【寒假作业】沪教版2020 高中数学 高二寒假巩固提升训练 专题10+抛物线（五大核心考点五种题型）-练习.zip

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思维导图
核心考点聚焦
考点一．抛物线的定义
考点二．抛物线的标准方程
考点三．抛物线的几何性质
方法四．方法技巧
考点五．二级结论
考点一．抛物线的定义
1、定义：我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
2、焦点：定点F叫做抛物线的焦点.
3、准线：直线l叫做抛物线的准线.
4、集合表示：.
5、注意事项：
（1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．
（2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质．
考点二．抛物线的标准方程
1、推导过程
如图，以过F且垂直于的直线为x轴，垂足为K．以F，K的中点O为坐标原点建立直角坐标系．
设（），那么焦点F的坐标为，准线l的方程为．
设点是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合
，
将上式两边平方并化简，得．①
方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是．
2、抛物线标准方程的四种形式：
根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式
知识点诠释：
①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；
②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下）
③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线的一次项的系数为，故其焦点坐标是．
④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数．用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论．
⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况．
考点三．抛物线的几何性质
考点四．方法技巧
由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法
1、已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意；
2、焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴。
直线与抛物线的位置关系
1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：
相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）.
2、以抛物线与直线的位置关系为例：
（1）直线的斜率不存在，设直线方程为，
若，直线与抛物线有两个交点；
若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；
若，直线与抛物线没有交点.
（2）直线的斜率存在.
设直线，抛物线，
直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数，
即二次方程（或）解的个数.
①若，
则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点；
当时，直线与抛物线相切，有个公共点；
当时，直线与抛物线相离，无公共点.
②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点.
考点五．二级结论
1、点与抛物线的关系
（1）在抛物线内（含焦点）．
（2）在抛物线上．
（3）在抛物线外．
x
y
O
F
A
B
M
N
α
2、的几何意义
为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．
3、焦点弦
若为抛物线的焦点弦，，，则有
以下结论：
（1）．（2）．
（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．
焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．
（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．
（5）；
（6）以弦为直径的圆与准线相切，以或者为直径的圆与轴相切；
（7）过焦点弦端点的两条切线互相垂直且交点在准线上；
（8）三点共线，三点共线．
4、抛物线中的点差法
已知直线与交于两点，中点
将两点代入抛物线方程，，
，即．
结论①：在抛物线中，弦中点与斜率的关系式为：；
结论②：抛物线上一点处的切线方程为：，斜率（存在时）；
结论③：过抛物线外一点引抛物线的两条切线，切点弦的方程为：．
结论④弦长公式：
结论⑤直线AB的方程为
结论⑥线段AB的垂直平分线方程为
抛物线的定义（共2小题）
1.（2023春·上海市复旦附中高二第二学期期中）已知直线和直线，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为__________.
【答案】
【分析】利用抛物线的定义将距离和最小值转化为点到直线的距离求解即可.
【详解】直线为抛物线的准线，为抛物线的焦点，
过点作于，作于，过作于，
由抛物线的定义可得，
，当三点共线时等号成立，
又，
即动点到直线和的距离之和的最小值为.故答案为：.
2.（2023.4 上海市虹口区二模 ）抛物线上的点到其焦点的距离为________.
【答案】5
【分析】确定抛物线的准线为，，再计算距离即可.
【详解】抛物线的准线为，则，故，
到焦点的距离等于到准线的距离，为.故答案为：
抛物线的标准方程（共1小题）
1.（2023春·上海市奉贤中学高二第二学期期中）设抛物线的准线方程为__________.
【答案】
【分析】由题意结合抛物线的标准方程确定其准线方程即可.
【详解】由抛物线方程可得，则，故准线方程为.故答案为．
抛物线几何性质的简单应用（共2小题）
1.（2023.4 上海市黄埔区二模）以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为__________.
【答案】
【分析】求出抛物线焦点坐标和准线方程，确定圆心和半径，从而求出圆的标准方程.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为：，
∴以抛物线的焦点为圆心，并且与此抛物线的准线相切的圆的半径是2，
∴圆方程为；，故答案为：.
2.（2023.4 上海市闵行区二模）已知抛物线：，圆：，点M的坐标为，P、Q分别为、上的动点，且满足，则点P的横坐标的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】求出圆的圆心、半径，设出点P的坐标，利用圆的性质得出，结合已知建立不等式，求解作答.
