2024-2025学年江苏省无锡市新吴区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省无锡市新吴区九年级（上）期中数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是
A．B．C．D．
2．（3分）用配方法解一元二次方程，配方正确的是
A．B．C．D．
3．（3分）的半径为，点到圆心的距离为2，若点在外，则
A．B．C．D．
4．（3分）关于的一元二次方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．不能判断
5．（3分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在
A．的三条中线的交点B．三条高所在直线的交点
C．三条角平分线的交点D．以上都不对
6．（3分）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为米，则可列方程为
A．B．
C．D．
7．（3分）如图，四边形内接于，若，则的度数为
A．B．C．D．
8．（3分）有下列结论：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；（4）弧长相等的弧是等弧．其中正确结论的个数有
A．0个B．1个C．2个D．3个
9．（3分）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题即：“如图所示，垂直平分弦，寸，寸，求圆的直径” 尺寸）根据题意直径长为
A．10寸B．20寸C．13寸D．26寸
10．（3分）如图，点的坐标是，点是以为直径的上的一动点，点关于点的对称点为点，则的最大值为
A．3B．C．6D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（3分）已知是方程的一个根，则实数的值是 ．
12．（3分）写出一个根为的一元二次方程： ．
13．（3分）一个圆锥的母线长为13，底面圆的半径为5，则此圆锥的侧面积是 ．
14．（3分）已知三角形的边长分别是3，4，5，则它的外接圆的半径是 ．
15．（3分）如图，是的直径，点在的延长线上，切于点，若，则的度数为 ．
16．（3分）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 ．（结果保留
17．（3分）已知，，3分别是等腰三角形三边的长，且，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
18．（3分）如图，在扇形中，，，点在半径上，将△沿着翻折，点的对称点恰好落在弧上，再将弧沿着翻折至弧（点是点的对称点），那么的长为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
20．（8分）已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程有一个根为，求的值及另一个根．
21．（10分）如图，点是内一定点．
（1）过点作弦，使点是的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若的半径为13，，
①求过点的弦的长度范围；
②过点的弦中，长度为整数的弦有 条．
22．（10分）如图，已知、、均在上，请用无刻度直尺作图．
（1）若，求作一个的角；
（2）、分别是、边中点，求作的内心．
23．（10分）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）若，则阴影部分的面积？
24．（10分）如图，是的直径，点在上，，垂足为，点与点在直径的两侧，且，、的延长线交于点，与的延长线交于点．
（1）判断△的形状，并说明理由．
（2）若的半径为5，，求的长．
25．（10分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元个，测算在市场中，当售价为40元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？
26．（10分）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”．
（1）根据上述定义，一元二次方程 （填“是”或“不是” “倍根方程”；
（2）若是“倍根方程”，求与的关系；
（3）若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求，，之间的关系．
27．（10分）【给出问题】如图1，正方形内接于，是的中点，连接，．求证：；
【深入思考】如图2，正方形内接于，点为上任意一点，连接、、，请探究、、三者之间有何数量关系，并给予证明．
【拓展应用】如图3，若四边形是矩形，点为边上一点，，，，试求矩形的面积．
28．（10分）已知线段，射线垂直于，点在射线上，设，点在经过点且平行于的直线上运动，的平分线交直线于点，过点作，交线段于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆．
（1）判断与的位置关系： ；
（2）已知的半径为3，当所在直线与相切时，求的长；
（3）当时，若与线段只有一个公共点，则的半径的取值范围是多少？
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是
A．B．C．D．
解：．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
．该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意；
．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
2．（3分）用配方法解一元二次方程，配方正确的是
A．B．C．D．
解：，
移项，得，
配方，得，
即，
故选：．
3．（3分）的半径为，点到圆心的距离为2，若点在外，则
A．B．C．D．
解：点在外，
，
的半径为，点到圆心的距离为2，
．
故选：．
4．（3分）关于的一元二次方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．不能判断
解：由题意得，△，
原方程有两个不相等的实数根，
故选：．
5．（3分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在
A．的三条中线的交点B．三条高所在直线的交点
C．三条角平分线的交点D．以上都不对
解：三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三条角平分线的交点．
故选：．
6．（3分）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为米，则可列方程为
A．B．
C．D．
解：由题意有，
故选：．
7．（3分）如图，四边形内接于，若，则的度数为
A．B．C．D．
解：四边形内接于，
，而，
，
．
故选：．
8．（3分）有下列结论：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；（4）弧长相等的弧是等弧．其中正确结论的个数有
A．0个B．1个C．2个D．3个
解：（1）不共线的三点确定一个圆，故不符合题意；
（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故不符合题意；
（3）三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，故符合题意；
（4）在同圆或等圆中，能够重合的两条弧是等弧，故不符合题意．
故选：．
9．（3分）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题即：“如图所示，垂直平分弦，寸，寸，求圆的直径” 尺寸）根据题意直径长为
A．10寸B．20寸C．13寸D．26寸
解：连接，，
垂直平分弦，寸，寸，
寸，
在中，，
即，
解得：，
