2021-2022学年江苏省无锡市梁溪区侨谊实验中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省无锡市梁溪区侨谊实验中学八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是

A.  B.  C.  D.

2. 下列各式中：，，，，，，，分式有个．

A.  B.  C.  D.

3. 能判定四边形为平行四边形的条件是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

4. 已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是

A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形

5. 下列调查中，适宜采用抽样调查方式的是

A. 学校在给学生定制校服前尺寸大小的调查
B. 调查某品牌白炽灯的使用寿命
C. 调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品
D. 调查八年级某班学生的视力情况

6. 下列分式是最简分式的是

A.  B.  C.  D.

7. 将中的、都扩大为原来的倍，则分式的值

A. 不变 B. 扩大为原来的倍
C. 扩大为原来的倍 D. 扩大为原来的倍

8. 如图，在菱形中，，，分别是边和的中点，于点，则的度数为

A.
B.
C.
D.

9. 下列变形正确的是

A.  B.
C.  D.

10. 如图，一个花园的平面图呈矩形，被分割成个正方形和个矩形后仍是中心对称图形，若只知道原来矩形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共29.0分）

11. 当 ______ 时，有意义；若分式的值为零，则的值为______ ．
12. 约分：______，
    ______，
    ______，
    若，则的值是______．
13. 一次数学测试后，某班名学生的成绩被分为组，第组的频数分别为、、、，则第组的频率为______．
14. 要使正十二边形旋转后与自身重合，至少应将它绕中心旋转的度数为______．
15. 已知一个菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的高为______．
16. 分式，的最简公分母为______．
17. 如图，在直角坐标系中，▱的边落在轴的正半轴上，且点，，直线以每秒个单位的速度向右平移，经过______ 秒该直线可将▱的面积平分．
     

18. 如图，菱形的对角线，交于点，，，将沿点到点的方向平移，得到，当点与点重合时，点与点之间的距离为______．

19. 如图，▱中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于______．

20. 如图，，是正方形的边上两个动点，满足连接交于点，连接交于点若正方形的边长为，则线段长度的最小值是______．
    
     

三、解答题（本大题共5小题，共42.0分）

21. 计算与化简：
    ；
    ．
    先化简，然后在、、三个数中任选一个你喜欢的数代入求值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 某学校计划在“阳光体育”活动课程中开设乒乓球、羽毛球、篮球、足球四个体育活动项目供学生选择．为了估计全校学生对这四个活动项目的选择情况，体育老师从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查规定每人必须并且只能选择其中的一个项目，并把调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
    
    参加这次调查的学生有______人，并根据已知数据补全条形统计图；
    求扇形统计图中“篮球”项目所对应扇形的圆心角度数；
    若该校共有名学生，试估计该校选择“足球”项目的学生有多少人？
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，平行四边形的周长为，由钝角顶点向、引两条高、，且，．
    求这个平行四边形的面积．
    与的关系怎样？为什么？
    平行四边形两条对角线长分别为和，求则其边长的范围．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，在四边形中，，，，，动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为秒．
    当时，若四边形是平行四边形，求出满足要求的的值；
    当时，若以，，，为顶点的四边形面积为，求相应的的值；
    当时，若以，，，为顶点的四边形面积为，求相应的的值．

25. 如图，点，分别在正方形的边，上，且，点在射线上点不与点重合将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线，垂足为点，交射线于点．
    如图，若点是的中点，点在线段上，线段，，的数量关系为______．
    如图，若点不是的中点，点在线段上，判断中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
    正方形的边长为，，，请直接写出线段的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合题意．
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

2.【答案】

【解析】

解：，，，，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
，，是分式，共个，
故选：．
根据分式定义：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式进行分析即可．
此题主要考查了分式定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
 

3.【答案】

【解析】

解：、若，，无法判定四边形为平行四边形，故此选项错误；
B、，，无法判定四边形为平行四边形，故此选项错误；
C、，，可判定是平行四边形的条件，故此选项正确；
D、此条件下无法判定四边形的形状，还可能是等腰梯形，故此选项错误．
故选：．
平行四边形的五种判定方法分别是：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法，采用排除法，逐项分析判断即可得到结果．
本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判别方法是说明一个四边形为平行四边形的理论依据，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
 

