江西省赣州市于都县2020-2021学年八年级上学期数学期末试卷

这是一份江西省赣州市于都县2020-2021学年八年级上学期数学期末试卷，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列电动车品牌标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．2019年被称为“5G元年”．据媒体报道，5G网络的理论下载速度为1.25GB/s，这就意味着我们下载一张2.5M的照片只需要0.002s，将0.002用科学记数法表示为（ ）
A．2×10−2B．2×10−3C．0.2×10−2D．0.2×10−3
3．下列运算结果为 a6 的是（ ）
A．(a6+1)0−1B．a3⋅a2C．(a2)3D．a18÷a3
4．已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）
A．∠A的平分线上B．AC边的高上
C．BC边的垂直平分线上D．AB边的中线上
5．如图，在 △ABC 中， AB=AC ，过点 A 作 DA⊥AC 交 BC 于点 D .若 ∠B=2∠BAD ，则 ∠BAD 的度数为（ ）
A．18°B．20°C．30°D．36°
6．我市防汛办为解决台风季排涝问题，准备在一定时间内铺设一条长4000米的排水管道，实际施工时， .求原计划每天铺设管道多少米？题目中部分条件被墨汁污染，小明查看了参考答案为：“设原计划每天铺设管道x米，则可得方程 4000x−10−4000x ＝20，…”根据答案，题中被墨汁污染条件应补为（ ）
A．每天比原计划多铺设10米，结果延期20天完成
B．每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成
C．每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成
D．每天比原计划少铺设10米，结果提前20天完成
二、填空题
7．若分式 x+1x−1 有意义，x 的取值范围是 .
8．如图， △ABC≅△ADE ，如果 AB=5cm,BC=7cm,AC=6cm ，那么 DE 的长是 .
9．学习了“分式的加法”的相关知识后，小明同学画出了如图：请问他画的图中①为 ，②为 ．
10．在 △ABC 中，已知 AB=3 ， BC=a ， a 的取值范围在数轴上表示如图所示，则 AC 的长为
11．生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状 ，折叠过程如图所示（阴影部分表示纸条的反面）：
已知由信纸折成的长方形纸条（图①）长为 25cm ，宽为 xcm .如果能折成图④的形状，且为了美观，纸条两端超出点 P 的长度相等，即最终图形是轴对称图形，则在开始折叠时起点 M 与点 A 的距离（用 x 表示）为 cm ．
12．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： 32=1+12 ，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；如果假分式 x2+4x+1x+2 的值为整数，则 x 的负整数值为 ．
13．下面是“求作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程．
已知：如图，钝角∠AOB．
求作：∠AOB的角平分线．
作法：
①在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE；
②分别以D、E为圆心，大于 12 DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C；
③作射线OC．
所以射线OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
请回答：该尺规作图的依据是 ．
三、解答题
14．计算：
（1）化简： (x−y)(x+3y)−x(x+2y)
（2）如图， ∠ABE 是四边形 ABCD 的一个外角，且 ∠ABE=∠D ，那么 ∠A 与 ∠C 互补吗？为什么？
15．已知点 A(2a−b,5+a) ， B(2b−1,−a+b) .若 A 、 B 关于 y 轴对称，求 (4a+b)2020 的值．
16．先化简，再求值： (1−2a−1a2)÷a2−1a2+a ，其中 a=(12)−1
17．如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形， A 、 B 是如图所示小长方形的顶点，请在大长方形中按下列要求完成画图：
（1）请你仅用无刻度直尺在图1中画一个等腰 Rt△ABC ，其中 ∠ABC=90° ；
（2）请你仅用无刻度直尺在图2作出线段 AB 的垂直平分线．
18．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，AD＝AB，联结BD并延长，交AC的延长线于点E，求∠E的度数．
19．新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防性消毒工作，开学初购进 A 、 B 两种消毒液，其中 A 消毒液的单价比 B 消毒液的单价多40元，用3200元购买 B 消毒液的数量是用2400元购买 A 消毒液数量的2倍．
（1）求两种消毒液的单价；
（2）学校准备用不多于6800元的资金购买 A 、 B 两种消毒液共70桶，问最多购买 A 消毒液多少桶？
20．如图，已知 △ABC 与 △ADG 均为等边三角形，点 E 在 GD 的延长线上，且 GE=AC ，连接 AE 、 BD ．
（1）求证： △AGE≌△DAB ；
（2）F 是 BC 上的一点，连接 AF 、 EF ， AF 与 GE 相交于 M ，若 △AEF 是等边三角形，求证： BD//EF ．
