2023-2024学年江苏省无锡市梁溪区侨谊中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省无锡市梁溪区侨谊中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=( )
A. 43
B. 45
C. 34
D. 35
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,sinA=35,AB=10，则△ABC的面积为( )
A. 24
B. 30
C. 40
D. 48
3.抛物线y=(x−4)2−5的顶点坐标和开口方向分别是( )
A. (4,−5)，开口向上B. (4,−5)，开口向下
C. (−4,−5)，开口向上D. (−4,−5)，开口向下
4.王明同学遇到了这样一道题， 3tan(α+10°)=1，则锐角α的度数为( )
A. 40°B. 30°C. 20°D. 10°
5.如图是一个长方体柜子的俯视图，柜子长AB=CD=m(不计柜门厚度)，当柜门打开的角度为α时，柜门打开的距离EF的长度为( )
A. msinα
B. mcsα
C. msinα
D. mcsα
6.如图，函数y=ax2+3x+1和y=ax−a(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
7.在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+m2−m(m为常数)的图象经过点(0,6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有( )
A. 最大值5B. 最大值154C. 最小值5D. 最小值154
8.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：OB=1：3，连接AC，过点O作OP/​/AB交AC的延长线于点P.若P(1,1)，则tan∠ACO的值是( )
A. 13
B. 3
C. 12
D. 2
9.如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点(点A，B，C在同一直线上)，再沿斜坡DE方向前行78米到E点(点A，B，C，D，E在同一平面内)，在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度(或坡比)i=1：2.4，则信号塔AB的高度约为( )
(参考数据：sin43°≈0.68，cs43°≈0.73，tan43°≈0.93)
A. 23米B. 24米C. 24.5米D. 25米
10.在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有M个交点，函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有N个交点，则( )
A. M=N−1或M=N+1B. M=N−1或M=N+2
C. M=N或M=N+1D. M=N或M=N−1
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.将一次函数y=2x的图象向上平移1个单位，所得图象对应的函数表达式为______ ．
12.已知y与x的函数满足下列条件：①它的图象经过(1,1)点；②当x>1时，y随x的增大而减小．写出一个符合条件的函数：______．
13.若x+y=2，则xy+1的最大值为______ ．
14.如图，一块含有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为6cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为 2cm，则图中阴影部分的面积为______cm2(结果保留根号)．
15.如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若BD的坡度是1：2，则tan∠DEC的值是______ ．
16.如图，已知点A(4,3)，点B为直线y=−2上的一动点，点C(0,n)，−2y2时，自变量x的取值范围．
(3)二次函数交y轴于C，求△ABC的面积．
24.(本小题10分)
如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．
(1)求证：BC平分∠PBD；
(2)求证：BC2=AB⋅BD；
(3)若PA=6，PC=6 2，求BD的长．
25.(本小题10分)
如图，小开家所在居民楼AC，楼底C点的左侧30米处有一个山坡DE，坡角为30°，E点处有一个图书馆，山坡坡底到图书馆的距离DE为40米，在图书馆E点处测得小开家的窗户B点的仰角为45°，居民楼AC与山坡DE的剖面在同一平面内．
(1)求BC的高度；(结果精确到个位，参考数据： 3≈1.73)
(2)某天，小开到家后发现有资料落在图书馆，此时离图书馆闭馆仅剩5分钟，若小开在平地的速度为6m/s，上坡速度为4m/s，电梯速度为1.25m/s，等候电梯及上、下乘客所耽误时间共3分钟，请问小开能否在闭馆前赶到图书馆？
26.(本小题10分)
某超市销售一种高档蔬菜“莼菜”，其进价为16元/kg.经市场调查发现：该商品的日销售量y(kg)是售价x(元/kg)的一次函数，其售价、日销售量对应值如表：
(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2)x为多少时，当天的销售利润w(元)最大？最大利润为多少？
(3)由于产量日渐减少，该商品进价提高了a元/kg(a>0)，物价部门规定该商品售价不得超过36元/kg，该商店在今后的销售中，日销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若日销售最大利润是864元，求a的值．
27.(本小题10分)
如图，平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx−5(a>0,b0，函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有2个交点，即N=2，此时M=N；
当ab=0时，不妨令a=0，∵a≠b，∴b≠0，函数y=(ax+1)(bx+1)=bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N=1，此时M=N+1；
综上可知，M=N或M=N+1．
故选：C．
11.【答案】y=2x+1
【解析】解：把一次函数y=2x，向上平移1个单位长度，得到图象解析式是y=2x+1．
故答案是：y=2x+1．
求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．
本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”.关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
12.【答案】y=−(x−1)2+1
【解析】解：符合条件的函数可以是一次函数、二次函数，如y=−x，y=−(x−1)2+1等．
故答案为：y=−(x−1)2+1．
可考虑一次函数、二次函数的解析式，本题答案不唯一，只要符合条件即可．
本题主要考查一次函数的性质，是开放性题目，答案不唯一，只要满足条件即可．
13.【答案】2
【解析】解：∵x+y=2，
∴x=2−y，
∴xy+1=(2−y)y+1=−y2+2y+1=−(y−1)2+2，
∴当y=1时，xy+1的最大值为2，
故答案为：2．
根据题意可得x=2−y，代入可得xy+1=−(y−1)2+2，根据二次函数的性质即可得出答案．
本题考查二次函数的性质，正确理解题意是解题的关键．
14.【答案】(4+8 2)
【解析】解：如图，EF=DG=CH= 2，
∵含有45°角的直角三角板，
∴BC= 2，GH=2，
∴FG=6− 2−2− 2=4−2 2，
∴图中阴影部分的面积为：
12×6×6−12×(4−2 2)×(4−2 2)=16−12+8 2=4+8 2(cm2)，
故答案为：(4+8 2).