4.【答案】

【解析】

解：
四边形是平行四边形，
当或时，四边形为菱形，故A、结论正确；
当时，四边形为矩形，故C结论正确；
当时，四边形为矩形，故D结论不正确，
故选：．
分别根据菱形、矩形和正方形的判定逐项判断即可．
本题主要考查菱形、矩形和正方形的判定，掌握菱形、矩形、正方形是特殊的平行四边形是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：、学校在给学生定制校服前尺寸大小的调查，需作全面调查，不宜采用抽样调查，故本选项错误；
B、调查某品牌白炽灯的使用寿命，具有破坏性，适宜采用抽样调查方式，故本选项正确；
C、调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品，需作全面调查，不宜采用抽样调查，故本选项错误；
D、调查八年级某班学生的视力情况，需作全面调查，不宜采用抽样调查，故本选项错误．
故选：．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

6.【答案】

【解析】

解：、，不是最简分式，本选项错误；
B、，不是最简分式，本选项错误；
C、是最简分式，本选项正确；
D、，不是最简分式，本选项错误．
故选：．
结合最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．求解即可．
本题考查了最简分式，解答本题的关键在于熟练掌握最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题关键．
根据题意对原式进行变形，再进行化简可得答案．
【解答】
解：将中的、都扩大为原来的倍，
，
分式的值扩大为原来的倍．
故选B．  

8.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线等知识点，注意准确作出辅助线是解此题的关键首先延长交的延长线于点，先证出≌，得出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，从而证出，再根据等腰三角形的性质求出的度数，即可求出的度数．
【解答】
解：如图所示，延长交的延长线于点，
四边形是菱形，
，，，
，
点是的中点，
，
在与中，
，
≌，
，
为中点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，，分别为，的中点，
，
，
．
故选A．  

9.【答案】

【解析】

解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】

解：如图：

设图形的长和宽分别是、，图形的边长是，图形的边长是，原来大长方形的周长是，
则，
根据图示，可得，
，可得：，
，
，或，
，，
图形的周长是，图形的周长是，值为一定，
图形的周长是定值，不用测量就能知道，图形的周长不用测量无法知道．
分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为．
故选：．
首先设图形的长和宽分别是、，图形的边长是，图形的边长是，原来大长方形的周长是，判断出，，；然后分别判断出图形、图形的周长都等于原来大长方形的周长的，所以它们的周长不用测量就能知道，而图形的周长不用测量无法知道，据此解答即可．
此题主要考查了整式的加减，中心对称的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确中心对称的性质：关于中心对称的两个图形能够完全重合；关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
 

11.【答案】

；
 

【解析】

解：分式有意义，
，解得；
分式的值为零，
，解得．
故答案为：，．
根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围；再根据分式的值为的条件列出关于的不等式组，求出的值即可．
本题考查的是分式的值为的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．
 

12.【答案】

【解析】

解：；
，
，
，
，
，
；
故答案为：；，，．
分子分母约去公因式即可；
先把分子分母因式分解，然后约去公因式即可；
先把分子分母因式分解，然后约去公因式即可；
把已知条件同通分得到，然后利用整体代入的方法和约分计算的值．
本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
 

13.【答案】

【解析】

解：第组的频数：，
第组的频率：，
故答案为：．
首先计算出第组的频数，再计算频率即可．
此题主要考查了频数与频率，关键是掌握频率的计算方法：频数总数频率．
 

14.【答案】

【解析】

解：正十二边形的中心角，
要使正十二边形旋转后与自身重合，至少应将它绕中心旋转．
故答案为：．
由正十二边形的中心角的度数和旋转角的定义即可得出答案．
此题主要考查了旋转对称图形，任何一个正边形都是旋转对称图形，只需绕它的中心旋转度便可与自身重合．
 

15.【答案】

【解析】

解：两条对角线长分别为和，
对角线的一半分别为和，
边长，
设菱形的高为，
则菱形的面积，
解得．
故答案为：．
根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半和底乘以高的两种求法即可求解．
本题主要考查菱形的面积等于对角线乘积的一半和底乘以高的两种求法，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】

解：分式变形得：，，
则两分式的最简公分母为．
故答案为：．
最简公分母：系数取最小公倍数，相同字母取最高次幂，只在一个分母中出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式，找出即可．
此题考查了最简公分母，熟练掌握找最简公分母的方法是解本题的关键．
 

17.【答案】

【解析】

解：四边形是平行四边形，且点，
平行四边形的对称中心的坐标为，
直线的表达式为，
直线和轴交点坐标为，
若该直线可将▱的面积平分，则需经过此平行四边形的对称中心，
直线运动的距离为，
直线以每秒个单位的速度向右平移，
经过秒的时间直线可将▱的面积平分．
故答案为：．
若该直线可将▱的面积平分，则需经过此平行四边形的对称中心，设为平行四边形的对称中心，利用和的坐标可求出其对称中心，进而可求出直线运动的时间．
本题考查了一次函数的图象与几何变换，平行四边形的性质以及直线和坐标轴的交点坐标的求法，解题的关键是掌握直线将▱的面积平分，则需经过此平行四边形的对称中心．
 

