【寒假作业】（沪教版2020）高中数学 高一寒假巩固提升训练 专题08+二倍角公式、三角变换的应用（2大考点+7种题型）-练习.zip

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思维导图
核心考点聚焦
考点一：二倍角的正弦、余弦和正切公式
考点二：半角的正弦、余弦和正切公式.
题型一：给角求值
题型二：给值求值、求角问题
题型三：化简证明问题
题型四：化简求值问题
题型五：三角恒等式的证明
题型六：恒等变换与三角函数图象性质的综合
题型七： 三角函数在实际问题中的应用
考点一：二倍角的正弦、余弦和正切公式
在两角和的正弦、余弦和正切公式中，用代入，就得到二倍角的正弦、余弦和正切公式
，
，
.
由于，因此二倍角的余弦公式还可以表示为
.
考点二：半角的正弦、余弦和正切公式
，，.
taneq \f(α,2)＝eq \f(sin \f(α,2),cs\f(α,2))＝eq \f(sin\f(α,2)·2cs\f(α,2),cs\f(α,2)·2cs\f(α,2))＝eq \f(sin α,1＋cs α)，taneq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2))＝eq \f(sin\f(α,2)·2sin\f(α,2),cs\f(α,2)·2sin\f(α,2))＝eq \f(1－cs α,sin α)
它们分别叫做半角的正弦、余弦和正切公式. 其中，公示右侧的“”号，根据角所在的象限由左侧相应的符号确定.
题型一：给角求值
【例1】 (1)cseq \f(π,7)cseq \f(3π,7)cseq \f(5π,7)的值为( )
A.eq \f(1,4) B．－eq \f(1,4)
C.eq \f(1,8) D．－eq \f(1,8)
(2)求下列各式的值：
①cs415°－sin415°；②1－2sin275°；③eq \f(1－tan275°,tan 75°)；
④eq \f(1,sin 10°)－eq \f(\r(3),cs 10°).
【答案】(1)D
【解析】∵cseq \f(3π,7)＝－cseq \f(4π,7)，cseq \f(5π,7)＝－cseq \f(2π,7)，
∴cseq \f(π,7)cseq \f(3π,7)cseq \f(5π,7)＝cseq \f(π,7)cseq \f(2π,7)cseq \f(4π,7)＝eq \f(8sin\f(π,7)cs\f(π,7)cs\f(2π,7)cs\f(4π,7),8sin\f(π,7))＝eq \f(4sin\f(2π,7)cs\f(2π,7)cs\f(4π,7),8sin\f(π,7))＝eq \f(2sin\f(4π,7)cs\f(4π,7),8sin\f(π,7))＝eq \f(sin\f(8π,7),8sin\f(π,7))＝－eq \f(1,8).]
(2)[解] ①cs415°－sin415°＝(cs215°－sin215°)(cs215°＋sin215°)＝cs215°－sin215°＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2).
②1－2sin275°＝1－(1－cs 150°)＝cs 150°＝－cs 30°＝－eq \f(\r(3),2).
③eq \f(1－tan275°,tan 75°)＝2×eq \f(1－tan275°,2tan 75°)
＝2×eq \f(1,tan 150°)＝－2eq \r(3).
④eq \f(1,sin 10°)－eq \f(\r(3),cs 10°)＝eq \f(cs 10°－\r(3)sin 10°,sin 10°cs 10°)
＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°－\f(\r(3),2)sin 10°)),sin 10°cs 10°)
＝eq \f(4sin 30°cs 10°－cs 30°sin 10°,2sin 10°cs 10°)
＝eq \f(4sin 20°,sin 20°)＝4.
【变式1】．求下列各式的值
(1)cs 72°cs 36°； (2)eq \f(1,sin 50°)＋eq \f(\r(3),cs 50°).
[解] (1)cs 36°cs 72°＝eq \f(2sin 36°cs 36°cs 72°,2sin 36°)＝eq \f(2sin 72°cs 72°,4sin 36°)＝eq \f(sin 144°,4sin 36°)＝eq \f(1,4).
