江苏省无锡市梁溪区侨谊教育集团2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份江苏省无锡市梁溪区侨谊教育集团2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知中，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组7名同学捐款的金额（单位：元）分别为：6，3，6，5，5，6，7这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．5，6B．6，5C．5，5D．6，6
4．已知是关于x的二次函数，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．二次函数 的图像的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．若圆锥的侧面面积为，它的底面半径为，则此圆锥的母线长为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在⊙O中，点C在弦上，，则圆心O到的距离是（ ）
A．2B．C．D．
8．如图，BD为⊙O的直径，点A、C均在⊙O上，∠CBD=60°，则∠A的度数为（ ）
A．60°B．30°C．45°D．20°
9．如图，在正方形中，是上一动点，是的中点，绕点顺时针旋转得，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤若正方形的边长为，则点在射线上运动时，有最小值．其中正确的结论有（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（如图1）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图2，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点为的中点，连结交于点，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．如果2a＝3b，那么＝ ．
12．若关于x的一元二次方程有一个根为1，则 ．
13．如图，电路图上有3个开关和1个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发亮． 任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率是 ．

14．如图，扇形的半径，，则以为直径的半圆与围成的区域（图中阴影部分）的面积是 ．

15．2023年，某省新能源汽车产能达到万辆．到了2025年，该省新能源汽车产能将达到万辆，设这两年该省新能源汽车产能的平均增长率为x．则根据题意可列方程为 ．
16．若抛物线与x轴没有交点，则实数k的值可以是 ．（写出一个即可）
17．对于一个四位自然数，满足各数位上的数字不全相同且均不为，将千位和个位构成的两位数与百位和十位构成的两位数之差记为，将千位和十位构成的两位数与百位和个位构成的两位数之和记为，规定：；则 ；对于自然数，其中（，，、是整数），且若能被整除，则的最大值与最小值的差为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，点，点M是x轴正半轴上的一个动点，经过原点O和点M，是过点M的切线．当轴时，点P的坐标为 ；当射线与直线相交时，点M的横坐标t的取值范围是 ．
三、解答题
19．（1）解方程：．
（2）计算：．
20．如图，是的边上的一点，连接，已知．
(1)求证：
(2)若，，求线段的长
21．2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕．小明和小亮相约一起去亚运会比赛现场为中国队加油，比赛现场的观赛区分为A、B、C、D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．
(1)小明购买门票在A区观赛的概率为________；
(2)求小明和小亮在同一区域观看比赛的概率．（请用画树状图或列表说明理由）
22．随着技术进步和成果转化，在我国无人机的用武之地越来越多，农林植保、应急救援、文物保护、电力巡检……，加速赋能千行百业．如图，某农业示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，无人机在点A处，无人机距地面高度为120米，此时测得试验田一侧边界点C处俯角为，无人机垂直下降40米至点B处，又测得试验田另一侧边界点D处俯角为，且点C，O，D在同一条直线上，求点C与点D的距离．（参考数据：，结果保留整数）
23．为贯彻落实“五育并举”的工作，某校在课后服务中开设了多门校本选修课．为了了解全校学生对“西点烘焙”，“跆拳道”，“射艺”，和“龙卷风之足球队”4门选修课的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）：
请根据以上调查报告，解答下列问题：
(1)求参与本次抽样调查的男生人数及选择“西点烘焙”选修课的男生人数；
(2)国家提倡发展体育运动，该学校现有女生1600名，请估计全校女生选择“龙卷风之足球队”的人数．
(3)请结合以上两幅统计图分别写出一条你获取的信息．
24．尺规作图：在下面两张图中分别用两种不同方法作出已知圆的一条直径．
（不要求写作法，保留作图痕迹，并在图中标注适当的字母．）

