【备战2024中职高考】中职数学 二轮复习 专题模拟卷专题06　平面向量和平面教师几何测试卷(二)（教师版）

这是一份【备战2024中职高考】中职数学 二轮复习 专题模拟卷专题06　平面向量和平面教师几何测试卷(二)（教师版），共12页。试卷主要包含了单项选择题， 填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题(本大题共20小题，1～12每小题2分，13～20每小题3分，共48分)
1．直线l的倾斜角120°，且该直线经过点(1，k)，(2，0)，则k＝( )
A．－2 B.eq \r(3) C．2 D．－eq \r(3)
【答案】B
【解析】 由题意可知直线的斜率kl＝－eq \r(3)，代入两点，解得k＝eq \r(3)，故答案选B.
2．直线eq \r(3)x＋3y＋1＝0在y轴上的截距是( )
A.eq \f(\r(3),3) B．－eq \f(\r(3),3) C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
【答案】 D
【解析】 当x＝0时，3y＋1＝0，y＝－eq \f(1,3).
3．曲线y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(x)))与圆x2＋y2＝4所围成较小区域的面积为( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(3π,4) C．π D．4
【答案】C
【解析】 eq \f(1,4)πr2＝π.
4．点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，且点P在x轴正半轴上，则点P的坐标为( )
A．(8，0) B．(12，0) C．(0，8) D．(0，12)
【答案】A
【解析】 设P(x，0)，x＞0，d＝eq \f(|3x＋6|,5)＝6，x＝8，x＝－12(舍去)，故选A.
5．若向量a＝(1，2)，b＝(－3，－6)，则下述正确的是( )
A．a与b共线 B．a＝b C．|a|＝|b| D．a⊥b
【答案】A
【解析】 ∵a＝(1，2)，b＝(－3，－6)，∴－3a＝b，故a与b共线．
6．已知点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，2))在抛物线y2＝4ax上，F为抛物线的焦点，则焦点F到准线的距离是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】 点M＝(a，2)代入y2＝4ax，得a＝±1，P＝2，则距离为2.
7．点(2，a)到直线x＋y＋1＝0的距离为eq \r(2)，则a的值为( )
A．－1或5 B．－1或－5 C．1或－5 D．－5
【答案】B
【解析】 d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(Ax0＋By0＋C)),\r(A2＋B2))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2＋a＋1)),\r(1＋1))＝eq \r(2)⇔eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3＋a))＝2⇔a＝－1或－5.
8．过原点且与圆(x－3)2＋y2＝16相切的动圆圆心轨迹是( )
A．双曲线 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线
【答案】B
【解析】 设动圆圆心为M，大圆圆心为A(3，0)，因为两圆内切，所以切点T及两圆圆心共线．∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MO))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MA))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AT))＝4，∴M的轨迹为椭圆．
第8题图
9．直线l经过原点和点(5，－5)，则直线l的倾斜角为( )
第10题图
A．45° B．135° C．45°或135° D．－45°
【答案】B
【解析】 由题意可知直线的斜率k＝tanα＝eq \f(－5－0,5－0)＝－1，∴α＝135°.
10．如图，直线3x＋2y－12＝0与两坐标轴分别交于A，B两点，则下面各点中，在△OAB内部的是( )
A．(－1，2) B．(1，5) C．(2，4) D．(3，1)
【答案】D
【解析】 首先排除A选项，因为横纵坐标都应为正．(0，0)代入式子3x＋2y－12得－12＜0，将B、C、D各点代入式子3x＋2y－12知，只有D选项为负值．
11．已知双曲线x2－eq \f(y2,a)＝1(a>0)的一条渐近线与直线x－2y＋3＝0垂直，则该双曲线的离心率是( )
A.eq \r(3) B.eq \r(5) C.eq \f(\r(5),2) D．2eq \r(3)
【答案】B
【解析】 双曲线x2－eq \f(y2,a)＝1渐近线方程y＝±eq \r(a)x，∴－eq \r(a)×eq \f(1,2)＝－1⇔a＝4，离心率e＝eq \f(\r(1＋4),1)＝eq \r(5).
12．若直线3x＋4y＋b＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝9相切，则b的值为( )
A．－22或8 B．22或－8 C．－3或5 D．3或－5
【答案】A
【解析】 圆心(1，1)，r＝3，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离d＝eq \f(|3＋4＋b|,5)＝3，m＝8或－22.
13．抛物线x2＝－4y上一点P到焦点的距离为4，则它的纵坐标为( )
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
【答案】B
【解析】 点P到焦点的距离等于P到准线的距离4，准线y＝1，则它的纵坐标为1－4＝－3.
