九年级数学下册 第二十七章 相似自主检测 （新版）新人教版(附答案)

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第二十七章 相似自主检测(满分：120分　时间：100分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．已知△MNP如图27­1，则下列四个三角形中与△MNP相似的是(　　)图27­1　　　　　 　　　　　A　　　　　　　　B C　　　　　 　D2．△ABC和△A′B′C′是位似图形，且面积之比为1∶9，则△ABC和△A′B′C′的对应边AB和A′B′的比为(　　)A．3∶1 B．1∶3 C．1∶9 D．1∶273．下列命题中正确的有(　　)①有一个角等于80°的两个等腰三角形相似；②两边对应成比例的两个等腰三角形相似；③有一个角对应相等的两个等腰三角形相似；④底边对应相等的两个等腰三角形相似．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．在△ABC中，BC＝15 cm，CA＝45 cm，AB＝63 cm，另一个和它相似的三角形的最短边长是5 cm，则最长边长是(　　)A．18 cm B．21 cm C．24 cm D．19.5 cm5．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果AD∶BC＝1∶3，那么下列结论中正确的是(　　)A．S△OCD＝9S△AOD B．S△ABC＝9S△ACDC．S△BOC＝9S△AOD D．S△DBC＝9S△AOD6．如图27­2，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF＝DE，连接CF，则S△CEF∶S四边形BCED的值为(　　)A．1∶3 B．2∶3 C．1∶4 D．2∶5 图27­2 图27­37．如图27­3，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝(　　)A．7　 B．7.5 C．8　 D．8.58．如图27­4，身高1.6 m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2 m，CA＝0.8 m，则树的高度为(　　)图27­4A．4.8 m B．6.4 m C．8 m D．10 m9．如图27­5，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是(　　)A.eq \f(AB,AD)＝eq \f(AC,AE) B.eq \f(AB,AD)＝eq \f(BC,DE)C．∠B＝∠D D．∠C＝∠AED 图27­5 图27­610．如图27­6，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，∠BDA＝90°，若AB＝a，BD＝b，CD＝c，BC＝d，AD＝e，则下列等式成立的是(　　)A．b2＝ac　 B．b2＝ceC．be＝ac D．bd＝ae二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)11．已知线段a＝1，b＝eq \r(2)，c＝eq \r(3)，d＝eq \r(6)，则这四条线段________比例线段(填“成”或“不成”)．12．在比例尺1∶6 000 000的地图上，量得南京到北京的距离是15 cm，这两地的实际距离是______km.13．如图27­7，若DE∥BC，DE＝3 cm，BC＝5 cm，则eq \f(AD,BD)＝________.图27­714．△ABC的三边长分别为2，eq \r(2)，eq \r(10)，△A1B1C1的两边长分别为1和eq \r(5)，当△A1B1C1的第三边长为________时，△ABC∽△A1B1C1.15．如图27­8，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶eq \r(2)，则这两个四边形每组对应顶点到位似中心的距离之比是__________． 图27­8 图27­916．如图27­9，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，且DE⊥AC于点O，则eq \f(CD,AD)＝________.三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题6分，共18分)17．如图27­10，在▱ABCD中，EF∥AB，FG∥ED，DE∶EA＝2∶3，EF＝4，求线段CG的长．图27­1018．如图27­11，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝7，点D在BC的延长线上，且△ACD∽△BAD，求CD的长．图27­1119．如图27­12，在水平桌面上有两个“E”，当点P1，P2，O在同一条直线上时，在点O处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力相同．(1)图中b1，b2，l1，l2满足怎样的关系式？(2)若b1＝3.2 cm，b2＝2 cm，①号“E”的测试距离l1＝8 cm，要使测得的视力相同，则②号“E”的测试距离应为多少？图27­12四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题7分，共21分)20．如图27­13，在△ABC中，已知DE∥BC.(1)△ADE与△ABC相似吗？为什么？(2)它们是位似图形吗？如果是，请指出位似中心．图27­1321．如图27­14，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF与直线CD延长线交于点G.求证：BC2＝BG·BF.图27­1422．如图27­15，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形．(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB?(2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．图27­15五、解答题(三)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)23．如图27­16，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.已知OA＝3，AE＝2.(1)求CD的长；(2)求BF的长．图27­1624．如图27­17，学校的操场上有一旗杆AB，甲在操场上的C处竖立3 m高的竹竿CD；乙从C处退到E处恰好看到竹竿顶端D与旗杆顶端B重合，量得CE＝3 m，乙的眼睛到地面的距离FE＝1.5 m；丙在C1处竖立3 m高的竹竿C1D1，乙从E处后退6 m到E1处，恰好看到两根竹竿和旗杆重合，且竹竿顶端D1与旗杆顶端B也重合，量得C1E1＝4 m．