等式赋值，求函数值，判断奇偶性、对称性和零点.
【详解】选项A：对于，令，得，对于，令，得，所以，则，A正确；
选项B：由得，由得，所以，是奇函数，B正确；
选项C：由，得，所以12是的一个周期，又是奇函数，所以的图像关于点对称，因为不恒为零，所以的图像不关于直线对称，C错误；
选项D：由A知，对于，令，得，所以，由，得，，所以，所以在上的零点为0，2，3，4，6，8，9，10，共8个，D错误．
故选：AB．
三、填空题
11．（2023春·北京大兴·高三校考开学考试）已知函数，则函数的零点个数为___________.
【答案】
【分析】当时直接求解函数零点，当时，转化为与的图象的交点个数求解即可.
【详解】解：当时，，解得；
当时，得，
易得，
作出函数，的图象，如图，
所以，结合指数函数与幂函数性质，函数，在有两个交点，
所以当时，有两个实数根，
所以，函数的零点个数为
故答案为：
12．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数的所有零点之和为______.
【答案】18
【分析】判断出的对称性、周期性，画出与的图象，结合图象求得的所有零点之和.
【详解】∵满足，则关于直线对称，
又∵是定义在上的奇函数，则，
即，则，
∴是以4为周期的周期函数，
对，可得，则，
∴关于点对称，
令，则，
可知：与均关于点对称，如图所示：
设与的交点横坐标依次为，
则，
故函数的所有零点之和为.
故答案为：18.
13．（2023春·江苏南京·高三江苏省南京市第十二中学校考阶段练习）已知函数，若方程f（x）＝m（m∈R）恰有三个不同的实数解a，b，c（a＜b＜c），则（a＋b）c的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】根据分段函数解析式画出图象，即可得出a＋b＝－2，，进而可求（a＋b）c的范围.
【详解】依题意，
函数的图象如图所示：
方程f（x）＝m（m∈R）恰有三个不同的实数解a，b，c（a＜b＜c），
可得a＋b＝－2，f（0）＝1＝f（1），，
则，
故答案为：．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的两个零点一个大于2，一个小于2，且，则的取值范围为______
【答案】
【分析】由已知得出，即，设，利用待定系数法求解得出结果.
【详解】由的两个零点一个大于2，一个小于2可得，即，
又，
设，
则，解得，
即，且，
故3b－8a的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
15．（2023春·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中学校考阶段练习）已知函数是偶函数.当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)若函数在区间上单调，求实数a的取值范围；
(3)已知，试讨论的零点个数，并求对应的m的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
(3)答案见解析
【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可.
（2）根据（1）做出图像，数形结合.
（3）根据（1）做出图像，数形结合.
【详解】（1）设，则
∴
∵为偶函数
∴
综上，有
（2）由（1）作出的图像如图：
因为函数在区间上具有单调性，
由图可得或，解得或；
故实数的取值范围是或.
（3）由（1）作出的图像如图：
由图像可知：
当时，有两个零点；
当时，有四个零点；
当时，有六个零点；
当时，有三个零点；
当时，没有零点.
16．（2023·全国·高三专题练习）某企业生产一种电子设备，通过市场分析，每台设备的成本与产量满足一定的关系式.设年产量为（，）（单位：台），若年产量不超过70台，则每台设备的成本为（单位：万元）；若年产量超过70台不超过200台，则每台设备的成本为（单位：万元），每台设备售价为100万元，假设该企业生产的电子设备能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（台）的关系式；
(2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少万元？
【答案】(1)
(2)当年产量80台时，年利润最大，最大值为1920万元
【分析】（1）分，和，两种情况分别求出函数解析式；
（2）根据二次函数与基本不等式求出各段函数的最大值，再比较即可得解.
【详解】（1）解：当，时，，
当，时，，
所以.
（2）解：当，时，，
所以当时，取得最大值，最大值为.
当，时，，
当且仅当，即时，取得最大值，
因为，所以当年产量台时，年利润最大，最大值为万元.
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）“打水漂”是一种游戏,通过一定方式投掷石片,使石片在水面上实现多次弹跳,弹跳次数越多越好.小赵同学在玩“打水漂”游戏时,将一石片按一定方式投掷出去,石片第一次接触水面时的速度为,然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素,假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的,若石片接触水面时的速度低于,石片就不再弹跳,沉入水底,则小赵同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为( )(参考数据:).
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为,根据题意得,即,根据指数函数的单调性和对数换底公式求解即可.
【详解】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为,
由题意得,
即,
得.
因为,
所以,
即.
故选：C.
2．（2023·四川成都·校考三模）已知函数，，若存在2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】题目转化为函数的图像与直线有2个交点，画出图像，根据图像知，解得答案.
【详解】存在2个零点，故函数的图像与直线有2个交点，
画出函数图像，如图，平移直线，可以看出当且仅当，即时，
直线与函数的图像有2个交点.
