2024-2025学年江苏省无锡市新吴区九年级（上）期中数学试卷（含详解）

这是一份2024-2025学年江苏省无锡市新吴区九年级（上）期中数学试卷（含详解），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣1＝0B．y2+x＝1C．2x+1＝0D．x+＝1
2．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0，配方正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝4B．（x﹣6）2＝14C．（x﹣3）2＝14D．（x+3）2＝4
3．（3分）⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为2，若点P在⊙O外，则（ ）
A．0＜r＜2B．r＝2C．r＞2D．r≥2
4．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能判断
5．（3分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三条高所在直线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．以上都不对
6．（3分）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．100×80﹣100x﹣80x＝7644
B．（100﹣x）（80﹣x）+x2＝7644
C．（100﹣x）（80﹣x）＝7644
D．100x+80x＝100×80﹣7644
7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝130°，则∠BOD的度数为（ ）
A．50°B．100°C．130°D．150°
8．（3分）有下列结论：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；（4）弧长相等的弧是等弧．其中正确结论的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
9．（3分）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题即：“如图所示，CD垂直平分弦AB，CD＝1寸，AB＝10寸，求圆的直径”（1尺＝10寸）根据题意直径长为（ ）
A．10寸B．20寸C．13寸D．26寸
10．（3分）如图，点A的坐标是（﹣3，0），点C是以OA为直径的⊙B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P（x，y），则x+y的最大值为（ ）
A．3B．C．6D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（3分）已知x＝1是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则实数c的值是 ．
12．（3分）写出一个根为﹣1的一元二次方程： ．
13．（3分）一个圆锥的母线长为13，底面圆的半径为5，则此圆锥的侧面积是 ．
14．（3分）已知三角形的边长分别是3，4，5，则它的外接圆的半径是 ．
15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠D＝34°，则∠A的度数为 ．
16．（3分）如图，用一个半径为4cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了100°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 cm．（结果保留π）
17．（3分）已知m，n，3分别是等腰三角形三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程x2﹣8x+21﹣k＝0的两个实数根，则k的值为 ．
18．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝105°，OA＝4，点C在半径OA上，将△BOC沿着BC翻折，点O的对称点D恰好落在弧AB上，再将弧AD沿着CD翻折至弧A1D（点A1是点A的对称点），那么OA1的长为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）解方程：
（1）（x﹣1）2＝9；
（2）2x2﹣5x+2＝0．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程有一个根为x＝1，求m的值及另一个根．
21．（10分）如图，点P是⊙O内一定点．
（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，
①求过点P的弦的长度m范围；
②过点P的弦中，长度为整数的弦有 条．
22．（10分）如图，已知A、B、C均在⊙O上，请用无刻度直尺作图．
（1）若∠A＝34°，求作一个56°的角；
（2）M、N分别是BC、AC边中点，求作△ABC的内心．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，则阴影部分的面积？
24．（10分）如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，点E与点A在直径BC的两侧，且，BE、AC的延长线交于点G，BE与AD的延长线交于点F．
（1）判断△FAG的形状，并说明理由．
（2）若⊙O的半径为5，OD＝2，求AF的长．
25．（10分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
26．（10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2，x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．
（1）根据上述定义，一元二次方程x2﹣3x+2＝0 （填“是”或“不是”）“倍根方程”；
（2）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求m与n的关系；
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，求a，b，c之间的关系．
27．（10分）【给出问题】如图1，正方形ABCD内接于⊙O，P是的中点，连接AP，DP．求证：AP＝DP；
【深入思考】如图2，正方形ABCD内接于⊙O，点P为BC上任意一点，连接PA、PB、PC，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．
【拓展应用】如图3，若四边形ABCD是矩形，点P为边AD上一点，∠BPC＝45°，PA＝1，PD＝2，试求矩形ABCD的面积．
