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人教版九年级下册28.1 锐角三角函数学案
展开这是一份人教版九年级下册28.1 锐角三角函数学案,共6页。学案主要包含了概念理解,学后反思等内容,欢迎下载使用。
1)初步了解锐角三角函数的意义。
2 )理解正弦、余弦、正切的定义。
3 )利用特殊角的正弦、余弦、正切值进行相关计算。
学习重点: 理解正弦、余弦、正切的定义。
学习难点: 利用特殊角的正弦、余弦、正切值进行相关计算。
学习过程
1)情景引入
为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌。现测得斜坡的仰角为30°
【问题一】为使出水口的高度为35m,需要准备多长的水管?
∵在直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一边
∴BCAB= 12 而BC=35 m ∴AB=2BC=70 m
【问题二】如果出水口的高度为50 m,那么需要准备多长的水管? 100m
【问题三】你发现了什么?
在直角三角形中,如果一个锐角的度数等于30°,那么无论这个直角三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比都等于12.
2)课堂探究
一、锐角三角函数-正弦
【探索一】纸上任意画一个Rt△ABC,使∠C=90°,∠B=45°,计算∠A的对边与斜边的比ACAB.
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°∴ ∠A=45
∴ Rt△ABC为等腰直角三角形
由勾股定理得 AB2=AC2+ BC2 则AB=2AC ∴ ACAB= 22
【探索二】任意画Rt△ABC和Rt△A’B’C’,使∠C=∠C’=90°,∠A=∠A‘,那么BCAB与B'C'A'B'’有什么关系,你能解释一下吗?
∵ ∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'∴ Rt△ABC∽Rt△A'B'C’∴BCB'C' = ABA'B' ∴BCAB = B'C'A'B'
[小结]在直角三角形中,当锐角 A 的度数一定时,不管三角形的大小如何,它的对边与斜边的比是一个固定值.
【概念理解】在 Rt△ABC 中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作:sinA.即 sin A= ∠A所对的边斜边 = ac
二、锐角三角函数-余弦
【探索三】任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘,使∠C=∠C’=90°,∠A=∠A‘,那么 ACAB 与 A'C'A'B' 有什么关系.你能解释一下吗?
∵ ∠C=∠C’=90°,∠A=∠A’∴ Rt△ABC∽Rt△A’B’C’∴ACA'C' = ABA'B' ∴ACAB = A'C'A'B'
[小结]在直角三角形中,当锐角 A 的度数一定时,不管三角形的大小如何,它的邻边与斜边的比是一个固定值.
【概念理解】在 Rt△ABC 中,∠C=90°,我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作csA.
即 cs A= ∠A所邻的边斜边 = bc
三、锐角三角函数-正切
【探索四】任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘,使∠C=∠C’=90°,∠A=∠A',那么BCAC与B'C'A'C''有什么关系.你能解释一下吗?
∵ ∠C=∠C’=90°,∠A=∠A‘∴ Rt△ABC∽Rt△A’B’C’∴BCB'C' = ACA'C' ∴ BCAC = B'C'A'C'
[小结] 在直角三角形中,当锐角 A 的度数一定时,不管三角形的大小如何,它的对边与邻边的比是一个固定值.
【概念理解】在 Rt△ABC 中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA。
即 tan A= ∠A所对的边邻边 = ab
[小结]对于锐角A的每一个确定的值,sinA、csA、tanA都有唯一的确定的值与它对应,所以把锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数。
四、特殊角的三角函数
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表:
【练一练】
1.在中,,,,则的值为( )
A.B.C.D.
【详解】解:在Rt△ABC中,
tan A=,
故选:D.
2.的值是( ).
A.1B.C.D.
【详解】解:2sin30°=2×=1故选:A
3.如图,木杆靠在垂直水平地面的墙上,杆子长是3米.若木杆与地面的夹角为,则木杆顶端B到地面的距离为( )
A.米B.米C.米D.米
【详解】解:∵,
∴,
在中:,
∴(米),故A正确.
故选:A.
4.已知,则锐角α的度数是( )
A.60°B.45°C.30°D.75°
【详解】解:∵,为锐角,
∴,
∴,
故选:A.
5.如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,∠ACB=90°,AC=3,AD=2,则sinB的值是( )
A.B.C.D.
【详解】解:∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高,∠ACB=90°
∴∠B+∠BCD=90°,∠ACD+∠BCD=90°
∴∠B=∠ACD.
∴sinB=sin∠ACD=AD:AC=2:3.
故选:A.
6.在△ABC中,∠A=105°,∠B=45°,的值是( )
A.B.C.1D.
【详解】解:△ABC中,∵∠A=105°,∠B=45°,
∴∠C=180°-105°-45°=30°,
∴
故选:A
7.如图所示,△ABC 的顶点在正方形网格的格点上,则 tan A 的值为( )
A.B.C.2D.
【详解】解:如图,取网格点D,连接BD,
由网格图,可得:,,,
∴,
∴是直角三角形,且,
∴,
故选:A.
8.已知,那么锐角的取值范围是( )
A. B. C. D.
【详解】解:∵,
∴.
∵随着的增大而减少,
∴ .
又∵是锐角,
∴.
故选B.
9.计算:
【详解】解:原式=
.
10.如图,在△ABC中,AD上BC于点D,若AD=6,BC=12,tanC=,求:
(1)CD的长
(2)csB的值
(1)
解:∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∵在Rt△ADC中,,
∴;
(2)
解:由(1)得CD=4,
∴BD=BC-CD=8,
在Rt△ABD中,由勾股定理得:,
∴.
【学后反思】通过本节课的学习你,你收获了什么?
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