重难点3 导数与函数零点、不等式的综合运用（精练）-2024-2025学年高二数学同步精品导与练（人教A版选择性必修第二册）

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重难点3 导数与函数的零点、不等式等综合运用（精练）一．单选题（每道题目只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）1．（2023浙江嘉兴）已知函数，若在定义域内任意，使得不等式恒成立，则实数m的最大值是（    ）A．2 B．-2 C．1 D．-1【答案】C【解析】因为，，所以，，令得，令得，令得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，因为不等式恒成立，所以，所以实数m的最大值是1.故选：C2．（2023春·四川广元·高二广元中学校考阶段练习）若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，∴当时，有极大值；当时，有极小值，要使有3个不同的零点，只需，即，解得．故选：A．3．（2023秋·江苏南通 ）若，恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，恒成立，所以在上恒成立，令，，则，所以，令，，则，所以在上单调递增，又，所以当时，，即，当时，，即，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最小值为，所以.故选：A4．（2023秋·河北 ）已知函数有两个零点，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，则，注意函数与函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，则要使函数有两个零点，只需与直线有两个交点即可，即关于的方程有两个根，即在上有两个根，设，则，易知当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，且时，，当时，，故，故选：A．5．（2023秋·江西赣州 ）已知，对任意正数x都有恒成立，则t的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】若，则时，，即不恒成立，不合题意；若，则时，，即不恒成立，不合题意；当时，令，对任意正数x都有，在上递增，当，时，恒成立，当，时，，因为，所以，则，即，所以，，设，则，由，在上递增；由，在上递减，所以，则，即t的最小值为，故选：B . 6．（2023春·河北廊坊·高二校联考开学考试）已知函数恰有3个零点，则实数a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以在上，单调递减，在和上，单调递增，，．因为恰有3个零点，所以，解得．故选：D7．（2023秋·湖南衡阳 ）设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】函数的定义域为，由，得，所以，令，由题意知，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，由，得，所以当时，单调递增，当时，单调递减，所以，没有最小值，由，得，当时，在上单调递增，在上单调递减，所以有最大值，无最小值，不合题意，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以即，所以，即m的取值范围为．故选：A．8．（2022·青海西宁·校考模拟预测）函数，且存在，使得，若对任意，恒成立，则的最大值为（    ）A．1 B． C．2 D．3【答案】B【解析】∵函数，且存在，使得，∴有解，即为有解，令，则，则函数为单调递增函数，则．∵函数对任意，恒成立，∴，即，令，则，当时，，函数为单调递增函数，当时，，函数为单调递减函数，∴当时，取最大值3，∴的最大值为．故选：B．多选题（每道题目至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）9．（2023秋·山东）已知函数与的图像只有一个交点，则a的取值可能为（    ）A． B． C． D．【答案】BD【解析】对于选项A，和是与的图像的两个交点，不符合题意.对于选项B，令，，令，.时，，单调递增；当时，，单调递减.所以，所以单调递增，又，，所以有唯一零点，从而与的图像只有一个交点.对于C，D选项，，因为与互为反函数，两个函数图象只有一个交点,则两个函数的图像都与直线相切，设切点为，则，，所以，又，所以，解得，.故选：BD．10．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知函数，则（    ）A．在处取得极值B．若有两解，则的最小整数值为C．若有两解，，则D．有两个零点【答案】AB【解析】  由，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，则在时取得极小值，最小值为，故A正确；又，而，所以，而，即，故，又，且，，故大致图象如图所示，故对于有两个解，的最小整数值为，且无零点，B正确，D错误；由，，故对，可知，故C错误，故选：AB.11．（2023·云南·校联考模拟预测）已知函数，若过点恰能作3条曲线的切线，则的值可以为（    ）A． B． C． D．【答案】BC【解析】设切点为，则，所以切线的斜率为，则切线的方程为，因为点在切线上，所以，即，令，则，令，得或，当或时，；当时，，所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，因为过点恰能作3条曲线的切线，所以直线与的图象有3个交点，如图所示：  所以m的取值范围是，故选：BC12．（2023秋·福建龙岩 ）关于函数，下列判断正确的是（    ）A．是的极小值点B．函数有且只有1个零点C．存在正实数，使得恒成立D．若方程有实根，则【答案】ABD【解析】对于A，函数定义域为，求导得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以是的极小值点，A正确；对于B，令，定义域为，求导得恒成立，即函数在上单调递减，而，，则，使得，所以有且只有一个零点，B正确；对于C，，即等价为，，令，，求导得，，令，，则，，当时，，递减，当时，，递增，则，即，函数在上单调递减，无最小值，因此不恒成立，C错误；对于D，方程，即，整理得，而，因此，D正确.