25．如图，是的直径，点C，D在圆上，，过点C作交的延长线于点E．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
26．2023年7月，第31届世界大学生夏季运动会在成都举办，让四川成为了全世界年轻人关注的焦点，其中大运会吉祥物蓉宝也广受欢迎，成为热销商品．某商家以每套42元的价格购进一批蓉宝．若该商品每套的售价是50元时，每天可售出180套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．
(1)设蓉宝每套售价定为元时，求该商品销售量（套）与之间的函数关系式；
(2)求每套售价定为多少元时，每天销售所获利润最大，最大利润是多少元？
27．综合与实践
【问题情境】
如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F．
【活动猜想】
（1）如图2，当点与点D重合时，四边形是哪种特殊的四边形？并给予证明．
【问题解决】
（2）如图1，当，，时，连接，则的长为______．
【深入探究】
（3）如图3，请直接写出与满足什么关系时，始终有与对角线平行？
28．在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于A、两点（点A在点的左侧），顶点坐标为，点在此抛物线上，且横坐标为．
(1)求、的值；
(2)当时，，则的取值范围是____________________；
(3)当点在轴下方时，若抛物线在点A和点之间的部分（包含A、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差是，求的值；
(4)点，以为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当抛物线在矩形内部的点纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
调查目的
了解我校学生对4门选修课的喜爱情况
调查方式
抽样调查
调查对象
我校部分学生
调查内容
1．你的性别是（ ）
A．男 B．女
2．下列4门选修课中，你最喜欢的是（ ）（只能单选）
A．西点烘焙 B．跆拳道 C．射艺 D．龙卷风之足球队
填完后，请将问卷交给数学课代表．
数据的收集、整理与描述

男生最喜欢选修课的人数统计图

100名女生最喜欢选修课的人数统计图
调查结论
……
参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义,即只含有一个未知数,并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.
【详解】解：A.满足一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
B.含有2个未知数，故本选项不符合题意；
C.含有一个未知数，但含未知数的项的最高次数为3，故本选项不符合题意；
D.是分式方程，故本选项不符合题意.
故选：A.
2．B
【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，正确把握锐角三角函数关系是解题关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴．
故选B．
3．D
【分析】根据众数：“出现次数最多的数据”，中位数：“将数据排序后，中间一位数据或中间两位数据的平均数”，进行判断即可．
【详解】解：将数据进行排序得到： 3，5，5，6，6，6，7；
出现次数最多的是6，中间数据为6；
∴众数和中位数都是6，
故选D．
4．C
【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般式为是解本题的关键是解题的关键．
【详解】解：∵是关于x的二次函数，
∴，
解得：，
故选C．
5．D
【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，据此及可求解．
【详解】解：二次函数 的图像的顶点坐标是,
故选：D．
6．C
【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到，然后解一次方程即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为，
根据题意得，
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
7．A
【分析】本题考查了垂径定理，作，可得，求出即可求解．
【详解】解：作，如图所示：
∵
∴
∴
∵，
∴，
∴
故选：A．
8．B
【详解】∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
又∵∠CBD=60°，
∴∠BDC=180°﹣∠BCD﹣∠CBD=30°，
∴∠A=∠BDC=30°．
故选B．
9．B
【分析】延长交的延长线于点，根据证明得，结合直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质可判断①正确；利用四边形内角和得，进而可判断②正确；由条件不能证明与全等可判断③错误；连接，过点作于点，过点作于，交于，证明是梯形的中位线，得，证明得，证明得，进而可判断④正确；⑤由可知点在上运动，然后根据垂线段最短和勾股定理可判断⑤不正确．
【详解】解：如图，延长交的延长线于点，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵绕点顺时针旋转得，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
由条件不能证明与全等，故不能证明，故③错误；
如图，连接，过点作于点，过点作于，交于，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是梯形的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，故④正确；
∵，
∴点在上运动，
∴当时，有最小值，
∵，
∴的最小值，故⑤不正确；
∴正确的有①②④，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，旋转的性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例，梯形中位线的定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及垂线段最短等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
10．B
【分析】设正六边形的外接圆的圆心为O，连接，则，所以圆心O在上，由点G为的中点，得，可求得，由是等边三角形，得，则，所以，则，作交于点I，则，所以，则，于是得，再证明，得，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图2，设正六边形的外接圆的圆心为O，连接，
，
，
∴圆心O在上，
∵点G为的中点，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
作交于点I，则，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题重点考查正多边形与圆、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
11．
【分析】由 结合比例的基本性质可得从而可得答案．
【详解】解：

