数学选择性必修 第一册4.2 超几何分布课时训练

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1．[多选题]一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是( )
A．X表示取出的最大号码
B．X表示取出的最小号码
C．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分
D．X表示取出的黑球个数
2．已知在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率等于eq \f(C\\al(4,7)·C\\al(6,8),C\\al(10,15))的是( )
A．P(X＝2) B．P(X≤2)
C．P(X＝4) D．P(X≤4)
3．一批产品共有50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽取2件，其中出现次品的概率是( )
A.eq \f(44,245) B.eq \f(9,49)
C.eq \f(46,245) D.eq \f(47,245)
4．有8名学生，其中有5名男生．从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X，则其数学期望EX＝( )
A．2 B．2.5
C．3 D．3.5
5．在一次抽奖中，一个箱子里有编号为1至10的10个号码球(球的大小、质地完全相同，但编号不同)，其中有n个号码为中奖号码，若从中任意取出4个号码球，其中恰有1个中奖号码的概率为eq \f(8,21)，则这10个小球中，中奖号码球的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
6．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)等于( )
A.eq \f(7,15) B.eq \f(8,15)
C.eq \f(14,15) D．1
7．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝________.
8．已知一盒子中有围棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子．任意取出2粒，若X表示取得白子的个数，则X的均值EX＝________.
9．某学校从4名男生和2名女生中任选3人作为参加两会的志愿者，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则P(X≤1)＝________.
10．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布．
(2)他能及格的概率．
[提能力]
11．在10个排球中有6个正品，4个次品．从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为( )
A.eq \f(5,42) B.eq \f(4,35)
C.eq \f(19,42) D.eq \f(8,21)
12．某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于eq \f(6,7)的是( )
A．至少有1个深度贫困村
B．有1个或2个深度贫困村
C．有2个或3个深度贫困村
D．恰有2个深度贫困村
13．李明参加中央电视台《同一首歌》大会的青年志愿者选拔，在已知备选的10道题中，李明能答对其中的6道，规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．则李明入选的概率为________．
14．口袋内装有10个大小相同的球，其中5个球标有数字0,5个球标有数字1，若从口袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是________(用数字作答)．
15．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
[培优生]
16．甲、乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是eq \f(4,5)，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选．
(1)求甲恰有2个题目答对的概率．
(2)求乙答对的题目数X的分布列．
(3)试比较甲，乙两人平均答对的题目数的大小，并说明理由．
课时作业(五十)
1．解析：由超几何分布的概念知CD符合．
答案：CD
2．解析：X服从超几何分布，则P(X＝4)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(7)) C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(8)) ,C eq \\al(\s\up1(10),\s\d1(15)) )，故选C.
答案：C
3．解析：方法一 任意抽取的2件产品中次品数X服从超几何分布，其中P(X＝1)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(45)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(50)) )＝eq \f(9,49)，P(X＝2)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(45)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(50)) )＝eq \f(2,245)，因此出现次品的概率为P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq \f(47,245).
方法二 任意抽取的2件产品中次品数X服从超几何分布，其中P(X＝0)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(45)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(50)) )，故所求概率为P＝1－P(X＝0)＝1－eq \f(C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(45)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(50)) )＝eq \f(47,245).故选D.
答案：D
4．解析：随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X＝k)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(4－k),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(8)) )(k＝1，2，3，4).
所以，随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望EX＝1×eq \f(1,14)＋2×eq \f(3,7)＋3×eq \f(3,7)＋4×eq \f(1,14)＝eq \f(5,2)，故选B.
答案：B
5．解析：由题意，可得eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10－n)) ,C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(10)) )＝eq \f(8,21)，∴n(10－n)(9－n)(8－n)＝480，将选项中的值代入检验，知选C.
答案：C
6．解析：由题意，知X取0，1，2，X服从超几何分布，
它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，
即P(X＝0)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) )＝eq \f(7,15)，P(X＝1)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(7)) ·C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) )＝eq \f(7,15)，P(X＝2)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) )＝eq \f(1,15)，
于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq \f(7,15)＋eq \f(7,15)＝eq \f(14,15).