【详解】圆：的圆心，半径，设点，有，
依题意，，当且仅当三点共线时取等号，而，
即有，于是，
即，整理得，解得，
所以点P横坐标的取值范围是.故答案为：
四．直线与抛物线（共2小题）
1.（2023春·上海市复旦附中高二第二学期期中）是关于的二次方程的两个不同实数根，则经过两点，的直线与抛物线公共点的个数是（ ）
A. 2B. 1C. 0D. 不确定
【答案】A
【分析】先利用二次方程根与系数的关系求出，然后代入经过两点，的直线方程，整理后可得直线恒过定点，根据定点和抛物线的关系可得直线与抛物线的公共点个数.
【详解】是关于的二次方程的两个不同实数根,
,
又，得或，且，
经过两点，的直线为，整理得
即
该直线恒过点，且斜率不为零，
根据图像可得直线与抛物线公共点的个数是，故选：A.
2.（2022秋•宝山区期末）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交抛物线C于P、Q两点：①抛物线C的准线为；②直线AB与抛物线C相切；③|OP|•|OQ|＞|OA|2；④|BP|•|BQ|＝|BA|2，以上结论中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【答案】B
【分析】由抛物线的性质，结合直线与抛物线的位置关系逐一判断即可得解．
【详解】解：已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，
则2p＝1，即p＝，即抛物线C的方程为x2＝y，
对于①，由抛物线方程可得抛物线C的准线为，即①错误；
对于②，由A（1，1），B（0，﹣1），则直线AB的方程为y＝2x﹣1，联立，则x2﹣2x+1＝0，则Δ＝0，即直线AB与抛物线C相切，即②正确；
对于③，由题意可得直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx﹣1，联立，消y得x2﹣kx+1＝0，则Δ＝k2﹣4＞0，即k2＞4，设，，则x1+x2＝k，x1x2＝1，则|OP||OQ|＝＝＝，又|OA|2＝12+12＝2，即|OP|•|OQ|＞|OA|2，即③正确；
对于④，×＝，又|AB|2＝（1﹣0）2+（1+1）2＝5，即|BP|•|BQ|＞|BA|2，即④错误，故选：B．
五．抛物线有关的最值，定值问题及综合应用（共2小题）
1.（2023春·上海交大附中高二第二学期期中）已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】要使最小，则需最大，根据抛物线的定义可得，，然后整理换元转化为二次函数求最值.
【详解】如图，设圆心为，则为抛物线的焦点，
该抛物线的准线方程为，设，由抛物线的定义得，要使最小，则需最大，
如图，最大时，经过圆心，且圆的半径为1，
，且，
所以，令，则，
所以，由，
而，得，取得最小值，则的最小值为．
故选：B．
2.（2023春·上海交大附中高二第二学期期中）已知F是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点．
（1）是一个定点，求的最小值：
（2）若焦点F是的垂心，求点A、B的坐标
【答案】（1） （2）或
【分析】（1）由抛物线的定义，得，结合图形得最小值；
（2）垂心为三条高线的交点，由对称性知关于轴对称，设点，再利用垂直关系建立方程求解坐标.
【详解（1）】由抛物线知焦点，准线，
过作，垂足为，过点作，垂足为，，
由抛物线的定义，，
当且仅当三点共线时取等号，此时，
所以的最小值为.
【详解（2）】由焦点是垂心，则，
即关于轴对称，且，
设，由，
得，化简得，解得，
所以点的坐标为或.
一、单选题
1.抛物线的焦点到准线的距离是（ ）.
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据抛物线定义求解
【详解】由抛物线方程知：，即，根据抛物线定义知：焦点到准线的距离是.
2.抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）
A．B．C．D．0
【答案】B
【分析】化为标准式，根据抛物线定义求解
【详解】设，由抛物线方程化为，得焦点，准线，
由抛物线定义可得，解得.
3.动点满足方程，则点M的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】D
【分析】对方程进行变形，然后根据几何意义求解
【详解】由得，
等式左边表示点和点的距离，等式的右边表示点到直线的距离，
整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等，
且点不在直线上，所以其轨迹为抛物线.
二、填空题
1.（2023春·上海市复旦附中高二第二学期期中）抛物线的准线方程是__________.
【答案】
【分析】根据抛物的标准方程，直接求出结果.
【详解】因为抛物线方程为，所以准线方程为，故答案：.