故答案为：
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握比例的基本性质是解题的关键．
12．2023
【分析】根据方程的解是使方程成立的未知数的值，将代入方程进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：2023．
13．
【分析】直接由概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：闭合开关或者同时闭合开关、，都可使小灯泡发光，
任意闭合其中一个开关共有3种等可能的结果，小灯泡发光的只有闭合这1种结果，
小灯泡发光的概率为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．此题比较简单，注意概率所求情况数与总情况数之比．
14．
【分析】根据垂直的定义及直角三角形的性质可知，再根据勾股定理可知，最后根据扇形的面积及半圆的面积即可解答．
【详解】解：过点作于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∵扇形的半径，，
∴，
∴，
，
∴阴影部分的面积是，
故答案为：．

【点睛】本题考查了垂直的定义，直角三角形的性质，勾股定理，扇形的面积，掌握垂直的定义及直角三角形的性质是解题的关键．
15．
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接列出方程即可．
【详解】解：由题意可列方程为；
故答案为．
16．（答案不唯一）
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键．
由抛物线与x轴没有交点，可知无实数根，即，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点，
∴无实数根，
∴，
解得，，
实数k的值可以是，
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查实数的定义新运算，理解新运算的法则，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．
根据材料提示的计算法则，计算即可；根据的取值范围，找出最大数，并能被整除的方法分别确定最大值、最小值，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，的千位和个位的两位数为，百位和十位的两位数为，
∴，，
∴，
故答案为：；
∵，，、是整数，
∴当时，，
∴，，
∴，不能被整除，不符合题意；
同理，当时，，
∴，不能被整除，不符合题意；
当时，
∴，能被整除，符合题意；
∴的最大值为；
同理，当时，，
∴，不能被整除，不符合题意；
当时，，
∴，不能被整除，不符合题意；
当时，，
∴，不能被整除，不符合题意；
当时，，
∴，不能被整除，不符合题意；
当时，，
∴，能被整除，符合题意；
∴的最大值为；
∴的最大值与最小值的差为，
故答案为：．
18．
【分析】此题是二次函数综合题，主要考直了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键.
（1）由与相切,得出，而轴，进而判断出点在轴上，即可得出答案；
（2）当点在第一象限时和当点在第四象限时，找出时，判断出为等腰直角三角形，进而得出，进而得出或,立方程求出的值，即可得出的分界点，进而得出答案.
【详解】解：（1）轴，，
与相切，
，
轴，
点在轴上，
点是圆心，
点的横坐标为，
，
故答案为∶；
（2）如图，连接，过点作轴于，过点作轴于，

则，
由（1）知，，
∵轴于，且点在第一象限内，
轴，
直线过点，
当是射线与直线相交的分界点，
如图，①当点在第一象限时，过点作轴于，
当时，
由（1）知，，
∴为等腰三角形，
（舍去）或，
②当点在第四象限时，过点作轴于
同①的方法得，，
，
（舍去）或
故答案为∶．
19．（1），；（2）
【分析】本题考查解一元二次方程，特殊角三角函数的混合运算：
（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）将特殊角三角函数值代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
即，；
（2）
．
20．(1)见解析
(2)
【分析】利用相似三角形的判定定理证明，再根据相似三角形对应边成比例进行计算即可．
【详解】（1），，
；
（2），
，
得，
解得，
，
即．
【点睛】本题考查基础的相似三角形判定及性质，利用两个对应角相等进行三角形相似的判定是最常考的类型．
21．(1)
(2)
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）直接根据概率公式计算即可；
（2）画出树状图，用符合条件的情况数除以所有等可能发生的情况数即可．
【详解】（1）小明购买门票在A区观赛的概率为．
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小亮在同一区域观看比赛的结果有4种，
∴小明和小亮在同一区域观看比赛的概率为．
22．点C与点D的距离约为
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，在中，求出的长，在中求出的长，利用求出的长即可．掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：，，
在中：，
∴，
在中，，
∴，
∴；
答：点C与点D的距离约为．
23．(1)，
(2)人
(3)选择“西点烘焙”选修课的女生比男生的百分比大
【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体，解题的关键是数形结合，熟练掌握扇形统计图和条形统计图的特点．
（1）根据选择“中华传统文化美德讲习”为选修课程的男生人数为人，占总的男生人数的，求出参与本次抽样调查的男生人数即可；根据选择“西点烘焙”选修课的男生占总男生人数的，求出选择“西点烘焙”选修课的男生人数即可；
（2）根据样本中选择“龙卷风之足球队”选修课的女生所占调查人数的百分比估计总体即可；
（3）结合两个统计图，提出一条合情合理的信息即可解题．
【详解】（1）解：参与本次抽样调查的男生人数为：（人），
选择“西点烘焙”选修课的男生人数为：人．
（2）解：人，
答：全校女生选择“龙卷风之足球队”选修课的人数为人．
（3）选择“西点烘焙”选修课的女生比男生的百分比大．
24．见解析
【分析】本题考查了基本作图经过一点作垂线，垂径定理和圆周角定理．根据垂径定理和圆周角定理作图即可．
方法一：先任意画一条弦，再作这条弦的垂直平分线交圆于点C、D ，线段即为所作；
方法二 ：先任意画一条弦，再过过点F，作交圆于G，再连接，线段即为所作．
【详解】解：方法一：如图，线段即为所求；
由作图可知：垂直平分，根据垂径定理可得，必过圆心，
∴线段为圆的直径；
方法二 ：如图，线段即为所求．
由作图可知：，
∴
根据90度的圆周角所对的弦是直径，可得线段是圆的直径．