21．将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）设图1中阴影部分的面积为S₁，图2中阴影部分的面积为S₂，请用含a．b的式子表示：S₁＝ ，S₂＝ ；（不必化简）
（2）以上结果可以验证的乘法公式是 ．
（3）利用（2）中得到的公式，计算；20202﹣2019×2021．
22．如图， O 为 △ABC 内部一点， P 、 R 分别为点 O 关于直线 AB 、 BC 对称的点．
（1）若 ∠ABC=60° ，求 ∠POR 的度数；
（2）试猜想当 PR 的值最大时， ∠A 与 ∠C 需要满足什么数量关系，并说明理由．
23．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
设 ∠BAC=θ(0°<θ<90°) ，小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上．
（1）活动一：
如图甲所示，从点 A1 开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直， A1A2 为第1根小棒．
数学思考：
小棒能无限摆下去吗？答： ；（填“能”或“不能”）
（2）若 AA1=A1A2=A2A3=1 ，则 θ= 度；
（3）活动二：
如图乙所示，从点 A1 开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中 A1A2 为第1根小棒，且 A1A2=AA1 ．
数学思考：
若已经向右摆放了3根小棒，则 θ1= ， θ2= ， θ3= （用含 θ 的式子表示）；
（4）若只能摆放4根小棒，求 θ 的范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A. 该图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能完全重合，不是轴对称图形，故A不符合题意；
B. 该图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，故B符合题意；
C. 该图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能完全重合，不是轴对称图形，故C不符合题意；
D. 该图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能完全重合，不是轴对称图形，故D不符合题意，
故答案为：B．
【分析】轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴。根据轴对称图形的定义对每个选项一一判断即可作答。
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】将0.002用科学记数法表示为： 2×10−3 ．
故答案为：B．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10−n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；零指数幂；幂的乘方
【解析】【解答】解：A. (a6+1)0−1=1−1=0≠a6 ，故A不符合题意；
B. a3⋅a2=a3+2=a5≠a6 ，故B不符合题意；
C. (a2)3=a6 ，故C符合题意；
D. a18÷a3=a15 ，故D不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据零指数幂，同底数幂的乘法，幂的乘方和同底数幂的除法进行计算求解即可。
4．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作射线AM，由题意得，MG＝MH，MG⊥AB，MH⊥AC，∴AM平分∠BAC，
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的判定定理结合已知条件即可解答.
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【解答】 ∵DA⊥AC ，
∴∠DAC=90° ，
∵AB=AC ，
∴△ABC 为等腰三角形，
∴ ∠B=∠C ，
∵ ∠B+∠C+∠BAC=180° ， ∠B=2∠BAD ，
2∠BAD+2∠BAD+∠BAD+∠DAC=180° ，
∴5∠BAD=90° ，
∴∠BAD=18°
故答案为：A．
【分析】根据垂直求出∠DAC=90°，再证明△ABC为等腰三角形，最后计算求解即可。
6．【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：原计划每天铺设管道x米，那么(x﹣10)就应该是实际每天比原计划少铺了10米，
而用 4000x−10−4000x=20 则表示用原计划的时间﹣实际用的时间＝20天，
那么就说明每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成.
故答案为：B.
【分析】工作时间＝工作总量÷工作效率.那么4000÷x表示原来的工作时间，那么4000÷(x﹣10)就表示现在的工作时间，20就代表原计划比现在多的时间.
7．【答案】x≠1
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：因为分式 x+1x−1 有意义，
所以 x−1≠0 ，
解得， x≠1.
故答案为： x≠1 .
【分析】根据分式的分母不能为0，列出不等式，求解即可。
8．【答案】7cm
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】 ∵△ABC≅△ADE ，
∴BC=DE ，
∵BC=7cm ，
∴DE=7cm ，
故答案为： 7cm .
【分析】由全等三角形的对应边相等可求解.