2.（2022秋•嘉定区期末）已知抛物线x2＝3y，动点A自原点出发，沿着y轴正方向向上匀速运动，速度大小为v．过A作y轴的垂线交抛物线于B点，再过B作x轴的垂线交x轴于C点．当A运动至（0，100）时，点C的瞬时速度的大小为 ．
【答案】
【分析】根据题意对函数y＝x2求导数，求出抛物线在该点处沿y轴正方向向和沿x轴正方向的瞬时速度比值，再根据v求出点C的瞬时速度大小．
【详解】因为抛物线x2＝3y，所以y＝x2，所以y′＝x；
当y＝100时，x＝10，所以y′＝×10＝；
又因为抛物线在该点处沿y轴正方向向和沿x轴正方向的瞬时速度比值为＝＝，
所以vx＝＝v，即点C的瞬时速度大小为v．故答案为：v．
三、解答题
1.（2023春·上海市复旦附中高二第二学期期中）已知拋物线的方程为.
（1）求过点且与抛物线只有一个公共点的直线的方程；
（2）已知直线过焦点，且与抛物线交于A，两点，点为该抛物线准线上一点，求证：
【答案】（1），和； （2）证明见解析．
【分析】（1）考虑直线斜率不存在和与抛物线对称轴平行的直线，再在斜率存在时，设方程，由它与抛物线相切得结论．
（2）直线方程为，设，设，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理，代入计算可得．
【小问1详解】
显然直线和直线都是与抛物线只有一个公共点，
再设直线方程为，代入抛物线方程得，
由得，直线方程为，它与抛物线相切．只有一个公共点．
所以所求直线方程为，和；
【小问2详解】
由已知抛物线焦点为，设直线方程为，设，
由得，，，
准线方程是，设，
所以
．
2.（2023春·上海市杨浦高中高二第二学期期中）已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点P作抛物线的两条切线、，其中A、B为切点，设直线、的斜率分别为、．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若点P的纵坐标为1，计算的值；
（3）求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标．
【答案】（1） （2） （3）证明见解析，
【分析】（1）根据抛物线焦点坐标即可求出抛物线的标准方程；
（2）设出切线方程，与抛物线联立，得到关于斜率k的方程，求解即可.
（3）求出所满足的方程即可得到直线方程，再求出其恒过的顶点坐标.
【详解（1）】因为抛物线的顶点为原点，焦点在x轴上，
所以设抛物线方程为，
因为为焦点，所以，
所以抛物线方程为.
【详解（2）】抛物线方程为，所以其准线方程为，
点是抛物线的准线上点，且纵坐标为1，所以
过作抛物线切线，由题知斜率存在且不为0，设其斜率为k，
则切线方程为，
联立，
，其两根，
所以.
【详解（3）】设点、，
下面证明抛物线在其上一点处的切线方程为，
联立可得，
即，即，
解得，所以，抛物线在其上一点处的切线方程为，
同理可知，抛物线在其上一点处切线方程为，
将点的坐标代入切线、的方程可得，即，
所以，点、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，
由可得，所以，直线过定点.
3.（2023.4 上海市宝山区二模）已知抛物线：．
（1）求抛物线的焦点F的坐标和准线的方程；
（2）过焦点F且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点A、B，求线段AB的长；
（3）已知点，是否存在定点Q，使得过点Q的直线与抛物线交于两个不同的点M、N（均不与点Р重合），且以线段MN为直径的圆恒过点P？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的焦点，准线. （2）20 （3）存在，
【分析】（1）根据抛物线的方程求焦点和准线；
（2）根据题意可得直线AB的方程，联立方程，理由韦达定理结合抛物线的定义分析运算；
（3）设直线MN，联立方程，根据题意可得，结合韦达定理分析运算.
【详解（1）】∵抛物线：，则，且焦点在轴正半轴，
故抛物线的焦点，准线.
【详解（2）】由（1）可得：，可得直线，
设，
联立方程，消去y得，
可得，
故.
【详解（3）】存在，理由如下：
设直线，
联立方程，消去x得，
则，
可得，
若以线段MN为直径的圆恒过点P，则，
可得

，
可得或，
若，则，可得直线，
过定点，与点重合，不合题意；
若，则，此时，
可得直线，过定点；
综上所述：直线过定点.
标准方程
图形
焦点坐标
准线方程
标准方程
图象
x
y
O
F
M
P
x
y
O
F
M
P
x
y
O
F
M
P
x
y
O
F
M
P
焦点
准线方程
范围
顶点
原点
对称轴
轴
轴
通径
通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径．
刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄．
设为抛物线上一点
焦半径
设过焦点的直线与抛物线交于两点
焦点弦
离心率