高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.1 椭圆及其标准方程导学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.1 椭圆及其标准方程导学案，共8页。

要点一 椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的________等于________________的点的集合(或轨迹)叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的________，________________叫作椭圆的焦距．
状元随笔 1.对定义中限制条件“常数(大于|F1F2|)”的理解
(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆；
(2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；
(3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在．
2．定义的双向运用
一方面，符合定义中条件的动点的轨迹为椭圆；另一方面，椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数)．
要点二 椭圆的标准方程
状元随笔 (1)椭圆的标准方程的推导，要充分利用椭圆的对称性，当且仅当椭圆的焦点在坐标轴上，且关于原点对称时，椭圆的方程才具有标准形式．
(2)在椭圆的标准方程的推导过程中，令b2＝a2－c2可以使方程变得简单整齐. 今后讨论椭圆的几何性质时，b还有明确的几何意义，因此设b>0.
(3)椭圆的标准方程的形式是：左边是“平方”＋“平方”，右边是1.
(4)椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大．因此由椭圆的标准方程判断椭圆的焦点位置时，要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.( )
(2)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆．( )
(3)方程＝1(a>0，b>0)表示的曲线是椭圆．( )
(4)设F1(－4，0)，F2(4，0)为定点，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是椭圆．( )
2．设P是椭圆＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5
C．8 D．10
3．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0，8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
4．椭圆8k2x2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0，)，则k的值为________．
题型一 椭圆的定义的应用
例1 已知△ABC的周长是8，且B(－1，0)，C(1，0)，则顶点A的轨迹方程是( )
A．＝1(x≠±3) B．＝1(x≠0)
C．＝1(y≠0) D．＝1(y≠0)
方法归纳
找出点A的轨迹满足|AB|＋|AC|>|BC|后，知A的轨迹是椭圆，用定义法求出其方程，但要注意去掉不符合题意的点．
跟踪训练1 过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，F2是椭圆的另一个焦点，求△ABF2的周长．
题型二 求椭圆的标准方程
例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，且椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10；
(2)两焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，且椭圆经过点(－，)；
(3)经过P1(，1)，P2(－，－)两点；
(4)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)．
方法归纳
1．利用待定系数法求椭圆的标准方程
(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程．
2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．因为它包括焦点在x轴上(mn)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．
跟踪训练2 已知椭圆＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
题型三 焦点三角形问题
例3 已知点P是椭圆＝1上的一点，F1，F2分别是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．
状元随笔 若本题以小题形式出现，则也可用焦点三角形的面积公式速解；记∠F1PF2＝θ，则＝b2tan.
跟踪训练3 (1)已知椭圆＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．
(2)已知F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，则|PF1|·|PF2|的最大值是________．
易错辨析 忽略椭圆焦点位置的讨论致错
例4 已知椭圆的标准方程为＝1(m>0)，并且焦距为6，则实数m的值为________．
解析：∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m>0，故m＝4.当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25.由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m>0，故m＝.综上可知，实数m的值为4或.
答案：4或
【易错警示】
[课堂十分钟]
1．到两定点F1(－2，0)和F2(2，0)的距离之和为4的点的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段
C．圆 D．以上都不对
2．椭圆＝1的焦距为( )
A．4 B．5 C．6 D．9
3．椭圆＝1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为( )
A．3 B．6 C．4 D．10
4．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，椭圆C的面积为2π，过点F1的直线交椭圆C于点A，B，且△ABF2的周长为8.则椭圆C的标准方程为( )
A．＋y2＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
5．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是________．
1．1 椭圆及其标准方程
新知初探·课前预习
要点一
距离之和 常数(大于|F1F2|) 焦点 两焦点间的距离
要点二
F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) c2＝a2－b2 c2＝a2－b2
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)× (4)×
2．解析：由椭圆方程知a2＝25，则a＝5，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.故选D.
答案：D
3．解析：由题意知c＝8，2a＝20，∴a＝10，
∴b2＝a2－c2＝36，故椭圆的方程为＝1.故选C.