求旗杆AB的高．图27­1725．如图27­18，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，过点B作射线BB1∥AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于点H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于点F，G是EF中点，连接DG.设点D运动的时间为t秒．(1)当t为何值时，AD＝AB，并求出此时DE的长度；(2)当△DEG与△ACB相似时，求t的值．图27­18第二十七章自主检测1．C　2.B　3.A　4.B　5.C　6.A　7.B　8.C　9.B10．A　解析：∵CD∥AB，∴∠CDB＝∠DBA.又∵∠C＝∠BDA＝90°，∴△CDB∽△DBA.∴eq \f(CD,DB)＝eq \f(BC,AD)＝eq \f(BD,AB)，即eq \f(c,b)＝eq \f(d,e)＝eq \f(b,a).A．b2＝ac，成立，故本选项正确；B．b2＝ac，不是b2＝ce，故本选项错误；C．be＝ad，不是be＝ac，故本选项错误；D．bd＝ec，不是bd＝ae，故本选项错误．11．成　12.900　13.eq \f(3,2)　14.eq \r(2)15．1∶eq \r(2)16.eq \f(\r(2),2)　解析：∵DE⊥AC，BC∥AD，∠ADC＝90°，∴∠ACB＝∠EDC.又∵∠ABC＝∠ECD＝90°，∴△ACB∽△EDC.∴eq \f(AB,CE)＝eq \f(BC,CD).∵AB＝CD，BC＝AD，∴CD＝eq \r(CE·AD)＝eq \r(2)CE.∴eq \f(CD,AD)＝eq \f(\r(2)CE,2CE)＝eq \f(\r(2),2).17．解：∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB.又∵DE∶EA＝2∶3，∴DE∶DA＝2∶5.∴eq \f(EF,AB)＝eq \f(DE,DA)＝eq \f(4,AB)＝eq \f(2,5).∴AB＝10.又∵FG∥ED，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形．∴DG＝EF＝4.∴CG＝CD－DG＝AB－DG＝10－4＝6.18．解：∵△ACD∽△BAD，∴eq \f(CD,AD)＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(AD,BD)＝eq \f(6,8)＝eq \f(3,4).∴AD＝eq \f(3,4)BD，AD＝eq \f(4,3)CD.∴16CD＝9BD.又∵BD＝7＋CD，∴16CD＝9×(7＋CD)，解得CD＝9.19．解：(1)因为P1D1∥P2D2，所以△P1D1O∽△P2D2O.所以eq \f(P1D1,P2D2)＝eq \f(D1O,D2O)，即eq \f(b1,b2)＝eq \f(l1,l2).(2)因为eq \f(b1,b2)＝eq \f(l1,l2)，b1＝3.2 cm，b2＝2 cm，l1＝8 m，所以eq \f(3.2,2)＝eq \f(8,l2).所以l2＝5 m.20．解：(1)△ADE与△ABC相似．∵平行于三角形一边的直线和其他两边相交，交点与公共点所构成的三角形与原三角形相似．即由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC.(2)是位似图形．由(1)知：△ADE∽△ABC.∵△ADE和△ABC的对应顶点的连线BD，CE相交于点A，∴△ADE和△ABC是位似图形，位似中心是点A.21．证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又∵CD⊥AB于点D，∴∠BCD＝∠A.又∵∠A＝∠F(同弧所对的圆周角相等)，∴∠F＝∠BCD＝∠BCG.在△BCG和△BFC中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠BCG＝∠F，,∠GBC＝∠CBF，))∴△BCG∽△BFC.∴eq \f(BC,BF)＝eq \f(BG,BC).即BC2＝BG·BF.22．解：(1)∵△PCD是等边三角形，∴∠ACP＝∠PDB＝120°.当eq \f(AC,PD)＝eq \f(PC,DB)，即eq \f(AC,CD)＝eq \f(CD,DB)，也就是当CD2＝AC·DB时，△ACP∽△PDB.(2)∵△ACP∽△PDB，∴∠A＝∠DPB.∴∠APB＝∠APC＋∠CPD＋∠DPB＝∠APC＋∠CPD＋∠A＝∠PCD＋∠CPD＝120°.23．解：(1)如图D100，连接OC，在Rt△OCE中，图D100CE＝eq \r(OC2－OE2)＝eq \r(9－1)＝2 eq \r(2).∵CD⊥AB，∴CD＝2CE＝4 eq \r(2).(2)∵BF是⊙O的切线，∴FB⊥AB.∴CE∥FB.∴△ACE∽△AFB.∴eq \f(CE,BF)＝eq \f(AE,AB)，eq \f(2 \r(2),BF)＝eq \f(2,6).∴BF＝6 eq \r(2).24．解：如图D101，连接F1F，并延长使之与AB相交，设其与AB，CD，C1D1分别交于点G，M，N，设BG＝x m，GM＝y m.∵DM∥BG，∴△FDM∽△FBG.∴eq \f(DM,BG)＝eq \f(FM,FG)，则eq \f(1.5,x)＝eq \f(3,3＋y).　①又∵ND1∥GB，∴△F1D1N∽△F1BG.∴eq \f(D1N,BG)＝eq \f(F1N,F1G)，即eq \f(1.5,x)＝eq \f(4,y＋6＋3).　②联立①②，解方程组，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝15.))故旗杆AB的高为9＋1.5＝10.5(m)．图D10125．解：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝eq \r(32＋42)＝5.∵AD＝5t，CE＝3t，∴当AD＝AB时，5t＝5，∴t＝1.∴AE＝AC＋CE＝3＋3t＝6，∴DE＝6－5＝1.(2)∵EF＝BC＝4，点G是EF的中点，∴GE＝2.当ADAEeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(即t>\f(3,2)))时，DE＝AD－AE＝5t－(3＋3t)＝2t－3.若△DEG∽△ACB，则eq \f(DE,EG)＝eq \f(AC,BC)或eq \f(DE,EG)＝eq \f(BC,AC)，∴eq \f(2t－3,2)＝eq \f(3,4)或eq \f(2t－3,2)＝eq \f(4,3).∴t＝eq \f(9,4)或t＝eq \f(17,6).综上所述，当t＝eq \f(1,6)或eq \f(3,4)或eq \f(9,4)或eq \f(17,6)秒时，△DEG∽△ACB.