14．已知椭圆eq \f(x2,10－m)＋eq \f(y2,m－2)＝1，焦点在x轴上，若焦距为4，则m等于( )
A．4 B．5 C．7 D．8
【答案】A
【解析】 因为椭圆eq \f(x2,10－m)＋eq \f(y2,m－2)＝1，焦点在x轴上，2c＝4，则(10－m)－(m－2)＝c2＝4，解得m＝4.
15．已知双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1上一点M到右焦点F1的距离为6，N为MF1的中点，O为坐标原点，则|ON|＝( )
A．8 B．6 C．7 D．9
【答案】C
【解析】 本题运用了数形结合的思想方法．如图，连接MF2，由双曲线的定义知MF2＝8＋6＝14，因为O为F1F2的中点，N为MF1的中点，所以ON∥MF2，ON＝eq \f(1,2)MF2＝7.
第15题图
16．过点A(－1，m)，B(m，6)的直线与直线x－2y＋1＝0垂直，则m的值为( )
A．－6 B．－8 C．－9 D．0
【答案】B
【解析】 根据题意，两直线垂直，设两条直线的斜率分别为k1、k2，则k1·k2＝－1，k1＝eq \f(6－m,m＋1)，k2＝eq \f(1,2)，故k1·k2＝eq \f(6－m,m＋1)·eq \f(1,2)＝－1，解得m＝－8，故选B.
17．抛物线的顶点在原点，以一坐标轴为对称轴，且经过点(2，4)，则抛物线的方程是( )
A．y2＝8x B．x2＝y C．y2＝－8x D．y2＝8x或x2＝y
【答案】D
【解析】 抛物线要经过点(2，4)，则需要分类讨论，若抛物线方程为y2＝2px，代入点(2，4)解得p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x；若抛物线方程为x2＝2py，代入点(2，4)解得p＝eq \f(1,2)，所以抛物线方程为x2＝y.
18．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则该点的横坐标可能为( )
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【解析】 如图eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MA))＝10，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MB))＝6，∴可设M坐标(10－eq \f(p,2)，±6)代入抛物线方程：36＝2p(10－eq \f(p,2))⇔p2－20p＋36＝0⇔p＝2或18，当p＝2时，M横坐标为9.
第18题图
19．已知双曲线C的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程是( )
A.eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)＝1 B.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,20)＝1 C.eq \f(x2,80)－eq \f(y2,20)＝1 D.eq \f(x2,20)－eq \f(y2,80)＝1
【答案】A
【解析】 2c＝10，c＝5，点P(2，1)在C的渐近线上，∴b∶a＝1∶2，a＝2b，a2＋b2＝c2＝25，∴a2＝20，b2＝5.
20．方程eq \f(x2,ka2)＋eq \f(y2,kb2)＝1(a>b>0，k>0且k≠1)与方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>b>0))表示椭圆，那么它们( )
A．有相同的离心率 B．有共同的焦点
C．有等长的短轴、长轴 D．有相同的顶点
【答案】A
【解析】 椭圆eq \f(x2,ka2)＋eq \f(y2,kb2)＝1(a＞b＞0，k＞0且k≠1)中，e1＝eq \r(\f(ka2－kb2,ka2))＝eq \r(\f(a2－b2,a2))，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中，e2＝eq \r(\f(a2－b2,a2)).
二、 填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)
21．若直线ax－y＋1＝0和直线2x＋by－1＝0垂直，则a，b满足的关系为__________．
【答案】2a＝b
【解析】 根据题意可得(－eq \f(2,b))·a＝－1，解得2a＝b.
在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2，1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是______________．
【答案】y2＝5x
【解析】 ∵kOA＝eq \f(1,2)，∴OA垂直平分线斜率k＝－2，OA中点为(1，eq \f(1,2))，∴OA中垂线方程：y－eq \f(1,2)＝－2(x－1)⇔y＝－2x＋eq \f(5,2).当y＝0时，x＝eq \f(5,4)，∴抛物线焦点(eq \f(5,4)，0)，方程为y2＝5x.
抛物线y2＝4x上求一点，使该点到焦点和到点(4，3)的距离之和最小，则该点的坐标是____________．
【答案】(eq \f(9,4)，3)
【解析】 抛物线的定义，抛物线上一点到焦点的距离和与到准线的距离相等，即到准线和到点(4，3)的距离之和最小，根据两点之间线段最小可得，纵坐标为3，横坐标为eq \f(9,4)，∴坐标为(eq \f(9,4)，3)．
第23题图
已知双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x－2y＝0，则它的离心率为____________．
【答案】eq \r(5)
【解析】 因为双曲线焦点在y轴上，渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x，由题知x－2y＝0得y＝eq \f(1,2)x，所以b＝2a，c2＝a2＋b2＝5a2，故e＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(5).
