【寒假作业】沪教版2020 高中数学 高二寒假巩固提升训练 专题04+点到直线的距离-练习.zip

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一．两点间的距离
1.两点间的距离公式
平面上任意两点间的距离公式为.
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离．
2．两点间距离公式的推导
法一：已知平面上的任意两点，向量，则.
因此得到平面上的任意两点的距离公式为：.
法二：已知平面上的任意两点，如何求点间的距离?
如图，过点分别向y轴和x轴作垂线和，垂足分别为，，直线与相交于点Q．
在中，，过点向x轴作垂线，垂足为；过点向轴作垂线，垂足为，所以，同理可得．
所以．
由此得到平面上任意两点间的距离公式为．
二．对称问题
对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称．
1．点关于点对称
点关于点的对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题．
设点关于点M（a，b）的对称点为P′（x，y），则有，所以，即点．特别地，点P关于坐标原点O的对称点为．
2．点关于直线对称
对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为，则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系：
①（直线l的斜率存在且不为零）；
②线段的中点在直线l上；
③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即．
常见的点关于直线的对称点：
点关于x轴的对称点；
点关于y轴的对称点；
点关于直线y=x的对称点；
点关于直线y=−x的对称点；
点关于直线x=m（m≠0）的对称点；
点关于直线y=n（n≠0）的对称点．
三．点到直线的距离
1．点到直线的距离
点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足．实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的最小值．
2．点到直线的距离公式
平面上任意一点到直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的距离为．
3．点到直线的距离公式的推导
如图，设，则直线l与x轴和y轴都相交，过点分别作x轴和y轴的平行线，交直线l于R和S，则直线的方程为，R的坐标为；直线的方程为，S的坐标为，
于是有，，
．
设，由三角形面积公式可得，
于是得．
因此，点到直线l：Ax+By+C=0的距离．
可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式也成立．
【点拨】用向量法推导点P到直线l的距离|PQ|公式的向量法推导，在直线上取任意一点M，与直线方向向量垂直的单位向量为n，则有 ，所以有.
四．点到直线的距离问题
（1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．
（2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x=a或y=b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成或．
（3）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．
一．两点间的距离（共3小题）
1.若过点A(3，a)和点B(4，b)的直线与y＝2x＋3平行，则|AB|的值为（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】先根据过点A(3，a)和点B(4，b)的直线与y＝2x＋3平行求得a与b的关系，再利用两点间的距离公式求解.
【详解】由题意得＝2，即b－a＝2.
所以|AB|＝.
2.设x，，，，且，则点到点的最短距离是（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】D
【分析】根据得出x，y的关系，代入两点间的距离公式，配方得出答案.
【详解】，，即，.
点到点的距离为.
3.在平面直角坐标平面内有四点，，，，为该平面内的动点，则到、、、四点的距离之和的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据和可知当为两条对角线的交点时，到、、、四点的距离之和取得最小值，经计算可得结果.
【详解】依题意，四点，，，构成一个四边形，
因为，当且仅当在对角线上时取得等号，
因为，当且仅当在对角线上时取得等号，
所以，
当且仅当为两条对角线的交点时取得等号.
故到、、、四点的距离之和的最小值为
二．对称问题（共3小题）
1.已知点，，直线，在直线l上找一点P使得最小，则这个最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出A关于直线的对称点，根据两点之间直线最短进行求解即可.
【详解】设A关于直线的对称点的坐标为，
则，
∴最小．
2.已知，，动点P在直线上，当取最小值时，点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据两点之间线段最短，先求点关于直线对称的点，可得
，当A、P、三点共线时,得答案.
【详解】点B关于直线对称的点为．
,
当且仅当当A、P、三点共线时，等号成立．
此时取最小值，直线的方程为，
即，令，得．
所以点P的坐标为：
3.如图，一束平行光线从原点出发，经过直线反射后通过点，求反射光线所在的直线的方程.