9．【答案】化为最简分式；通分
【知识点】分式的通分；最简分式
【解析】【解答】解：由分式的运算法则可知：①化为最简分式；②通分；
故答案为①化为最简分式；②通分；
【分析】根据分式的加法法则进行作答即可。
10．【答案】2
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：在 △ABC 中，设 AC=x
∵AB=3 ， BC=a
若 0∴3−x由题意得 1∴3−x=1 ， 3+x=5
解得， x=2
∴AC=2
若 x>3 时，
∴x−3由题意得 1∴x−3=1 ， 3+x=5 （不符合题意，舍去）
∴x=2,∴AC=2
故答案为：2．
【分析】根据三角形的三边关系和111．【答案】25−5x2
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【解答】解：根据折叠的过程，发现中间的长度有5个宽，
则在开始折叠时起点 M 与点 A 的距离为： 25−5x2 ，
故答案为： 25−5x2 ．
【分析】根据图形和中间的长度有5个宽，进行求解即可。
12．【答案】-1、-3、-5
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解： x2+4x+1x+2
=(x+2)2−3x+2
=x+2−3x+2
∵ 分式 x2+4x+1x+2 的值为整数，
∴x+2=±1 或 x=±3
∴x=−1 、 −3 、 −5 、 1
∴ x 的负整数值为 x=−1 、 −3 、 −5 ，
故答案为：-1、-3、-5．
【分析】先化简分式，再根据分式的值为整数求出x的值，最后判断求解即可。
13．【答案】“SSS”，全等三角形的对应角相等，两点确定一条直线
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作法得OD=OE，DC=EC，
而OC为公共边，
∴△OCD≌△OCE，
∴∠DOC=∠EOC，
即射线OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
故答案为“SSS”，全等三角形的对应角相等，两点确定一条直线．
【分析】根据全等三角形的判定方法和性质进行作答即可。
14．【答案】（1）解： (x−y)(x+3y)−x(x+2y)
=x2+3xy−xy−3y2−x2−2xy
=−3y2
（2）解： ∠A 与 ∠C 互补，理由如下，
∵∠ABE 是四边形 ABCD 的一个外角
∴∠ABE+∠ABC=180°
∵∠ABE=∠D
∴∠D+∠ABC=180°
∵∠A+∠ABC+∠C+∠D=360°
∴∠A+∠C=180°
∴∠A 与 ∠C 互补
【知识点】整式的混合运算；邻补角
【解析】【分析】（1）根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，进行计算求解即可；
（2）先求出∠ABE+∠ABC=180°，再求出∠A+∠C=180°，进行作答即可。
15．【答案】解：∵A 、 B 关于 y 轴对称，
∴2a−b+2b−1=05+a=−a+b ，
解得
a=−1b=3 ，
∴(4a+b)2020 = (−4+3)2020=1
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特点计算求出 ，再代入代数式计算求解即可。
16．【答案】解： (1−2a−1a2)÷a2−1a2+a
= (a2−2a+1a2)×a(a+1)(a+1)(a−1)
= (a−1)2a2×a(a+1)(a+1)(a−1)
= a−1a ；
∵a=(12)−1 ，
∴a=2，
∴原式= 2−12
=12
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简分式得到 ，再求出a=2，代入计算求解即可。
17．【答案】（1）解：如图：（1）三角形ABC即为所求；
（2）解：直线DE即为所求．
【知识点】作图-三角形；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据直角作图即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质作图即可。
18．【答案】解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝ 12 ∠BAC＝40°，
∵AD＝AB，
∴∠BDA＝ 12 ×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠E＝∠BDA﹣∠CAD＝70°﹣40°＝30°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】先求出 ∠BAD＝∠CAD＝ 12 ∠BAC＝40°， 再根据三角形的内角和等于180°，进行计算求解即可。
19．【答案】（1）解：设 B 消毒液的单价为 x 元，则 A 消毒液的单价为 (x+40) 元，根据题意得：
3200x=2×2400x+40
解得： x=80