25．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了切线的判定定理和勾股定理，垂径定理：
（1）连接，，，则，再由已知条件，可得；
（2）作，得到四边形是矩形和，根据矩形性质可得长．
【详解】（1）解：连接，，如图所示：

∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，作，

∵，
∴
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，由勾股定理得：
∴．
26．(1)
(2)每套售价定为元时，每天销售所获利润最大，最大利润是元．
【分析】（1）本题主要考查了一次函数的应用，根据“该商品每套的售价是50元时，每天可售出180套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．”列出解析式，即可求解．
（2）本题主要考查了二次函数的实际应用，根据利润等于每件的利润乘以销售量，可得到函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，，即．
（2）解：由题知，
，二次函数开口向下，有最大值，
即当时，最大，最大利润为元，
故每套售价定为元时，每天销售所获利润最大，最大利润是元．
27．（1）当点与点重合时，四边形是菱形，证明见解析；（2）4；（3）当时，始终有与对角线平行
【分析】（1）由折叠可得：，，再证得，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案；
（2）设与交于点，过点作于，利用勾股定理可得，再证明，可求得，进而可得，再由，可求得，，，运用勾股定理可得；
（3）设，则，利用折叠的性质和平行线性质可得：，再运用三角形内角和定理即可求得，利用解直角三角形即可求得答案．
【详解】解：（1）当点与点重合时，四边形是菱形，证明如下：
设与交于点，如图，
由折叠得：，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
四边形是菱形．
（2）四边形是矩形，，，，
，，，
，，
如图，设与交于点，过点作于，
由折叠得：，，，

，
，
，
，即，
，
，
，，
，
，即，
，，
，
；
（3）当时，始终有与对角线平行．
理由：如图，设、交于点，

四边形是矩形，
，，
，
设，则，
由折叠得：，，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
；
∴当时，始终有与对角线平行．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，涉及知识点多，综合性强，难度较大，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
28．(1)
(2)
(3)或2
(4)当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小；当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大．
【分析】（1）根据二次函数的顶点列式即可解答；
（2）根据二次函数图像的性质即可解答；
（3）由题意可得点P的坐标为，再确定时x的值，然后分和两种情况解答即可；
（4）设矩形为，然后确定，；假设点M在抛物线上，求得m的值，然后结合函数图像即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点的坐标为为，
∴，，解得：．
（2）解：∵，
∴，
令，解得：或，，
∴的解集为：，
∵抛物线的顶点坐标为，
∴当时，抛物线有最小值，
∵当时，，
∴．
（3）解：∵点的横坐标为，
∴,
令，解得：或，
当时，当时取最低点，当P在A时有最高点0，
∴，解得：或（不合题意舍去）
当时，当时取最小值，当P在B时有最大值0，
∴，解得：
综上，的值为或2．
（4）解：设矩形为，
∵，，
∴，，

如图：当M点在抛物线上时，
，解得：或2，
所以当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小；
当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大．
【点睛】本题主要考查了求函数解析式、二次函数图像的性质、二次函数的最值等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．