阴影部分的面积=外框大直角三角板的面积−内框小直角三角板的面积，根据等腰直角三角形的性质求出内框直角边长，再根据三角形面积公式计算即可求解．
本题考查了等腰直角三角形，相似三角形的判定与性质，平行线之间的距离，关键是求出内框直角边长．
15.【答案】23
【解析】解：如图，过点C作CF⊥BD于点F，
在△ABE与△CDF中，
∠AEB=∠CFD∠ABE=∠CDFAB=CD，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF，BE=FD，
∵AE⊥BD，tan∠ADB=ABAD=12，
设AB=a，则AD=2a，
∴BD= 5a，
∵S△ABD=12BD⋅AE=12AB⋅AD，
∴AE=CF=2 55a，
∴BE=FD= 55a，
∴EF=BD−2BE= 5a−2 55a=3 55a，
∴tan∠DEC=CFEF=23，
故答案为：23．
过点C作CF⊥BD于点F，设CD=2a，易证△ABE≌△CDF(AAS)，从而可求出AE=CF= 3a，BE=FD=1，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查直角三角形的应用——坡度坡角问题，熟练掌握三角形的相关应用是解题的关键．
16.【答案】53 12
【解析】解：过点A作AM⊥y轴于点M，作AN⊥BG于点N，如图所示：
则∠AMC=90°，∠ANB=90°，
∵直线y=−2与x轴平行，
∴∠ABN=α，∠CGB=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACM+∠MAC=90°，∠ACM+∠BCG=90°，
∴∠CAM=∠BCG，
∵∠AMC=∠CGB=90°，
∴△AMC∽△CGB，
∴CMAM=BGCG，
设BG=m，
∵点A坐标为(4,3)，点C坐标为(0,n)，
∴AM=4，GC=n+2，CM=3−n，
∴3−n4=mn+2，
当n=2时，可得14=m4，
解得m=1，
∴GB=1，BN=3，
∴tanα=ANBN=53；
∵tanα=ANNB=5NB，
当BN最小，即BG最大时，tanα最大，
∵3−n4=mn+2，
∴m=−14(n−3)(n+2)=−14(n−12)2+2516，
∵−141，图象向下平移m个单位后，x=0时，y1，函数向下平移m个单位后，x=0时，y=−m1，与题意不符，故m≤1，判断出函数y=x2所过的点，结合平移，即可求解．
本题考查了反比例函数的性质，二次函数的性质，结合新定义，弄清函数边界值的定义，熟悉平移变换的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式= 32× 32−12
=34−12
=14；
(2)原式=2×( 32)2−2× 32× 22
=2×34− 62
=32− 62．
【解析】(1)直接利用特殊角的三角函数值代入，进而化简得出答案；
(2)直接利用特殊角的三角函数值代入，进而化简得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
20.【答案】解：(1)x2−3x+2=0，
(x−1)(x−2)=0，
∴x−1=0或x−2=0，
∴x1=1，x2=2；
(2)(x−3)2+4x(x−3)=0，
(x−3)(x−3+4x)=0，
∴x−3=0或5x−3=0，
∴x1=3，x2=35．
【解析】(1)利用解一元二次方程−因式分解法，进行计算即可解答；
(2)利用解一元二次方程−因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，AD=BC，DC/​/AB，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA
∴AD=DE=10，
∴BC=10，AB=CD=DE+CE=16，
∵CE2+BE2=62+82=100=BC2，
∴△BCE是直角三角形，∠BEC=90°，
BE⊥CD；
(2)解：∵AB/​/CD，
∴∠ABE=∠BEC=90°，
∴AE= AB2+BE2= 162+82=8 5，
∴sin∠DAE=sin∠EAB=BEAE=88 5= 55．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得出DC=AB，AD=CB，DC/​/AB，推出∠DEA=∠EAB，再根据角平分线性质得出∠DAE=∠DEA，推出AD=DE=10，得出AB=CD=16，由勾股定理的逆定理即可得出结论；
(2)由平行线得出∠ABE=∠BEC=90°，由勾股定理求出AE= AB2+BE2=8 5，得出cs∠DAE=cs∠EAB，即可得出结果．
本题考查了平行四边形性质，角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定、三角函数等知识点，证明AD=DE是解题的关键．
22.【答案】 144
【解析】解：(1)如图所示，⊙O即为所求；
(2)设AB，AC分别切⊙O于点E，F，连接OE，OF，则：OE⊥AB，OF⊥AC，OD=OE=OF，
由题意，得：OD⊥BC，BD=BE，AE=AF，CD=CF，
设BD=BE=x，
∴AE=AF=AB−BE=5−x，CD=CF=BC−BD=6−x，
∴AC=AF+CF=5−x+6−x=4，
∴x=72，
过点A作AG⊥BC于点G，则：∠AGB=∠AGC=90°，
设BG=a，则：CG=6−a，