【答案】y=3
【分析】作出入射光线关于直线l的对称光线AQ，求得对称点A点坐标，又该对称光线经过点P，进而求解得反射光线直线方程
【详解】如图，过原点关于的对称点的坐标为，由直线与垂直和线段的中点在上.得，解得，所以点的坐标为，因为反射光线的反向延长线过，又因为反射光线过，所以两点纵坐标相等，故反射光线所在直线的方程为.
三．求点到直线的距离（共2小题）
1.（2023春·上海市松江区·阶段练习）斜率为的直线过点为直线的一个法向量，坐标平面上的点满足条件，则点到直线的距离为 .
【答案】1
【分析】根据条件求向量在法向量上的投影数量的绝对值即可.
【详解】，即在上的数量投影的绝对值等于1，所以点到直线的距离为1.故答案为：1
2．（2023春上海市·徐汇·一模）已知正实数满足，则的最小值 .
【答案】
【分析】利用代数式和几何图形的关系，将问题转化为距离之和的最小值即可求解.
【详解】设直线，点在直线上，且在第一象限，
设点，
所以，
如图所示，
点A关于直线对称的点设为，
则有解得，
所以，由图可知，当在直线时，
最小，最小值为，即的最小值为，
故答案为：.
四．综合应用（共3小题）
1.（2023春上海市·静安区·一模）若直线与直线平行，则这两条直线间的距离是 ．
【答案】
【分析】运用两直线平行求得m的值，再运用两平行线间的距离公式可求得结果.
【详解】由直线与直线平行，
可知，即，
故直线为，
直线变形得，
故这两条直线间的距离为，故答案为：.
2.（2023春·上海市·阶段练习）平行直线与之间的距离为 ．
【答案】
【分析】直接由平行线的距离公式求解即可.
【详解】直线即为，
则平行直线与之间的距离为.故答案为：
3．（2023·上海市松江区·阶段练习）若对一个角，存在角满足，则称为的“伴随角”.有以下两个命题：
①若，则必存在两个“伴随角”；
②若，则必不存在“伴随角”；
则下列判断正确的是（ ）
A．①正确②正确；B．①正确②错误；
C．①错误②正确；D．①错误②错误.
【答案】B
【分析】将已知方程变形为，则为直线与单位圆的交点.用圆心到直线的距离解决问题
【详解】将已知方程变形为，
则为直线与单位圆的交点.
考虑圆心到直线的距离
，其中.
对于①，若，则，于是，即，
直线与圆必有两个不同交点，
为直线与单位圆的交点，
故必存在两个“伴随角”，即①正确；
对于②若，则，于是，
即直线与圆可能公共点，故可能存在“伴随角”，即②错误；
综上，①正确②错误，故选:B.
一、填空题
1．（2023上·上海·高二上海市朱家角中学校考阶段练习）点到直线的距离是 ．
【答案】/2.4
【分析】利用点到直线的距离公式可得答案.
【详解】由题意点到直线的距离是.
故答案为：
2．（2023上·上海浦东新·高二华师大二附中校考期中）平行直线与的距离为 ．
【答案】
【分析】按照平行线间的距离公式求解即可.
【详解】直线即为，
∴平行直线与的距离.
故答案为：.
3．（2023下·上海闵行·高二校考阶段练习）已知在中，其中的平分线所在的直线方程为，则点坐标为 .
【答案】
【分析】求出关于直线的对称点，可得的直线方程，联立解出即可得出的坐标．
【详解】关于直线的对称点；
，
，，
的直线方程为，
则由角平分线以及对称可知一定在直线上，
联立，解得，，
故答案为：
4．（2022上·河北邢台·高二统考阶段练习）已知点和点到直线的距离相等，则 .
【答案】3或
【分析】利用点到直线距离公式建立等式求出参数即可.