故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习）若函数与函数（且）的图像有且仅有一个交点，则的范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，分，分别做出分段函数的图像，结合图像即可得到结果.
【详解】当时，由，得当时，的周期．
设，则，
做出分段函数的图像，如图
当时，
由图可知，显然成立．
当时，则，，即．
综上所述，且．
故选:C．
4．（2023·全国·东北师大附中校联考模拟预测）定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在有实数根，则方程在区间上所有实数根之和是（ ）
A．6B．12C．30D．56
【答案】C
【分析】利用函数是上奇函数且满足，得出函数是周期为4的周期函数，且关于直线对称，利用周期性和对称性，讨论出函数在一个周期内的单调性，从而判断出方程在一个周期内的根的个数，并利用对称性求出两根之和，从而求出方程在区间上所有实数根之和.
【详解】因为函数满足，所以函数的图像关于直线对称，故，又是上奇函数，所以，所以，故函数的周期为4，
考虑一个周期，由函数在区间上单调递减，又由是上奇函数，且关于直线对称，
知在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
因为，
故当时，，当，，
当时，，当时，，
因为方程在区间有实数根，则这实根是唯一的，
又因为函数的图像关于直线对称，则方程在区间有唯一实数根，方程在区间和区间上没有实根，
所以方程在一个周期内有且只有2个实数根，根据对称性，知这两根之和为2，
因为函数在区间上恰好3个周期，所以根据函数周期性和对称性知，方程在区间上所有实数根之和为,
故选：C.
二、多选题
5．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知函数，对于任意的，，，关于的方程的解集可能的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】令，探讨一元二次方程根的情况，再结合函数的性质，即可判断作答.
【详解】令，则方程化为，
由给定的选项知，方程有实根，设其根为，
函数定义域为R，
，在上递减，在上递增，
且的图象关于直线对称，，
当时，方程无解，
当时，方程有一解，
当时，方程有两解且和为2，
对于A，当时，方程有两解且和为4，
与题意矛盾，故A不符合要求；
对于B，当时，方程有两解且和为2，又关于对称，故B符合要求；
对于C，当时，方程有三个解，其中一个为1，另两个的和为2，故C不符合要求；
对于D，当时，方程有四个解，必满足其中两根和与另两根和都为2，又关于对称，关于对称，故D符合要求，
故选：BD.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，的零点分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】由指数函数与对数函数、的对称性知与关于直线对称，利用指数幂、对数运算的性质计算依次判断选项即可.
【详解】因为函数与的图象关于直线对称，图象也关于直线对称，
设与图象的交点为A，
与图象的交点为，
则与关于直线对称，则，．
因为，所以，则，即，
因为的图象与直线的交点为，
所以，，，则．
故选：ABD.
三、填空题
7．（2023·北京·高三专题练习）已知函数
①函数的零点个数为__________．
②若存在实数b，使得关于x的方程有三个不同的根，则实数m的取值范围是__________．
【答案】 1
【分析】第一空，分类讨论，无论，函数都一个零点；
第二空，由第一空讨论，，值的情况，从而可得满足题意的的范围.
【详解】第一空：当时，可知有一个零点；
当时，有一个零点；
当时，可知有一个零点；
综上函数的零点个数为1个.
第二空：
如图所示，当时，若要满足题意需，得；
当时，不符题意；
如图所示，当时，若要满足题意需，得；
综上m的取值范围是：
故答案为：1；
8．（2023·全国·模拟预测）已知函数在定义域内有两个零点，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】与函数零点有关的参数范围问题，往往需要对参数分类讨论，并利用导数研究函数的单调性和极值情况，进而确定参数的取值范围；或通过变形转化为两个函数图象的交点问题．
【详解】解法一 第一步：求导
由，得的定义域为，．
第二步：对a分类，讨论函数的零点情况
①当时，，在上单调递减，
不可能有两个零点，不符合题意．
②当时，令，得，
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减．
要使有两个零点，必有，得．
当时，，，
令，则，
所以在上单调递减，所以，
所以，所以在和上各有一个零点，符合题意．
（注意：与函数有两个零点不等价，故求出a的取值范围后需要进一步检验是否有两个零点）
第三步：整合结论
综上，实数a的取值范围为．
解法二 显然，（点拨：当时，，分离参数后会在分母上，故需要单独讨论的情况，要避免此种情况，也可将参数分离为）
当时，由，得．
令，则，
当时，，当时，，
所以在，上单调递减，在上单调递增，
当时，，
当且时，，
当且时，，
当时，，，
故可作出函数的大致图象如图所示．
（点拔：作图时要研究当，1，时函数图象的趋势，做到草图不草）
数形结合可知，当时，直线与函数的图象有两个不同的交点，
即函数有两个不同的零点，故实数a的取值范围为．
四、解答题
9．（2023·全国·高三专题练习）某公园的赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为30天，园区从某月1号至30号开放，每天的旅游人数与第天近似地满足（千人），游客人均消费与第天近似地满足（元），且.
