【寒假作业】沪教版2020 高中数学 高二寒假巩固提升训练 专题08+椭圆（三大核心考点七种题型）-练习.zip

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思维导图
核心考点聚焦
考点一．椭圆的定义
考点二．椭圆的标准方程
考点三．椭圆的离心率
考点一．椭圆的定义
1．椭圆的第一定义
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距．
2．椭圆的第二定义
平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e＝（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率．
3．注意要点椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a （a＞0）}．
（1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆；
（2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2；
（3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹．
【注意】椭圆定义中的限制条件：只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a＞|F1F2|时，其轨迹才为椭圆．
考点二．椭圆的标准方程
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
考点三．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
椭圆的定义（共2小题）
1．（2022春•黄浦区期中）如图，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆
C．一条直线D．两条平行直线
2.（2023春·上海市财大附中高二第二学期期中）已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为____
椭圆的标准方程（共2 小题）
1.（2023春·上海市财大附中高二第二学期期中）椭圆与椭圆的（ ）
A. 长轴相等 B. 短轴相等 C. 焦距相等D. 长轴、短轴、焦距均不相等
2.（2023春·上海市三女中高二第二学期期中） 椭圆的焦点坐标为________.
椭圆几何性质的简单应用（共3小题）
1.（2023春·上海市财大附中高二第二学期期中）若椭圆的一个焦点为，则______．
2.（2023春·上海市财大附中高二第二学期期中）设是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小_____.
3.（2023春·上海市大同中学高二第二学期期中）设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是__________.
四．求椭圆的离心率（或范围）（共2小题）
1.（2023春·上海市嘉定一中高二第二学期期中）已知椭圆左右焦点分别为，椭圆存在一点，若，则椭圆的离心率取值范围为（ ）
A. B. C. D.
2.（2023春·上海市浦东新区高二第二学期期中） 如图所示，为完成一项探月工程，某月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则椭圆轨道Ⅱ的离心率为_________.（用R、r表示）
直线与椭圆（共4小题）
1.（2023春·上海市财大附中高二第二学期期中）已知、分别是椭圆的左、右焦点，是短轴的顶点，直线经过点且与交于、两点，若垂直平分线段，则的周长是______．
2（2023春·上海市财大附中高二第二学期期中）设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于、两点，则以下结论：①为定值；②的周长的取值范围是；
③当时，为直角三角形；④当时，的面积为．其中正确的是______．（填序号）
3.（2023春·上海市财大附中高二第二学期期中）已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与椭圆在第一象限交点为P，若为等腰三角形，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
4.（2023春·上海市大同中学高二第二学期期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，设P是第一象限内椭圆Γ上一点，、的延长线分别交椭圆Γ于点、，直线与交于点R．
（1）求的周长；
（2）当垂直于x轴时，求直线的方程；
（3）记与的面积分别为、，求的最大值．
椭圆的中点弦问题（共2小题）
1.（2023春·上海市大同中学高二第二学期期中）若椭圆的弦被点平分，则此弦所在直线的斜率为__________
2.（2023春·上海市三女中高二第二学期期中）已知焦点在轴上的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，则正数________.
椭圆有关的最值，定值问题（共2小题）
1.（2023春·上海市浦东新区高二第二学期期中）已知点M、N分别是椭圆上两动点，且直线的斜率的乘积为，若椭圆上任一点P满足，则的值为_________.
2.（2023春·上海市大同中学高二第二学期期中） 已知是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，若的最大值和最小值分别为和.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是轴正半轴上的一点，求的最大值.
一、单选题
1.（2023春·上海市三女中高二第二学期期中）椭圆和（ ）
A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 焦距相等D. 顶点相同
2.（2023春·上海市浦东新区高二第二学期期中） 已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定
二、填空题
1.（2023春·上海市三女中高二第二学期期中）P为椭圆上一点，为左右焦点，若，则的面积为_______.
2.（2023春·上海市嘉定一中高二第二学期期中）已知，为椭圆：的左右焦点，A为的上顶点，直线l经过点且与交于B，C两点；若l垂直平分线段，则△ABC的周长是___________.
3.（2023春·上海交大附中高二第二学期期中）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
4.（2022春·上海南洋模范中学高二第二学期期中）已知是椭圆上的一点，、是椭圆的两个焦点，且，则的面积是______.
三、解答题
1.（2023春·上海市华二附中高二第二学期期中）已知椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两个不同点、，以线段为直径的圆经过原点，求实数的值；
（3）设、为椭圆的左、右顶点，为椭圆上除、外任意一点，线段的垂直平分线分别交直线和直线于点和点，分别过点和作轴的垂线，垂足分别为和，求证：线段的长为定值．
2.（2023春·上海市建平中学高二第二学期期中）已知椭圆的左､右焦点分别为.椭圆上有互异的且不在轴上的三点满足直线经过，直线经过.
（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为，求的值；
（2）若点的坐标为的面积，求的值；
（3）若，直线经过点，求的坐标.
3.（2023春·上海交大附中高二第二学期期中）已知的三个顶点都在椭圆上.
（1）设它的三条线段，，的中点分别为，，，且三条边所在线的斜率分别为，且均不为0.点为坐标原点，若直线，，的斜率之和1.求证：为定值；
（2）当是的重心时，求证：的面积是定值；
（3）如图，设的边所在直线与轴垂直，垂足为椭圆右焦点，过点分别作直线与椭圆交于（不同于A，B两点），连接与分别交于，求证：.
4.（2023春·上海市浦东新区高二第二学期期中）已知椭圆的右顶点为，短轴长为是椭圆的两个焦点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P是椭圆C上的点，且，求△的面积；
（3）若过点且斜率不为0的直线l交椭圆C于M、N两点，O为坐标原点.问：x轴上是否存在定点T，使得恒成立.若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.
标准方程
（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在x轴上
（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在y轴上
图形
顶点
A（a，0），A′（﹣a，0）
B（0，b），B′（0，﹣b）
A（b，0），A′（﹣b，0）
B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴
x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b
焦点在长轴长上
x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b
焦点在长轴长上
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
离心率
e＝（0＜e＜1）
e＝（0＜e＜1）
准线
x＝±
y＝±