高中第六章 概率1 随机事件的条件概率1.1 条件概率的概念精练

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1．某班学生的考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(3,10)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,5)
2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D．1
3．从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则P(B|A)＝( )
A.eq \f(3,8) B.eq \f(13,40)
C.eq \f(13,45) D.eq \f(3,4)
4．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是( )
A．0.72 B．0.8
C.eq \f(8,9) D．0.9
5．根据以往数据统计，某酒店一商务房间1天有客人入住的概率为eq \f(4,5)，连续2天有客人入住的概率为eq \f(3,5)，在该房间第一天有客人入住的条件下，第二天也有客人入住的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(3,5) D.eq \f(3,4)
6．某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生，从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
7．已知P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.
8．某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为eq \f(1,2)，两次闭合后都出现红灯的概率为eq \f(1,5)，则在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合后出现红灯的概率为_______________________________．
9．某种元件用满6 000小时未坏的概率是eq \f(3,4)，用满10 000小时未坏的概率是eq \f(1,2)，现有一个此种元件，已经用过6 000小时未坏，则它能用到10 000小时的概率为________．
10．已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个．
(1)若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率；
(2)若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率．
[提能力]
11．甲、乙、丙3位大学毕业生去4个工厂实习，每位毕业生只能选择一个工厂实习，设“3位大学毕业生去的工厂各不相同”为事件A，“甲独自去一个工厂实习”为事件B，则P(A|B)＝( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(3,4) D.eq \f(5,8)
12．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10 000次后还能继续使用的概率是0.80，开关了15 000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是( )
A．0.75 B．0.60
C．0.48 D．0.20
13．抛掷骰子2次，每次结果用(x1，x2)表示，其中x1、x2分别表示第一、二次骰子的点数．若设A＝{(x1，x2)|x1＋x2＝10}，B＝{(x1，x2)|x1>x2}，则P(B|A)＝________.
14．某校高二(1)班有学生56人，其中篮球爱好者25人．全班分成4个小组，第一组有学生16人，其中篮球爱好者7人．从该班任选一人作学生代表．①选到的是第一组的学生的概率是________；②已知选到的是篮球爱好者，他是第一组学生的概率是________．
15．甲、乙两个袋子中，各放有大小、形状和个数相同的小球若干．每个袋子中标号为0的小球为1个，标号为1的2个，标号为2的n个．从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是eq \f(1,10).
(1)求n的值；
(2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1的条件下，求另一个标号也是1的概率．
[培优生]
16．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中的5道题就获得优秀，已知某考生能答对其中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
课时作业(四十三)
1．解析：设A为事件“数学不及格”，B为事件“语文不及格”，P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)＝eq \f(0.03,0.15)＝eq \f(1,5).所以数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为eq \f(1,5).
答案：A
2．解析：因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是eq \f(1,3).
答案：B
3．解析：由题意P(A)＝eq \f(5,9)事件A∩B为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有2×2＋3×3＝13个事件，
P(A∩B)＝eq \f(13,9×8)＝eq \f(13,72)，
由条件概率的定义：P(B|A)＝eq \f(P（A∩B）,P（A）)＝eq \f(13,40).
答案：B
4．解析：设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，并成活而成长为幼苗)，则P(A)＝0.9，又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.
答案：A
5．解析：设第二天也有客人入住的概率为P，根据题意有eq \f(4,5)·P＝eq \f(3,5)，解得P＝eq \f(3,4).
答案：D
6．解析：记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B.P(A)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) )＝eq \f(1,2)，P(AB)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) )＝eq \f(1,5)，故P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（B）)＝eq \f(2,5).
答案：B
7．解析：P(A|B)＝eq \f(P（AB）,P（B）)＝eq \f(0.12,0.18)＝eq \f(2,3)；P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)＝eq \f(0.12,0.2)＝eq \f(3,5).
答案：eq \f(2,3) eq \f(3,5)
8．解析：记“第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B，则P(A)＝eq \f(1,2)，P(AB)＝eq \f(1,5)，故在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合后出现红灯的概率为P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)＝eq \f(2,5).
答案：eq \f(2,5)
9．解析：设“用满6000小时未坏”为事件A，“用满10000小时未坏”为事件B，则P(A)＝eq \f(3,4)，P(AB)＝P(B)＝eq \f(1,2)，故P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)＝eq \f(\f(1,2),\f(3,4))＝eq \f(2,3).
答案：eq \f(2,3)
10．解析：(1)两次都取得白球的概率P＝eq \f(2,6)×eq \f(2,6)＝eq \f(1,9)；
(2)记事件A：第一次取出的是红球；事件B：第二次取出的是红球，
则P(A)＝eq \f(4×5,6×5)＝eq \f(2,3)，P(AB)＝eq \f(4×3,6×5)＝eq \f(2,5)，
利用条件概率的计算公式，可得P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,2)＝eq \f(3,5).
11．解析：“甲独自去一个工厂实习”为事件B，事件B包含的基本事件有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ×32＝36，“3位大学毕业生去的工厂各不相同”为事件A，事件A包含的基本事件有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ＝24，P(A|B)＝eq \f(24,36)＝eq \f(2,3).
答案：A
12．解析：记“开关了10000次后还能继续使用”为事件A，记“开关了15000次后还能继续使用”为事件B，根据题意，易得P(A)＝0.80，P(B)＝0.60，则P(AB)＝0.60，由条件概率的计算方法，可得P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)＝eq \f(0.60,0.80)＝0.75.
答案：A
13．解析：P(A)＝eq \f(3,36)＝eq \f(1,12)，P(AB)＝eq \f(1,36)，∴P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)＝eq \f(\f(1,36),\f(1,12))＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
14．解析：设事件B表示“选到第一组学生”，事件A表示“选到篮球爱好者”．①根据古典概型概率的计算公式可得P(B)＝eq \f(16,56)＝eq \f(2,7)；②要求的是在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率P(B|A).不难理解，在事件A发生的条件下(即以选到的学生是篮球爱好者为前提)，有25种不同的选择，其中属于第一组的有7种选择，因此，P(B|A)＝eq \f(7,25).
答案：①eq \f(2,7) ②eq \f(7,25)
15．解析：(1)由题意得：eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n＋3)) )＝eq \f(n（n－1）,（n＋3）（n＋2）)＝eq \f(1,10)，解得n＝2.
(2)记“其中一个标号是1”为事件A，“另一个标号是1”为事件B，所以P(B|A)＝eq \f(n（AB）,n（A）)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) －C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) )＝eq \f(1,7).
16．解析：设D为“该考生在这次考试中通过”，则事件D包含事件A＝{该考生6道题全答对}，事件B＝{该考生6道题中恰答对5道}，事件C＝{该考生6道题中恰答对4道}．设E＝{该考生获得优秀}，由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(10)) ,C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(20)) )＋eq \f(C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(10)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(10)) ,C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(20)) )＋eq \f(C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(10)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) ,C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(20)) )，P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，
P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝eq \f(\f(C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(10)) ,C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(20)) ),\f(C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(10)) ＋C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(10)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(10)) ＋C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(10)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) ,C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(20)) ))＋eq \f(\f(C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(10)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(10)) ,C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(20)) ),\f(C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(10)) ＋C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(10)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(10)) ＋C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(10)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) ,C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(20)) ))＝eq \f(13,58).
故所求的概率为eq \f(13,58).