经检验， x=80 是所列分式方程的解，且符合题意．
则 A 消毒液的单价为 x+40=120 （元）
A 消毒液的单价为120元， B 消毒液的单价80元
（2）解：设购买 A 消毒液 y 桶，则购买 A 消毒液 (70−y) 桶元，根据题意得：
120y+80(70−y)≤6800
解得： y≤30
答：最多购买 A 消毒液30桶
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）根据 A 消毒液的单价比 B 消毒液的单价多40元 ，列方程求解即可；
（2）根据学校准备用不多于6800元的资金购买 A 、 B 两种消毒液共70桶，列不等式，再计算求解即可。
20．【答案】（1）证明： ∵△ABC 与 △ADG 均为等边三角形，
∴∠BAC=∠DAG=60° ， AB=BC=AC,AD=DG=AG
∵GE=AC
∴ GE=AB
在 △DAB 与 △AGE 中，
AD=AG∠BAD=∠EGAAB=GE
∴△ABD≅ △GEA(SAS)
（2）证明： ∵△ABC 与 △ADG 均为等边三角形，
∴∠ABC=∠AGD=60°
∴GE//BC
∴∠EFC=∠GEF
∵△ABD≅ △GEA(SAS)
∴∠ABD=∠GEA
若 △AEF 是等边三角形，
∴∠ABC=∠AEF=60°
∴∠ABC−∠ABD=∠AEF−∠GEA
即 ∠DBF=∠GEF
∴∠DBF=∠EFC
∴BD//EF
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先求出GE=AB，再根据SAS证明三角形全等即可；
（2）先求出GE//BC，再根据全等三角形的性质和等边三角形进行作答即可。
21．【答案】（1）a2﹣b2；（a＋b）（a﹣b）
（2）（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（3）解：20202﹣2019×2021
＝20202﹣（2020﹣1）×（2020＋1）
＝20202﹣（20202﹣1）
＝20202﹣20202＋1
＝1．
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得：S₁＝a2﹣b2，S₂＝（a＋b）（a﹣b）
故答案为：a2﹣b2，（a＋b）（a﹣b）；
（2）以上结果可以验证的乘法公式是a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b）．
故答案为：（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【分析】（1）根据图形求面积即可；
（2）根据面积相等进行作答即可；
（3）利用平方差公式进行计算求解即可。
22．【答案】（1）解：如图，连接OP、OR、PR，分别交AB、BC与点E、F，
∵ P、R分别为点 O 关于直线 AB 、 BC 对称的点，
∴OE⊥AB,BC⊥OR ，
∴∠OEB=90°,∠OFB=90° ，
∵∠ABC=60° ，
∴∠POR=360°−90°−90°−60°=120°
（2）解：如图1，连接PB、BR、PR，易知 PR≤PB+BR ，
如图2，当P、B、R三点共线时，PR有最大值=PB+BR，
∵ P、B、R三点共线，
∴ P、O、R构成三角形，
∵ P 、 R 分别为点 O 关于直线 AB 、 BC 对称的点，
∴ OB=BP，OB=BR， ∠OEB=∠OFB=90° ，
∴∠P=∠POB ， ∠R=∠BOR ，
∵∠P+∠R+∠POR=180° ，
∴∠P+∠R+∠POB+∠BOR=180° ，
∴∠P+∠R=90° ，
∴∠POR=90° ，
∴∠ABC=360°−90°−90°−90°=90° ，
∴∠A+∠C=180°−90°=90° ，
∴ 当 PR 的值最大时， ∠A 与 ∠C 需要满足 ∠A+∠C=90°
【知识点】三角形内角和定理；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）根据对称求出OE⊥AB，BC⊥OR，再计算求解即可；
（2）先作图，再根据 P、B、R三点共线求最大值。
23．【答案】（1）能
（2）22.5
（3）2θ；3θ；4θ
（4）解：∵根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，
∴5θ≥90°4θ<90°，
解得， 18°≤θ<22.5°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】（1）∵角的两边为两条射线，没有长度限制，
∴小棒可以无限摆下去；
（2）∵AA1=A1A2=A2A3=1 ， A1A2⊥A2A3 ，
∴△AA1A2 为等腰三角形， ∠a1=45° ，
∴θ=12∠a1=22.5° ；
（3）∵A1A2=AA1=A2A3=A3A4 ，,
∴θ1=∠A2A1A3=∠A2A3A1=2θ ，
∴θ2=∠A2A3A1+θ=2θ+θ=3θ ，
∴θ3=∠A2A4A3+θ=3θ+θ=4θ ；
【分析】根据图形找出规律，再结合三角形内角和定理和等腰三角形的性质进行求解即可。