故圆的直径为26寸，
故选：．
10．（3分）如图，点的坐标是，点是以为直径的上的一动点，点关于点的对称点为点，则的最大值为
A．3B．C．6D．
解：连接，，
，
，
点关于点的对称点为点，
，
点在以为圆心，3为半径的圆上运动，
令，
则，
要求值最大，
越往上越大，
当直线于相切时，最大，
设直线于轴交于点，切点为，连接，则，
由直线比例系数可知，直线与坐标轴所夹锐角为，
△为等腰直角三角形，
，
即，
最大值为，
故选：．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（3分）已知是方程的一个根，则实数的值是 2 ．
解：是方程的一个根，
，
解得：，
故答案为：2．
12．（3分）写出一个根为的一元二次方程： （答案不唯一） ．
解：因为一元二次方程的一个根为，
所以这个方程可以为：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
13．（3分）一个圆锥的母线长为13，底面圆的半径为5，则此圆锥的侧面积是 ．
解：此圆锥的侧面积．
故答案为．
14．（3分）已知三角形的边长分别是3，4，5，则它的外接圆的半径是 2.5 ．
解：设中，，，，如图1，
，
，
是直角三角形，且，
取边的中点，
，
，，三点在以为圆心，为半径的圆上，
即是的外接圆，
，
的外接圆的半径为2.5，
故答案为：2.5．
15．（3分）如图，是的直径，点在的延长线上，切于点，若，则的度数为 ．
解：如图，连接，
切于点，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．（3分）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 ．（结果保留
解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长，
即，
故答案为：．
17．（3分）已知，，3分别是等腰三角形三边的长，且，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为 5或6 ．
解：①当、为腰时，，
、是关于的一元二次方程的两个根，
方程有两个相等的实数根，
△，
解得：；
②当和3（或和是腰时，，
把代入方程得，
解得：；
所以或6．
故答案为：5或6．
18．（3分）如图，在扇形中，，，点在半径上，将△沿着翻折，点的对称点恰好落在弧上，再将弧沿着翻折至弧（点是点的对称点），那么的长为 ．
解：如图，连接，
由翻折的性质可知，，，，，
，
，
△是正三角形，，
，
设，则，，
在△中，，，
由勾股定理得，，
即，
解得或（舍去），
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
解：（1），
，
，；
（2），
，
或，
，．
20．（8分）已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程有一个根为，求的值及另一个根．
解：（1）关于的一元二次方程有实数根，
△，
解得：．
（2）将代入原方程，，
解得：，
原方程为，
解得：，．
的值为5，方程的另一个根为．
21．（10分）如图，点是内一定点．
（1）过点作弦，使点是的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若的半径为13，，
①求过点的弦的长度范围；
②过点的弦中，长度为整数的弦有 4 条．
解：（1）如图1，连接并延长，过点作，
则弦即为所求；
（2）①过点的所有弦中，直径最长为26，与垂直的弦最短，
连接，如图2所示：
，
，
，
过点的弦的长度范围为；
②过点最长的弦为直径26，最短的弦24，
长度为25的弦有两条，
过点的弦中，长度为整数的弦共有4条，
故答案为：4．
22．（10分）如图，已知、、均在上，请用无刻度直尺作图．
（1）若，求作一个的角；
（2）、分别是、边中点，求作的内心．
解：（1）如图1，为所作；
（2）如图2，点为所作．
23．（10分）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）若，则阴影部分的面积？
【解答】（1）证明：连接，，
是的直径，
，
，
，
，
是的中位线，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
阴影部分的面积的面积的面积扇形的面积．
24．（10分）如图，是的直径，点在上，，垂足为，点与点在直径的两侧，且，、的延长线交于点，与的延长线交于点．
（1）判断△的形状，并说明理由．
（2）若的半径为5，，求的长．
解：（1）△是等腰三角形，
理由：，
，
，，
，
，
是的直径，
，
于点，
，
，
，
，
△是等腰三角形．
（2）的半径为5，，
，
，，
，，
△△，
，
，
，
，，且，
，
，
，，
，
，
解得，
的长是．
25．（10分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元个，测算在市场中，当售价为40元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？
解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）设该品牌头盔的实际售价为元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
26．（10分）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”．
（1）根据上述定义，一元二次方程 是 （填“是”或“不是” “倍根方程”；
（2）若是“倍根方程”，求与的关系；
（3）若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求，，之间的关系．
解：（1），
，
解得，，
故该方程是倍根方程；
故答案为：是；
（2），
或，
解得，，
是“倍根方程”，
或，
或；
（3）；理由如下：
一元二次方程是倍根方程，
设方程的两根分别为，，
根据根与系数的关系得，，
，
，
．
27．（10分）【给出问题】如图1，正方形内接于，是的中点，连接，．求证：；
【深入思考】如图2，正方形内接于，点为上任意一点，连接、、，请探究、、三者之间有何数量关系，并给予证明．
【拓展应用】如图3，若四边形是矩形，点为边上一点，，，，试求矩形的面积．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
是的中点，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
过点作交于点，取圆心，连接，，
，
，
，
，
，
，，
在△和△中，
，
△△，
，
；
（3）解：以为边，作正方形，连接，，，，作正方形的外接圆，则圆心在上，
，，
点在上，
，，
，，
，
，
设，则，，
在△中，，
在△中，，
在△中，，
，
（负值已舍去），
，
矩形的面积．
28．（10分）已知线段，射线垂直于，点在射线上，设，点在经过点且平行于的直线上运动，的平分线交直线于点，过点作，交线段于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆．
（1）判断与的位置关系： 相切 ；
（2）已知的半径为3，当所在直线与相切时，求的长；
（3）当时，若与线段只有一个公共点，则的半径的取值范围是多少？
解：（1）的角平分线交直线于点，
，
，
，
，
，
又，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形；
，垂足为，
与相切，
故答案为：相切；
（2）如图，当与相切于点时，，，，
在△中，，
设，则，
在△中，，
解得，
；
（3）当与相切时，，此时与只有一个公共点，
当过点时，如图，连接，作于，
设，则，
由得，
，
设，
则方程转化为，
解得，，
，
当第二次经过点时，作于，如图3，
设，则，
由得，
，
设，
则方程转化为，
解得，，
，（舍去），
与线段只有一个公共点，则的半径的取值范围是或．