28．（10分）已知线段AM＝5，射线AS垂直于AM，点N在射线AS上，设AN＝n，点P在经过点N且平行于AM的直线上运动，∠PAM的平分线交直线NP于点Q，过点Q作QB∥AP，交线段AM于点B，连接PB交AQ于点C，以Q为圆心，QC为半径作圆．
（1）判断PB与⊙Q的位置关系： ；
（2）已知⊙Q的半径为3，当AM所在直线与⊙Q相切时，求PA的长；
（3）当n＝2时，若⊙Q与线段AM只有一个公共点，则⊙Q的半径的取值范围是多少？
2024-2025学年江苏省无锡市新吴区九年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．【解答】解：A．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
B．该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意；
C．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．【解答】解：x2﹣6x﹣5＝0，
移项，得x2﹣6x＝5，
配方，得x2﹣6x+9＝5+9，
即（x﹣3）2＝14，
故选：C．
3．【解答】解：∵点P在⊙O外，
∴r＜d，
∵⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为2，
∴0＜r＜2．
故选：A．
4．【解答】解：由题意得，Δ＝m2﹣4×（﹣8）＝m2+32＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
5．【解答】解：∵三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在△ABC三条角平分线的交点．
故选：C．
6．【解答】解：由题意有（100﹣x）（80﹣x）＝7644，
故选：C．
7．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，而∠C＝130°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝50°，
∴∠BOD＝2∠A＝100°．
故选：B．
8．【解答】解：（1）不共线的三点确定一个圆，故不符合题意；
（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故不符合题意；
（3）三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，故符合题意；
（4）在同圆或等圆中，能够重合的两条弧是等弧，故不符合题意．
故选：B．
9．【解答】解：连接OD，OA，
∵CD垂直平分弦AB，CD＝1寸，AB＝10寸，
∴AD＝5寸，
在Rt△OAD中，OA2＝OD2+AD2，
即OA2＝（OA﹣1）2+52，
解得：OA＝13，
故圆的直径为26寸，
故选：D．
10．【解答】解：连接OC，OP，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∵点A关于点C的对称点为点P（x，y），
∴OP＝OA＝3，
∴点P在以O为圆心，3为半径的圆上运动，
令x+y＝m，
则y＝﹣x+m，
∵要求m值最大，
∴m越往上越大，
∴当直线于⊙O相切时，m最大，
设直线于y轴交于点Q，切点为P'，连接OP'，则OP'＝3，
由直线比例系数k＝1可知，直线与坐标轴所夹锐角为45°，
∴△OP'Q为等腰直角三角形，
∴OQ＝OP'＝3，
即x+y＝m＝3，
∴x+y最大值为3，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．【解答】解：∵x＝1是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，
∴1﹣3+c＝0，
解得：c＝2，
故答案为：2．
12．【解答】解：因为一元二次方程的一个根为﹣1，
所以这个方程可以为：x2＝1（答案不唯一）．
故答案为：x2＝1（答案不唯一）．
13．【解答】解：此圆锥的侧面积＝×13×2π×5＝65π．
故答案为65π．
14．【解答】解：设△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，如图1，
∵32+42＝52，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，
取AC边的中点O，
∴OB＝OA＝OC，
∴A，B，C三点在以O为圆心，OB为半径的圆上，
即⊙O是△ABC的外接圆，
∵OB＝，
∴△ABC的外接圆的半径为2.5，
故答案为：2.5．
15．【解答】解：如图，连接OC，
∵DC切⊙O于点C，
∴OC⊥DC，
∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝34°，
∴∠DOC＝90°﹣34°＝56°，
∴，
故答案为：28°．
16．【解答】解：由题意得，重物上升的距离是半径为6cm，圆心角为100°所对应的弧长，
即，
故答案为：．
17．【解答】解：①当m、n为腰时，m＝n，
∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣8x+21﹣k＝0的两个根，
∴方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣8）2﹣4×1×（21﹣k）＝0，
解得：k＝5；
②当m和3（或n和3）是腰时，m＝3，
把m＝3代入方程得9﹣24+21﹣k＝0，
解得：k＝6；
所以k＝5或6．
故答案为：5或6．
18．【解答】解：如图，连接OD，
由翻折的性质可知，OB＝BD，OC＝DC，AC＝A1C，∠BOC＝∠BDC＝105°，
∵OB＝OD，
∴OB＝OD＝BD，
∴△BOD是正三角形，∠OBD＝60°，
∴∠OCD＝360°﹣105°﹣105°﹣60°＝90°，
设AC＝a，则OC＝4﹣a＝CD，A1O＝4﹣2a，
在Rt△COD中，OC＝CD＝4﹣a，OD＝4，
由勾股定理得，OC2+CD2＝OD2，
即（4﹣a）2+（4﹣a）2＝16，
解得a＝4﹣2或a＝4+2＞4（舍去），
∴OA1＝OA﹣2AC＝4﹣2（4﹣2）＝4﹣8+4＝4﹣4．
故答案为：4﹣4．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．【解答】解：（1）（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3，
∴x1＝4，x2＝﹣2；
（2）2x2﹣5x+2＝0，
（2x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴2x﹣1＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝，x2＝2．
20．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×[﹣（m﹣2）]＝4m﹣4≥0，