故选：ABD填空题（每题5分，4题共20分）13．（2023秋·天津和平）函数，关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ．【答案】或【解析】有2个不相等的实数根，即函数与直线的图象有2个交点，当时，函数与直线的图象有2个交点，符合题意；当时，由是函数与直线的图象的1个交点，只需函数与直线有1个交点即可，当直线与函数相切时，设切点为，可得，且，，可得，因为与的图象只有1个交点，  可得是的解，所以时直线与的图象有2个交点，符合题意；当时，由，可得，要使与的图象有2个交点，只需在只有一解即可，可得，解得.  综上所述，实数a的取值范围是或. 14．（2023秋·四川绵阳 ）已知函数.若在恒成立，则的范围为 .【答案】【解析】，因为，所以，所以由，设，，因此有，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，因为在恒成立，所以有，因此的范围为，故答案为：【点睛】关键点睛：本题的关键是利用常变量分离法，通过构造新函数来进行求解.15．（2023秋·四川内江 ）已知函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】由函数，则，当时，不经过三四象限，不合题意，舍去，当时，由得或，若，则当或时，，单调递增，当时，，单调递减，故在处取得极大值，且极大值为，故经过第二象限，在处取得极小值，且极小值为，函数一定过第三和第一象限，要想经过第四象限，只需，解得；若，则当或时，，单调递减，当时，，单调递增，故在处取得极小值，且极小值为， 在处取得极大值，且极大值为，故经过第一象限，函数一定过第二和第四象限，要想经过第三象限，只需，解得，综上，实数a的取值范围是.故答案为： 16．（2023春·四川遂宁·高二四川省蓬溪中学校校考期中）已知函数，若函数恰有一个实根，则实数的取值范围是 【答案】【解析】因为，当时，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递增，即在处取得极大值，又，且当时，当时，当时，， 当时，则，所以在上单调递减，且，当时，因为函数恰有一个实根，即恰有一个实根，即函数与恰有一个交点，所以或，即实数的取值范围是.故答案为：解答题（17题10分，18-22题每题12分，6题共70分）17．（2023秋·安徽亳州 ）已知函数.(1)求曲线在处切线的斜率；(2)当时，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1），则，所以，故处的切线斜率为；（2）要证时，即证，令且，则，所以在上递增，则，即.所以时.18．（2023秋·江西 ）已知函数.(1)当时，求的图象在点处的切线方程；(2)当时，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析．【解析】（1），，，，又，所以所求切线方程为，即；（2）的定义域是，所以时，，设，则，设，则，设，则，所以在上是增函数，，，，，，所以，所以在上存在唯一零点，也是在上的唯一零点，，，时，，递减，时，，递增，所以，由于，所以，，，所以，所以，即，所以在上是增函数，，所以时，，时，，，，所以，所以时，，所以．19（2023春·河北·高二校联考期中）已知函数；(1)若无零点，求a的取值范围；(2)若有两个相异零点，证明：．【答案】(1)(2)见解析【解析】（1），，，得，当时，，单调递减，时，，单调递增，所以函数的最小值是，因为函数无零点，，得，所以的取值范围是；（2）证明：不妨设，由（1）得，在上单调递减，在上单调递增，，故，，，设，，因为，，所以函数在区间单调递增，且，所以在区间上恒成立，故，即，又在上单调递减，，.20．（2023春·江西宜春 ）已知函数.(1)若函数有两个零点，求的取值范围；(2)设是函数的两个极值点，证明：.【答案】(1)(2)证明过程见解析.【解析】（1），该方程有两个不等实根，由，所以直线与函数的图象有两个不同交点，由，当时，单调递减，当时，单调递增，因此，当时，，当，，如下图所示：所以要想有两个不同交点，只需，即的取值范围为；（2）因为是函数的两个极值点，所以，由（1）可知：，不妨设，要证明，只需证明，显然，由（2）可知：当时，单调递增，所以只需证明，而，所以证明即可，即证明函数在时恒成立，由，显然当时，，因此函数单调递减，所以当时，有，所以当时，恒成立，因此命题得以证明.21．（2023秋·陕西 ）已知函数有两个零点，.(1)求的范围；(2)证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）由，得到，令，，则恒成立，故为增函数，令，则，当时，，当时，即在区间上单调递增，在区间上单调递减，由复合函数的单调性知，在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，又时，，时，，又函数有两个零点，，所以，得到.（2）因为，是函数的两个零点，由（1）知，也是方程的两解，即，，两式相减得到，又，整理得故要证：，只须证：，即证：，令，即证：，令，在区间上恒成立，即函数在区间单调递增，所以，即，故原命题得证.22．（2023·海南海口· ）已知函数．(1)判断函数的单调性；(2)设，证明：当时，函数有三个零点．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】（1）根据题意得，，，当时，，在上单调递增；当时，，得；令，得，故在上单调递减，在上单调递增．（2）当时，，则，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，故的最小值为，又，；，，故．，设，，则，，则，由，得．因此，当时，，单调递减；当时，，单调递增．由于，故，又，由零点存在定理，存在，使得，所以有两个零点和，即方程有两个根和．的图象如下，    当时，因为，故方程有一个根；当时，其中，因为，故由图角可知，有两个不同的根，，且．综上，当时，函数有三个零点．