【详解】因为点和点到直线的距离相等，
所以由点到直线的距离公式可得：
，
解得或，
故答案为：3或
5．（2023下·上海杨浦·高二校考期中）直线关于点对称的直线的一般式方程为 ．
【答案】
【分析】由直线关于点对称的直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再根据点到两条直线的距离相等可解出答案.
【详解】设对称直线为，
根据点到两条直线的距离相等，
则有，即，解得（舍）或.
所以对称直线的方程为.
故答案为：.
6．（2023下·上海浦东新·高二统考期中）已知动点在直线上，则的最小值为 .
【答案】2
【分析】根据题意可知表示动点到坐标原点，利用点到直线的距离求最小值.
【详解】因为表示动点到坐标原点，
所以的最小值为到线的距离.
故答案为：2.
7．（2023下·上海静安·高二上海市新中高级中学校考期中）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则实数 ．
【答案】6或－2
【分析】根据反射光线上的点关于直线的对称点一定在入射光线上，即可求解.
【详解】在直线上任意取一点，
由题知点关于直线的对称点在直线上，
则，整理得，解得或.
故答案为：6或－2.
8．（2023上·上海浦东新·高二上海师大附中校考阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经，发射后又回到原点，若光线经过的重心，则 ．

【答案】.
【分析】建立平面直角坐标系，求出直线与直线的解析式，即可得出AP的长.
【详解】由题意，
如图建立直角坐标系：

则 ，直线方程为 即，
三角形重心为 即
设 , 关于直线对称点为
解得
由光的反射可知 四点共线，
直线斜率为 , 直线方程为 过重心，
即 ，
解得 舍去， ，
∴，
故答案为：.
9．（2023上·上海奉贤·高二上海市奉贤中学校考阶段练习）点关于直线的对称点为 .
【答案】
【分析】设出对称点，利用垂直和平分的关系可得答案.
【详解】设对称点为，则，
解得，即对称点为.
故答案为：.
10．（2023上·上海奉贤·高二校联考期中）设复数和复数在复平面上分别对应点和点，则两点间的距离为 ．
【答案】
【分析】根据复数对应的点，应用两点间距离公式求解即可.
【详解】复数对应点,复数对应点，
则.
故答案为：.
11．（2023上·上海浦东新·高二华师大二附中校考期中）已知x，y为实数，代数式的最小值是 ．
【答案】5
【分析】利用两点间的距离公式的几何意义，将代数问题转化为几何问题求解，即可得到答案.
【详解】即，几何意义为点与点的距离；
即，几何意义为点与点的距离；
即，几何意义为点与点的距离，
分别作关于轴的对称点，关于轴的对称点，
连接，则，
∴
，
当且仅当分别为与轴，轴的交点时，等号成立，
故答案为：5.
12．（2023上·上海奉贤·高二上海市奉贤中学校考期中）己知直线l：，则原点到直线l的距离的最大值是 ．
【答案】5
【分析】求出动直线所过定点，可知原点与定点的距离即为所求.
【详解】直线l：可化为，
当时，即时方程恒成立，
所以直线l恒过定点，
所以当直线l与垂直时，原点到直线的距离最大，最大值为.
故答案为：5
二、单选题
13．（2023上·上海宝山·高二校考阶段练习）已知直线，,则下列说法中错误的是（ ）
A．直线过定点B．当时，
C．当时，与重合D．当时，、之间的距离为
【答案】C
【分析】对A：将点代入即可得；对B、C、D，将对应的代入即可得.
【详解】对A：将点代入，有，故正确；
对B：当时，，
即，，
，
即，，
有，即，故正确；
对C：当时，，
即，即，
，即，与平行，故错误；
对D：当时，，
，即，
，故正确.
故选：C.
14．（2023上·上海奉贤·高二校考期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】利用点关于直线的对称点结合两点间的距离公式即可求解．
【详解】如图所示，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时路程和最小，
由题知，点满足：
，解得：，，即点，
因为，
所以“将军饮马”的最短总路程为，
故选：D
15．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知点，与直线，若在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设出点坐标，由进行化简，结合二次函数的性质求得的取值范围.