解得：m≥1．
（2）将x＝1代入原方程，1+2﹣（m﹣2）＝0，
解得：m＝5，
∴原方程为x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3．
∴m的值为5，方程的另一个根为x＝﹣3．
21．【解答】解：（1）如图1，连接OP并延长，过点P作AB⊥OP，
则弦AB即为所求；
（2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，
连接OA，如图2所示：
∵OP⊥AB，
∴AP＝BP＝＝＝12，
∴AB＝2AP＝24，
∴过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26；
②∵过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，
∴长度为25的弦有两条，
∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有4条，
故答案为：4．
22．【解答】解：（1）如图1，∠BCD为所作；
（2）如图2，点P为所作．
23．【解答】（1）证明：连接OD，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵OB＝OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠BDO＝30°，
∴∠DOA＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DEC＝∠AED＝90°，
∴∠DAC＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∵CD＝2，
∴DE＝CD＝，
∴AE＝DE＝1，
∴AD＝2AE＝2，
∵OA＝OD，
∴△ODA是等边三角形，
∴OA＝AD＝2，
∴阴影部分的面积＝△AOD的面积+△ADE的面积﹣扇形AOD的面积＝+﹣＝﹣．
24．【解答】解：（1）△FAG是等腰三角形，
理由：∵＝，
∴∠ACB＝∠ABE，
∵∠ACB＝∠G+∠CBE，∠ABE＝∠ABC+∠CBE，
∴∠G+∠CBE＝∠ABC+∠CBE，
∴∠G＝∠ABC，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠BDA＝90°，
∴∠FAG＝∠ABC＝90°﹣∠BAF，
∵∠G＝∠FAG，
∴AF＝GF，
∴△FAG是等腰三角形．
（2）∵⊙O的半径为5，OD＝2，
∴OB＝OC＝5，
∴BD＝OB+OD＝5+2＝7，BC＝OB+OC＝5+5＝10，
∵∠BDA＝∠BAC＝90°，∠DBA＝∠ABC，
∴△DBA∽△ABC，
∴＝，
∴BA2＝BD•BC＝7×10＝70，
∴AD＝＝＝，
∵∠FBA+∠G＝90°，∠FAB+∠FAG＝90°，且∠G＝∠FAG，
∴∠FBA＝∠FAB，
∴BF＝AF，
∵∠BDF＝90°，FD＝AF﹣，
∴BD2+FD2＝BF2，
∴72+（AF﹣）2＝AF2，
解得AF＝，
∴AF的长是．
25．【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：150（1+x）2＝216，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，
整理，得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
26．【解答】解：（1）x2﹣3x+2＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
解得x1＝2，x2＝1，
故该方程是倍根方程；
故答案为：是；
（2）（x﹣2）（mx﹣n）＝0，
∴x﹣2＝0或mx﹣n＝0，
解得x1＝2，x2＝，
∵（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，
∴＝4或＝1，
∴n＝4m或n＝m；
（3）2b2＝9ac；理由如下：
∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（b2﹣4ac≥0）是倍根方程，
∴设方程的两根分别为t，2t，
根据根与系数的关系得t+2t＝﹣，t•2t＝，
∴t＝﹣，
∴2（﹣）2＝，
∴2b2＝9ac．
27．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴，
∵P是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴AP＝DP；
（2）解：PA＝CP+，理由如下：
过点B作BQ⊥BP交AP于点Q，取圆心O，连接OA，OB，
∵∠ABC＝∠PBQ＝90°，
∴∠ABC﹣∠CBQ＝∠PBQ﹣∠CBQ，
∴∠ABQ＝∠CBP，
∵∠AOB＝90°，
∴∠APB＝45°，
∴BP＝BQ，PQ＝，
在△ABQ和△CBP中，
，
∴△ABQ≌△CBP（AAS），
∴AQ＝CP，
∴PA＝AQ+PQ＝CP+；
（3）解：以BC为边，作正方形BCFE，连接PE，PF，BF，OC，作正方形BCFE的外接圆⊙O，则圆心O在BF上，
∵∠BPC＝45°，∠BOC＝90°，
∴点P在⊙O上，
∵PA＝1，PD＝2，
∴BE＝EF＝BC＝AD＝PA+PD＝3，AE＝DF，
∵∠BEF＝90°，
∴BF＝，
设AE＝x，则DF＝x，AB＝3+x，
在Rt△ABP中，BP2＝AB2+AP2＝（3+x）2+12，
在Rt△PDF中，PF2＝PD2+DF2＝x2+22，
在Rt△BPF中，BF2＝BP2+PF2，
∴，
∴（负值已舍去），
∴AB＝3+x＝，
∴矩形ABCD的面积＝．
28．【解答】解：（1）∵∠PAM的角平分线交直线NP于点Q，
∴∠PAQ＝∠BAQ，
∵PQ∥AB，
∴∠PQA＝∠BAQ，
∴∠PAQ＝∠PQA，
∴PA＝PQ，
又∵QB∥PA，
∴四边形APQB为平行四边形，
∴四边形APQB为菱形；
∴PB⊥AQ，垂足为C，
∴PB与⊙Q相切，
故答案为：相切；
（2）如图，当AM与⊙Q相切于点D时，AN＝QD＝QC＝3，AQ＝6，∠ADQ＝90°，
在Rt△ADQ中，AD＝，
设AP＝AB＝BQ＝x，则BD＝，
在Rt△BDQ中，，
解得，
∴PA＝2；
（3）当⊙Q与AM相切时，r＝2，此时⊙Q与AM只有一个公共点，
当⊙Q过点M时，如图，连接QM，作QE⊥AM于E，
设QM＝QC＝x，则AQ＝2x，
由NQ+ME＝AM＝5得，
＝5，
设x2＝y，
则方程转化为9y2﹣250y+1025＝0，
解得y1＝5，y2＝，
∴x＝，
当⊙Q第二次经过点M时，作ME⊥NQ于E，如图3，
设QM＝QC＝x，则AQ＝2x，
由NQ﹣EQ＝AM＝5得，
﹣＝5，
设x2＝y，
则方程转化为9y2﹣250y+1025＝0，
解得y1＝5，y2＝，
∴x1＝，x2＝（舍去），
∴⊙Q与线段AM只有一个公共点，则⊙Q的半径的取值范围是QC＝2或．