(1)求该园区第天的旅游收入（单位：千元）的函数关系式；
(2)记（1）中的最小值为（千元），若最终总利润为（千元），试问该园区能否收回投资成本？
【答案】(1)
(2)能收回投资成本.
【分析】(1)根据化简即可；
(2) 当且时，利用基本不等式求得最小值；当且时，利用单调性求得最小值，最终得到的最小值千元，因此万元即可判断.
【详解】（1）
；
（2）当且时，，
当且仅当，即时取等号，此时的最小值为1152千元；
当且时，为单调递减函数，
所以当时取到最小值，最小值为1116千元.
综上，的最小值千元，因此万元万元，
能收回投资成本.
10．（2023春·湖南长沙·高三校联考期中）已知函数在区间上有最大值2和最小值1.
(1)求的值；
(2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)若且方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据二次函数的性质，分类讨论函数的单调性，结合已知列出方程组，即可得出；
（2）由已知可转化为在上恒成立.根据基本不等式即可求出实数的取值范围；
（3）由已知可推得有三个不同的实数解.令，作出的函数图象，可得.结合函数图象，该方程一个根大于0小于1，一个根大于等于1.令，根据二次函数的性质与图象，即可得出不等关系，进而求出实数的取值范围.
【详解】（1）由已知可得.
当时，在上为增函数，所以，解得；
当时，在上为减函数，所以，解得.
由于，所以.
（2）由（1）知，
所以在上恒成立，即，
因为，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
又，当且仅当时取等号.
所以，即.
所以求实数的范围为.
（3）方程化为，
化为，且.
令，则方程化为.
作出的函数图象
因为方程有三个不同的实数解，
所以有两个根，
且一个根大于0小于1，一个根大于等于1.
设，
记，
根据二次函数的图象与性质可得
，或，
解得.
所以实数的取值范围为.
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知.若函数的零点个数与方程的不等实根个数相等，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据分段函数的解析式画出其图象，利用函数与方程的思想可知，函数的图象与有两个交点，即函数有两个零点，利用对称性对函数进行分类讨论即可求得的取值范围.
【详解】由题意可知，当时，，
所以函数；
当时，，则，
当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数是开口向上且关于对称的抛物线；
画出函数的图象如下中图粗实线所示：
根据图象易知，函数的图象与有两个交点，
即方程有两个不相等的实根，所以函数有两个零点；
因此函数与的图象有两个交点；
易知恒过坐标原点，且为偶函数，其图象关于轴对称；
当与在轴右侧相切时，即与相切；
不妨设切点为，由可得，
切线斜率为，又因为，
因此，即，
令，则，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且时，，由可得，即，
此时切线方程为，如图中所示；
当与在轴左侧相切时，即与相切，
设切点为，联立方程得，
令，解得，此时切点
切线方程为，如图中所示；
结合图象以及对称性可知，当时，与在轴右侧无交点，在轴左侧有两个交点，满足题意，
解得或，即.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将时，转化成，再利用导数研究其单调性画出部分函数图象，根据函数与方程的思想将零点个数转化成函数图象交点个数问题，利用导数的几何意义和对称性即可求得结果.
2．（2023·全国·高三校联考阶段练习）定义在上的奇函数满足，当时，，若在有2023个零点，则的取值范围可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由函数的奇偶性和周期性，判断其在区间上的零点个数，再根据零点存在性定理判断区间端点函数值的正负即可得到的取值范围.
【详解】因为是上的奇函数，
所以，故在有2022个零点.
又满足，
所以是周期为2的周期函数.
故在每个周期上均有个零点.
又因为在上图像关于原点对称，
所以在和上有相同个数的零点，
也即在和上有相同个数的零点，
又在上有4个零点，且，
故在上有1个零点，且.
当时，有
当时，
则若要满足以上条件，需使时，，
即.
满足的取值范围条件的选项只有C.
故选：C.
二、多选题
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数且有三个不同的零点，，，若，则（ ）
A．
B．当为，的等比中项时，为，的等差中项
C．当为，的等差中项时，
D．实数a的取值范围为
【答案】BCD
【分析】对于A：将函数的零点，转化为两个函数图象的交点，即可判断；
对于B：将方程两边取对数，再结合等差中项和等比中项的定义，即可判断选项；
对于C：根据等差中项，和等比中项，转化为，即可求解；
对于D：当时，构造函数，利用导数，判断函数的单调性和最值，结合零点存在性定理，即可求解.