(2)原式＝eq \f(cs 50°＋\r(3)sin 50°,sin 50°cs 50°)
＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 50°＋\f(\r(3),2)sin 50°)),\f(1,2)×2sin 50°cs 50°)
＝eq \f(2sin 80°,\f(1,2)sin 100°)＝eq \f(2sin 80°,\f(1,2)sin 80°)＝4.
题型二：给值求值、求角问题
【例2】 (1)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，eq \f(π,2)≤α＜eq \f(3π,2)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))的值；
(2)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，且sin 2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))，求α.
[解] (1)∵eq \f(π,2)≤α＜eq \f(3π,2)，∴eq \f(3π,4)≤α＋eq \f(π,4)＜eq \f(7π,4).
∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＞0，∴eq \f(3π,2)＜α＋eq \f(π,4)＜eq \f(7π,4)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))))＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2)＝－eq \f(4,5)，
∴cs 2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(3,5)＝－eq \f(24,25)，
sin 2α＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))＝1－2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＝eq \f(7,25)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)cs 2α－eq \f(\r(2),2)sin 2α＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(24,25)))－eq \f(\r(2),2)×eq \f(7,25)＝－eq \f(31\r(2),50).
(2)∵sin 2α＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－1))
＝1－2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))
＝－cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))
＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))，
∴原式可化为1－2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))
＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))，
解得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝1或cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \f(1,2).
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，
∴α＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，
故α＋eq \f(π,4)＝0或α＋eq \f(π,4)＝eq \f(2π,3)，
即α＝－eq \f(π,4)或α＝eq \f(5π,12).
题型三：化简证明问题
【例3】 (1)化简：eq \f(1,tan θ＋1)＋eq \f(1,tan θ－1)＝________.
(2)证明：eq \f(\r(3)tan 12°－3,sin 12°4cs212°－2)＝－4eq \r(3).
【答案】(1)－tan 2θ
【解析】原式＝eq \f(tan θ－1＋tan θ＋1,tan θ＋1tan θ－1)＝eq \f(2tan θ,tan2θ－1)＝－eq \f(2tan θ,1－tan2θ)＝－tan 2θ.]
(2)[证明] 左边＝eq \f(\f(\r(3)sin 12°－3cs 12°,cs 12°),2sin 12°2cs212°－1)
＝eq \f(2\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin 12°－\f(\r(3),2)cs 12°)),2sin 12°cs 12°cs 24°)
＝eq \f(2\r(3)sin12°－60°,sin 24°cs 24°)
＝eq \f(－2\r(3)sin 48°,\f(1,2)sin 48°)
＝－4eq \r(3)＝右边，所以原等式成立．
【变式】求证：(1)cs2(A＋B)－sin2(A－B)＝cs 2Acs 2B；
(2)cs2θ(1－tan2θ)＝cs 2θ.
[证明] (1)左边＝eq \f(1＋cs2A＋2B,2)－eq \f(1－cs2A－2B,2)
＝eq \f(cs2A＋2B＋cs2A－2B,2)
＝eq \f(1,2)(cs 2Acs 2B－sin 2Asin 2B＋cs 2Acs 2B＋sin 2Asin 2B)
＝cs 2Acs 2B＝右边，
∴等式成立．
(2)法一：左边＝cs2θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(sin2θ,cs2θ)))
＝cs2θ－sin2θ＝cs 2θ＝右边．
法二：右边＝cs 2θ＝cs2θ－sin2θ
＝cs2θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(sin2θ,cs2θ)))＝cs2θ(1－tan2θ)＝左边．
题型四：化简求值问题
【例4】 (1)设5π＜θ＜6π，cseq \f(θ,2)＝a，则sineq \f(θ,4)等于( )
A.eq \f(\r(1＋a),2) B.eq \f(\r(1－a),2)
C．－eq \f(\r(1＋a),2) D．－eq \r(\f(1－a,2))
(2)已知π