∵AG2=AB2−BG2=AC2−CG2，
∴52−a2=42−(6−a)2，
解得：a=154，
∴AG= AB2−BG2=54 7，
∵S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC，
∴BC⋅AG=(AB+BC+AC)⋅OD，即：6×5 74=(4+5+6)⋅OD，
∴OD= 72；
∴OB= OD2+BD2= ( 72)2+(72)2= 14，
∴cs∠OBC=BDOB=72 14= 144；
故答案为： 144．
(1)作∠ACB，∠ABC的角平分线，交于点O，过点O作BC的垂线，交BC于点D，以点O为圆心，OD为半径画圆，⊙O即为所求；
(2)如图，切线长定理求出BD的长，等积法求出OD，利用勾股定理求得OB的长，再利用cs∠OBC=BDOB，进行求解即可．
本题考查三角形的内切圆，切线长定理，解直角三角形．熟练掌握等积法求三角形的内切圆的半径是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵A(−1,0)在一次函数y2=−x+m图象上
∴0=1+m
∴m=−1；
∵A(−1,0)，B(2,−3)两点在二次函数y1=ax2+bx−3图象上
∴a−b−3=04a+2b−3=−3，
解得：a=1b=−2；
∴二次函数的解析式为y1=x2−2x−3；
(2)由图象可得y1>y2时，自变量x的取值范围为x2；
(3)∵二次函数y1=x2−2x−3交y轴于C，
∴C(0,−3)，
又∵B(2,−3)，
∴BC⊥y轴，如图，
∴△ABC的面积为：12×2×3=3．
∴△ABC的面积为3．
【解析】(1)把A(−1,0)代入一次函数y2=−x+m，解方程即可求得m的值；把A(−1,0)，B(2,−3)分别代入二次函数y1=ax2+bx−3，得到关于a和b的方程组，解得a和b的值，则可得二次函数的解析式．
(2)根据函数图象，位于上方的函数值大，可直接得出答案．
(3)先利用二次函数交y轴于C，求得点C的坐标，再根据点B的坐标，可得BC⊥y轴，按照直角三角形面积公式计算即可得△ABC的面积．
本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数与不等式的关系及函数在三角形面积计算中的应用，熟练掌握相关基础知识并数形结合是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：连接OC，
∵PD为圆O的切线，
∴OC⊥PD，
∵BD⊥PD，
∴OC/​/BD，
∴∠OCB=∠CBD，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠CBD=∠OBC，
则BC平分∠PBD；
(2)证明：连接AC，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴ABCB=BCBD，
即BC2=AB⋅BD；
(3)解：∵PC为圆O的切线，
∴∠PCA+∠ACO=90°，
∠ACB=90°=∠ACO+∠OCB，
∠OCB=∠PCA，
又∵∠OCB=∠ABC，
∴∠PCA=∠ABC，
△PAC∽△PCB，
PCPA=PBPC，
∴PC2=PA⋅PB，即72=6PB，
解得：PB=12，
∴AB=PB−PA=12−6=6，
∴OC=3，PO=PA+AO=9，
∵∠P=∠P，∠PCO=∠PDB=90°，
∴△OCP∽△BDP，
∴OCBD=OPBP，即3BD=912，
则BD=4．
【解析】(1)连接OC，由PD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于PD，由BD垂直于PD，得到OC与BD平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由OC=OB，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证；
(2)连接AC，由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到△ABC为直角三角形，根据一对直角相等，以及第一问的结论得到一对角相等，确定出△ABC与△BCD相似，由相似得比例，变形即可得证；
(3)由△PAC∽△PCB得到PC2=PA⋅PB，将PA，PC的长代入求出PB的长，由PB−PA求出AB的长，确定出圆的半径，由OC与BD平行得到△PCO与△DPB相似，由相似得比例，将OC，OP，以及PB的长代入即可求出BD的长．
此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
25.【答案】解：(1)如图，作EF⊥AC于F，作EG⊥CD，交CD延长线于点G，
得矩形EFCG，

∴EF=CG，EG=FC，
根据题意可知：CD=30米，∠BEF=45°，DE=40米，∠EDG=30°，
∴EG=12DE=20米，
∴DG= 3EG=20 3(米)，
∴EF=GC=GD+CD=(20 3+30)米，
∴BF=EF=(20 3+30)米，
∴BC=BF+FC=BF+EG=20 3+30+20=20 3+50≈85(米)，
答：BC的高度约为85米；
(2)根据题意得：30÷6+40÷4+85÷1.25+3×60=263(秒)，
∵2630，对称轴为直线x=−152+2a2×(−2)=38+a2>36，
又∵−2