高中数学人教A版 (2019)选择性必修第一册1.1 空间向量及其运算教课课件ppt

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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修第一册1.1 空间向量及其运算教课课件ppt，共18页。PPT课件主要包含了a·a也记作a2，结果为数值，知识点3投影，不能向量没有除法，角转化，取向量，求余弦值，定结果等内容，欢迎下载使用。

1.理解空间向量数量积的概念
2.掌握空间向量数量积的运算律,能运用数量积求向量夹角和判断向量的垂直
知识点1：空间向量的夹角及其表示
思考：类比平面向量的数量积，你能得出空间向量的数量积相关知识吗？
通常规定，0≤≤π.这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且=.
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs叫做a，b的数量积，记作a·b.
特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
a·a= |a||a|cs=|a|2.
即a·b=|a||b|cs.
知识点2：空间向量的数量积
思考：类比平面向量的投影，在空间，向量a向向量b的投影有什么意义？向量a向直线l的投影呢？向量a向平面β的投影呢？
在空间,向量a向向量b投影,由于它们是自由向量,因此可以将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c，
向量c称为向量a在向量b上的投影向量.
类似地,可以将向量a向直线l投影.
向量的数量积运算类似于多项式运算，平方差公式、完全平方公式、十字相乘的均成立.
(λa)・b=λ(a・b)，λ∈R
a・(b+c)=a・b+a・c(分配律)
a・b=b・a(交换律)
知识点4：空间向量数量积的运算律
思考1:对于向量a,b,c,由a・b=a・c能得到b=c吗?如果不能,请举出反例.
不能.数量积运算不满足消去律，例如a=0
思考3:对于向量a,b,c,(a・b)c=a(b・c)成立吗?也就是说,向量的数量积满足结合律吗?
数量积运算不满足结合律．数量积的运算只满足交换律，分配律及数乘结合律，但不满足乘法结合律，即(a・b)c不一定等于a(b・c)．这是由于(a・b)c表示一个与c共线的向量，而a(b・c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：
异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量的夹角求分弦值应将余弦值加上绝对值，继而求角的大小．
利用数量积求向量夹角的余弦值或夹角的大小；
异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；
根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；
所以AC'≈13.3.
利用空间向量求线段的长度或两点的距离：
(2)用已知模和夹角的向量表示该向量；
(1)结合图形将所求线段用向量表示；
(3)利用，通过计算求出，即得所求线段的长度或两点间的距离．
例3：如图m，n是平面α内的两条相交直线，直线l与α的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α.
分析：要证明l⊥α,就是要证明l垂直于α内的任意内的任意一条直线g(直线与平面垂直的定义).如果我们能在g和m,n之间建立某种联系,并由l⊥m,l⊥n,得到l⊥g,那么就能解决此问题.
证明：在平面α内作任意一条直线g,分别在直线l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g.
例2：如图m，n是平面α内的两条相交直线，直线l与α的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α.
因为直线m与n相交,所以向量m,n不平行.由向量共面的充要条件可知,存在唯一的有序买数对(x,y),使 g=xm+yn.
将上式两边分别与向量l作数量积运算,得l · g=xl·m+yl·n.
因为l·m=0,l·n=0,所以l · g=0.所以l⊥g.
这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线,所以l⊥α.
利用数量积证明垂直问题：
(3)利用数量积运算完成判定．
(2)用已知向量表示未知向量．
(1)将所证明垂直的线段设为向量．

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