直线被抛物线y2＝8x截得的弦长AB为16，则弦AB的中点M到y轴的最短距离为____________．
【答案】6
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，结合定义可得弦AB的中点M到y轴的距离最短，则弦AB过焦点．y2＝8x，焦点(2，0)，准线x＝－2，AB的长为16，则x1＋2＋x2＋2＝16，x1＋x2＝12，则中点M到y轴的距离为eq \f(（x1＋x2）,2)＝6.
过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为____________．
【答案】2eq \r(3)
【解析】 如图所示，直线方程为eq \r(3)x－y＝0，设圆的圆心为A，则点A的坐标为(0，2)，半径为2，过圆心A作直线的垂线，垂足为B，则圆心到直线的距离d＝AB＝1，所以OB＝eq \r(3)，所以截得弦长为2eq \r(3).
第26题图
与圆x2＋y2－4y＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线有______________条．(填数字)
【答案】3
【解析】 圆方程可化为x2＋(y－2)2＝2，圆心(0，2)，r＝eq \r(2)，由图可知，△AMO是等腰直角三角形，所以符合条件的切线是3条．
第27题图
三、解答题(本大题共9小题，共74分)
28．(7分)求经过两条直线2x－3y＋1＝0和x＋y－2＝0的交点，且与直线3x－2y＋4＝0垂直的直线方程．
【解】 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－3y＋1＝0,x＋y－2＝0))⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝1))，可设所求直线为2x＋3y＋c＝0代入(1，1)得c＝
－5，所求直线方程为2x＋3y－5＝0.
29．(7分)已知双曲线的渐近线的方程为y＝±eq \r(3)x，且和椭圆eq \f(x2,52)＋eq \f(y2,32)＝1共焦点，求双曲线的方程及离心率．
【解】 椭圆中，a1＝5，b1＝3，则c1＝eq \r(aeq \\al(2,1)－beq \\al(2,1))＝4，焦点为(±4，0)，又∵双曲线的渐近线为y＝±eq \r(3)x，则可设双曲线方程x2－eq \f(y2,3)＝k，即eq \f(x2,k)－eq \f(y2,3k)＝1(k＞0)，c2＝eq \r(aeq \\al(2,2)＋beq \\al(2,2))＝2eq \r(k)，由c1＝c2得，2eq \r(k)＝4，k＝4，∴双曲线方程：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1，离心率e＝eq \f(c,a)＝2.
30．(8分)求以两条直线l1：3x＋2y＋1＝0，l2：5x－3y－11＝0的交点为圆心，且与直线3x＋4y－20＝0的相切的圆的方程．
【解】 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋2y＋1＝0,5x－3y－11＝0))，解得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝－2))，故圆的圆心为(1，－2)，
圆心到直线3x＋4y－20＝0的距离d＝eq \f(|3×1＋4×（－2）－20|,\r(32＋42))＝5，圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25.
31．(8分)已知椭圆的长轴为4，且以双曲线eq \f(x2,2)－y2＝1的顶点为椭圆的焦点，一直线与椭圆相交于A、B两点，弦AB的中点坐标是(1，1)，求：
(1)椭圆的标准方程；
(2)弦AB的长．
31．【解】 (1)由题意，在椭圆中a＝2，c＝eq \r(2)，b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(2)，焦点在x轴上，
∴椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.
(2)可设，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,1),4)＋\f(yeq \\al(2,1),2)＝1（1）,\f(xeq \\al(2,2),4)＋\f(yeq \\al(2,2),2)＝1（2）))，(1)－(2)得：
eq \f(（x1－x2）（x1＋x2）,4)＋eq \f(（y1－y2）（y1＋y2）,2)＝0⇒eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(1,2)×eq \f(x1＋x2,y1＋y2)，
又∵AB中点是(1，1)，∴x1＋x2＝y1＋y2＝2，∴eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(1,2)，即k＝－eq \f(1,2)，
所以直线为y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(3,2)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－\f(1,2)x＋\f(3,2),\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1))，得3x2－6x＋1＝0，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝eq \f(\r(Δ),|a|)·eq \r(1＋k2)＝eq \f(2\r(6),3)×eq \r(1＋\f(1,4))＝eq \f(\r(30),3).
32．(9分)若直线y＝x＋m与椭圆4x2＋y2＝4相交于A、B两点．
(1)求实数m的取值范围；
(2)求弦AB的中点P的轨迹方程．
【解】 (1)联立方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋m,4x2＋y2＝4))，得5x2＋2mx＋m2－4＝0，Δ＝4m2－4×5(m2－4)＞0，
∴－eq \r(5)0)，2a＝|PF1|＋|PF2|＝eq \r(（1－1）2＋（\f(3,2)－0）2)＋eq \r([1－（－1）]2＋（\f(3,2)－0）2)
＝eq \f(3,2)＋eq \f(5,2)＝4，∴a＝2.则a2＝b2＋c2⇒b2＝3，∴所求椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，由题意得a＝1，c＝2，b2＝3，∴所求双曲线方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.