【详解】对于直线，
即，所以在直线上，
设，其中，
由两边平方得，
即，
整理得，
由于，所以
，其中，
根据二次函数的性质可知，当时，取得最大值，
且最大值为，则，解得.
故选：A
16．（2023·上海静安·统考二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线上一点，即可求解.
【详解】联立，得，
取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：，
直线的斜率，所以直线的方程为，
整理为：.
故选：A
三、解答题
17．（2023上·高二课时练习）已知点到直线的距离等于4，求实数的值．
【答案】或
【分析】利用点到直线的距离公式得到方程，解得即可.
【详解】因为点到直线的距离等于4，
所以，解得或.
18．（2023上·高二课时练习）已知直线与直线的距离为，求实数的值．
【答案】或
【分析】利用平行线间的距离公式得到关于的方程，从而得解.
【详解】直线可化为，
直线可化为，
所以，解得或．
所以或.
19．（2023上·上海·高二曹杨二中校考阶段练习）已知常数，设直线，直线.
(1)若，求的值；
(2)若与平行，求与的距离.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知结合直线垂直的条件求解即可；
（2）结合直线平行的条件先求出，然后结合平行线间的距离公式求解即可.
【详解】（1）由题意知的法向量为，的法向量为，
若，则；
（2）若与平行，则或，
当时，直线，直线，两直线重合，舍去，
当时，则直线，直线，
则与的距离为.
20．（2023上·上海·高二上海市七宝中学校考阶段练习）已知三条直线，直线，且与的距离是.
(1)求a的值；
(2)若点P同时满足下列条件：①P是第一象限的点；②点P到的距离是点P到的距离的；③点P在直线上，求点P的坐标.
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）用平行线间距离公式求参数即可.
（2）用点到直线的距离公式直接求解即可
【详解】（1）直线方程为，
∴和距离为，
解得
（2）设点，
若点P满足条件②，则P在与，平行的直线上，
且，得或，
所以或.
若满足条件③，联立方程解得，舍去，
或者联立方程解得，为所求点.
21．（2022上·江西吉安·高二吉安一中校考阶段练习）已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点．

(1)已知点、点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标；
(2)已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）设直线RP，PQ，QR的斜率分别为，，，则根据题意可得，解方程组求出，，，从而可求出的方程，进而解方程组可求出点的坐标，
（2）根据题意设：，：，其中，然后利用点到直线的距离公式求出O到直线，的距离的积，化简后利用基本不等式可求得其范围.
【详解】（1）设直线RP，PQ，QR的斜率分别为，，，
则，得，，或，，．
当，，时，直线RP的方程为，直线PQ的方程为，
由，解得，则；
当，，时，直线PR的方程为，直线PQ的方程为，
由，解得，则；
故所求为或；
（2）设：，：，其中，
故
由于（等号成立的条件是），
故，．
22．（2023上·上海浦东新·高二校考阶段练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点，光线经过的重心．以点为坐标原点，以为轴（为正方向），建立平面直角坐标系．
(1)求的重心的坐标，及点的坐标；
(2)求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立坐标系，确定三角形顶点坐标，即可求得重心的坐标；设，关于直线的对称点分别设为，表示出的坐标，根据光线反射原理可知共线，结合重心坐标即可求得点的坐标；
（2）根据对称知识可知的周长即为，利用两点间距离公式可求得答案.
【详解】（1）如图所示：
以为坐标原点，以为轴建立平面直角坐标系，
则，
故的重心的坐标为，即；
设，关于直线的对称点分别设为，
则，设，
直线的方程为，则
解得，即，
由光的反射原理可知共线，且光线经过的重心，
故，解得或（舍去），
故点的坐标为.
（2）由（1）可得，所以即为，即为，
由题意可知，
故的周长为.
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