【详解】A：，因为，所以，
根据函数和的图象及增长趋势，若满足，则，
又因为，所以，A错误．
B：，，，两边同时取对数，
，，，
，，
因为为，的等比中项，，所以，即是的等差中项，故B正确；
C：为，的等差中项，则，得，得，
则，整理为，则或，
由图象可知，，所以，故C正确；
D：当时，易知方程有两个不同的解，等号两边同时取对数得，
，令，则，令，得，
由A选项知，所以，，又，所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以．
，又当无限趋近于负无穷大时，为正数，无限趋近于正无穷大，当无限趋近于0时，也无限趋近于正无穷大，故要使有两个零点，只需，即，
所以，解得，又，故实数a的取值范围为，故D正确．
故选：BCD
【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数取值范围的方法及步骤
（1）常用方法：①直接法，先根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围；②分离参数法，将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；③数形结合法，先将问题转化为两函数图象的交点问题，再在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
（2）一般步骤：先转化，把已知函数零点的存在情况转化为方程（组）的解、不等式（组）的解集或两函数图象的交点的情况；再列式，根据零点存在定理或结合函数图象列式；最后得结论，求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围．
三、填空题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为____________
【答案】
【分析】作出函数的图象，利用导数的几何意义求出对应的切线方程以及斜率，利用数形结合进行求解即可.
【详解】作出函数的图象如图所示，
依题意方程有且仅有三个实数解，
所以与有且仅有三个交点，
因为必过点，且，
若时，方程不可能有三个实数解，则必有，
当直线与在时相切时，设切点坐标为，
由，得，
所以切线方程为，即，
因为切线方程为，
所以，且，
得，，
即当时，与在上有且仅有一个交点，
要使方程有且仅有三个的实数解，
则当时，与有两个交点，
设直线与切于点，
此时，则，得，
所以，
即实数的取值范围为
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的几何意义，解题的关键是画出的图象，将问题转化为与有且仅有三个交点，然后结合图象求解即可，属于较难题.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，当关于的方程的不同实数根的个数最多时，实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】借助导数求得的取值范围，再换元，数形结合求的取值范围.
【详解】则，所以，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，如图，
，
设，则，
，
即，
显然不是方程的解，
则（且），
如下图所示，
（1）当时，直线与曲线（且）无交点，则方程无实数解，
（2）当时，直线与曲线（且）有唯一交点，其横坐标为，此时直线与曲线有唯一交点，即方程有唯一实数解
（3）当时，直线与曲线（且）有唯一交点，其横坐标为，此时直线与曲线有两个交点，即方程有两个实数解，
（4）当，直线与曲线（且）有两个交点，设其横坐标分别为，（），此时直线和直线与曲线各有两个交点，即方程有四个实数解，
（5）当时，直线与曲线（且）有两个交点，设其横坐标分别为（），，此时直线与曲线各有两个交点，直线与曲线有唯一的交点，即方程有三个实数解，
（6）当时，直线与曲线（且）有唯一个交点，设其横坐标分别为（），此时直线与曲线有唯一交点，即方程有唯一实数解，
（7）当时，直线与曲线有两个公共点，对应的t有两个负值，每一个t值对应的x值只有一个，原方程有两个根，
综上，当时，关于的方程的不同实根最多.
故答案为：
【点睛】策略点睛：复合方程解的个数问题的解题策略为：首先要能观察出复合的形式，分清内外层；其次要能根据复合的特点进行分析，将方程问题转化为函数的交点问题；最后通过数形结合的方式解决问题
四、解答题
6．（2023·江苏·统考二模）已知函数，.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若有且只有2个不同的零点，求的取值范围.
【答案】(1)函数的单调减区间是，单调增区间是
(2).
【分析】（1）利用导数法求函数的单调性的步骤即可求解；
（2）利用分类讨论及函数的零点与单调性的关系，再利用导数法求函数的单调性及最值，结合函数零点的存在性定理即可求解.
【详解】（1），，
，恒成立，
所以在递增.
所以当，；
，
所以函数的单调减区间是，单调增区间是.
（2），
①当时，由（1）知有且只有一个零点.
②当时，，则在区间上单调递减，
所以至多有一个零点.
③当时，，，
又因为的图象在区间上连续不间断，
所以，使得，即.
令，，
所以在区间上单调递增，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增.
所以，
所以无零点.
④令，当时，，
所以在区间上单调递减，
所以，有，
所以，则.
当时，，，
又因为的图象在区间上连续不间断，
所以，使得，即.
令，，
所以在区间上单调递增，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增.
所以.
令.
，
又因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且的图象连续不间断，，，
所以有且只有2个零点.
综上，若函数有且只有2个零点，则实数的取值范围是.
【点睛】关键点睛：解决此题第一问是利用二阶导数及函数单调性与导数的正负的关系即可，第二问是利用分类讨论的思想及导数法求函数的单调性和最值，结合函数单调性与函数零点的关系及零点的存在性定理即可.