答案：C
4．解析：原方程可化为＝1.
依题意，得即
所以k的值为－1或－.
答案：－1或－
题型探究·课堂解透
例1 解析：∵|AB|＋|AC|＝8－|BC|＝6>|BC|＝2，
∴顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，设其方程为＝1(a>b>0)，则a＝3，b＝2.又∵A、B、C三点不共线，
∴顶点A的轨迹方程为＝1(x≠±3)．
答案：A
跟踪训练1 解析：根据题意画出图形如图所示，
∵A，B在椭圆4x2＋y2＝1上，a2＝1，
∴2a＝2.
∴|AF1|＋|AF2|＝2a＝2，|BF1|＋|BF2|＝2a＝2.
∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4，
即|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4.∴△ABF2的周长为4.
例2 解析：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)．
又c＝4，2a＝10，则a＝5，b2＝a2－c2＝9.
于是所求椭圆的标准方程为＝1.
解析：(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)．
由椭圆的定义知：
2a＝ ＋ ＝2，
即a＝，
又c＝2，
∵b2＝a2－c2＝6，
∴所求椭圆的标准方程为＝1.
解析：(3)方法一 ①当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＝1(a>b>0)．
由已知，得⇒
即所求椭圆的标准方程是＝1.
②当焦点在y轴上时，设椭圆方程为＝1(a>b>0)，
由已知，得⇒
与a>b>0矛盾，此种情况不存在．
综上，所求椭圆的标准方程是＝1.
方法二 设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，
故⇒
即所求椭圆的标准方程是＝1.
解析：(4)由题意，知焦点F1(0，2)，F2(0，－2)，
设所求椭圆方程为＝1(λ>0)，
将x＝2，y＝代入，得＝1，
解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．
∴所求椭圆的标准方程为＝1.
跟踪训练2 解析：由题意可得
解得，故椭圆的方程为＝1.故选D.
答案：D
例3 解析：由椭圆的标准方程，知a＝，b＝2，
∴c＝＝1，∴|F1F2|＝2.
又由椭圆的定义，知
|PF1|＋|PF2|＝2a＝2.
在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs ∠F1PF2，
即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cs 30°，
即4＝20－(2＋)|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)．
＝|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2＝×16(2－)×＝8－4.
跟踪训练3 解析：(1)由＝1，可知a＝2，b＝，所以c＝＝1，从而|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cs ∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|①
由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4②
联立①②可得|PF1|＝.
所以＝|PF1||F1F2|sin ∠PF1F2＝×2×＝.
(2)依题意知a＝10，由椭圆定义有|PF1|＋|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|≤()2＝100，当且仅当|PF1|＝|PF2|时等号成立，故|PF1|·|PF2|的最大值是100.
答案：(1) (2)100
[课堂十分钟]
1．答案：B
2．解析：因为椭圆的方程为＝1，所以a2＝25，b2＝16，因此c2＝a2－b2＝9，所以c＝3，所以焦距为2c＝6.故选C.
答案：C
3．解析：点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝8，8－5＝3.故选A.
答案：A
4．解析：因为△ABF2的周长为8，所以|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，
∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝8
∴(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝8
由椭圆定义可知|AF1|＋|BF1|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a
∴2a＋2a＝8，∴a＝2.
由题意可得abπ＝2π，解得b＝.
因为椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆C的标准方程为＝1.故选C.
答案：C
5.
解析：设椭圆的另一个焦点为F(如图)，则△ABC的周长为(|AB|＋|BF|)＋(|CA|＋|CF|)＝2a＋2a＝4a.而a2＝3，∴a＝，∴4a＝4，即△ABC的周长为4.
答案：4焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＝1(a>b>0)
＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
________________
________________
a，b，c的关系
________________
________________
易错原因
纠错心得
易错之处是认为焦点在x轴上，从而漏掉一解．
涉及椭圆的标准方程的问题，如果没有明确地指出椭圆焦点的位置，一般都要分两种可能的情况进行讨论，不能想当然认为焦点在x轴上或y轴上去求解．