18.【答案】

【解析】

解：四边形是菱形，
，，，
沿点到点的方向平移，得到，点与点重合，
，，，
，
；
故答案为．
由菱形的性质得出，，，由平移的性质得出，，，得出，由勾股定理即可得出答案．
本题考查了菱形的性质、平移的性质、勾股定理；熟练掌握菱形的性质和平移的性质是解题的关键．
 

19.【答案】

【解析】

解：如图过点作的垂线交延长线于点，

四边形是平行四边形，
，
，
，
要求的最小值，即求的最小值，
当点、、三点共线时，
取最小值，最小值为的长，
在中，，，
．
故答案为：．
过点作的垂线交延长线于点，根据四边形是平行四边形，可得，所以，得，要求的最小值，即求的最小值，当点、、三点共线时，取最小值，最小值为的长，根据度角所对直角边等于斜边的一半即可求出的最小值．
本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握度角所对直角边等于斜边的一半．
 

20.【答案】

【解析】

解：在正方形中，，，，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
取的中点，连接、，
则，
在中，，
根据三角形的三边关系，，
当、、三点共线时，的长度最小，
最小值．
解法二：可以理解为点是在，直径的半圆上运动当、、三点共线时，长度最小
故答案为：．
根据正方形的性质可得，，，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，从而得到，然后求出，取的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的三边关系可知当、、三点共线时，的长度最小．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出最小时点的位置是解题关键，也是本题的难点．
 

21.【答案】

解：原式
；
原式

；
原式

，
和时原式无意义，
把代入得：
原式

．
 

【解析】

把除化为乘，再分解因式约分；
先通分再合并即可；
先化简，再将代入计算即可．
本题考查分式化简和化简求值，解题的关键是掌握分式的通分、约分，将分式化简．
 

22.【答案】

【解析】

解：参加这次调查的学生有：人，
羽毛球的人数有：人，补全统计图如下：

故答案为：；

“篮球”项目所对应扇形的圆心角度数是：；

根据题意得：
人，
答：估计该校选择“足球”项目的学生有人．
根据乒乓球的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它项目的人数求出羽毛球的人数，从而补全统计图；
用乘以篮球”项目所占的百分比即可；
用该校的总人数乘以选择“足球”项目的人数所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

23.【答案】

解：设，则，
由，
即，
解得：．
则平行四边形的面积是：；
与的关系是互补，
理由：，，
，
，
，
故与的关系是互补；
平行四边形两条对角线长分别为和，
其边长的范围为，
故其边长的范围为．
 

【解析】

对于同一个平行四边形面积是一定的，因此以为底，为高或者以为底，为高求出结果应该是一致的．又由题可知，和之间存在和为的关系，所以可列方程进行解答；
根据垂直的定义得到，根据四边形的内角和定理即可得到结论；
根据平行四边形的性质和三角形的三边关系即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，三角形的三边关系，四边形的内角和定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

24.【答案】

解：四边形是平行四边形，
，
当时，、分别沿、运动，如图所示：
，


解得：；
即当秒时，四边形是平行四边形；
当时，、分别沿、运动，如图所示：
，，
若以，，，为顶点的四边形面积为，
则，
即，
解得：；
即当时，若以，，，为顶点的四边形面积为，的值为秒；
当时，点到达点返回，，，
则同得：，
即，
解得：．
即当时，若以，，，为顶点的四边形面积为，的值为秒．
 

【解析】

由平行四边形的性质得出，当时，、分别沿、运动，由题意得出方程，解方程即可；
当时，、分别沿、运动，由梯形面积公式得出方程，解方程即可；
当时，点到达点返回，由梯形面积公式得出方程，解方程即可．
本题是四边形综合题目，考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定与性质、梯形的面积等知识，熟练掌握直角梯形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】

中的结论仍然成立，理由如下：
由题意得：，，
，
，
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，，
≌，
，
，
即；
分两种情况：
当点在线段上时，点在线段上，如下图所示：

由可知：，
，
，，
，
；
当点在线段上时，点在线段的延长线上，如图所示：

同可得：≌，
，
，
，
；
综上所述，线段的长为或．
 

【解析】

解：；理由如下：
四边形是正方形，
，，
由旋转的性质得：，，
，
，
，，
，
又，，
，
在和中，，
≌，
，
，
即；
故答案为：；

由证明≌，得出，即可得出结论；
由证明≌，得出，即可得出结论；
当点在线段上时，点在线段上，由可知：，求出，，即可得出答案；
当点在射线上时，点在线段的延长线上，同理可得：；即可得出答案．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．