答案：C
7．解析：X满足超几何分布，所以P(X＝2)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ,C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(10)) )＝eq \f(3,10).
答案：eq \f(3,10)
8．解析：方法一 随机变量X的取值为0，1，2，则P(X＝0)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) )＝eq \f(7,15)，P(X＝1)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(7)) ·C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) )＝eq \f(7,15)，P(X＝2)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) )＝eq \f(1,15).
∴EX＝0×eq \f(7,15)＋1×eq \f(7,15)＋2×eq \f(1,15)＝eq \f(3,5).
方法二 由题意知，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝2，则由超几何分布的均值公式和方差公式知EX＝eq \f(nM,N)＝eq \f(2×3,10)＝eq \f(3,5).
答案：eq \f(3,5)
9．解析：由题意可知X的可能取值为0，1，2，且X服从超几何分布，
即P(X＝k)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(3－k),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) )，k＝0，1，2，
所以P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) )＋eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) )＝eq \f(1,5)＋eq \f(3,5)＝eq \f(4,5).
答案：eq \f(4,5)
10．解析：(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，
则P(X＝r)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(3－r),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) )(r＝0，1，2，3).
所以P(X＝0)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) )＝eq \f(1,30)，
P(X＝1)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) )＝eq \f(3,10)，
P(X＝2)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) )＝eq \f(1,2)，
P(X＝3)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) )＝eq \f(1,6).
所以X的概率分布为
(2)能及格的概率为：P(ξ≥2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,6)＝eq \f(2,3).
11．解析：正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，
由超几何分布的概率可知，当0个正品4个次品时P＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(10)) )＝eq \f(1,210)，
当1个正品3个次品时P＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(10)) )＝eq \f(24,210)＝eq \f(4,35)，
所以正品数比次品数少的概率为eq \f(1,210)＋eq \f(4,35)＝eq \f(5,42).
答案：A
12．解析：用X表示这3个村庄中深度贫困村数，X服从超几何分布，
故P(X＝k)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(3－k),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) )，
所以P(X＝0)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) )＝eq \f(4,35)，
P(X＝1)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) )＝eq \f(18,35)，
P(X＝2)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) )＝eq \f(12,35)，
P(X＝3)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) )＝eq \f(1,35)，
P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq \f(6,7).
答案：B
13．解析：设所选3题中李明能答对的题数为X，则X服从参数为N＝10，M＝6，n＝3的超几何分布，且P(X＝k)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(3－k),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) )(k＝0，1，2，3)，
故所求概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) )＋eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) )＝eq \f(60,120)＋eq \f(20,120)＝eq \f(2,3).
答案：eq \f(2,3)
14．解析：设摸出标有数字1的球的个数为X，则所求的概率为：1－P(X＝2)－P(X＝3)＝1－eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ,C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(10)) )－eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ,C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(10)) )＝1－eq \f(50,63)＝eq \f(13,63).
答案：eq \f(13,63)
15．解析：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则
P(A)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ·C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ＋C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(3)) ·C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) )＝eq \f(49,60).
故选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为eq \f(49,60).
(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.
P(X＝k)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(4)) ·C eq \\al(\s\up1(3－k),\s\d1(6)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) )(k＝0，1，2，3).
随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望EX＝0×eq \f(1,6)＋1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,30)＝eq \f(6,5).
16．解析：(1)∵在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是eq \f(4,5)，
∴选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率
P＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))eq \s\up12(2)＝eq \f(96,625).
(2)由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2，3，4，且P(X＝2)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(8)) ,C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(10)) )＝eq \f(28,210)＝eq \f(2,15)，P(X＝3)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(8)) ,C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(10)) )＝eq \f(112,210)＝eq \f(8,15)，
P(X＝4)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(8)) ,C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(10)) )＝eq \f(70,210)＝eq \f(1,3)，
∴X的分布列为
(3)由(2)知乙平均答对的题目数EX＝2×eq \f(2,15)＋3×eq \f(8,15)＋4×eq \f(1,3)＝eq \f(16,5)，
甲答对题目数Y～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(4,5)))，
甲平均答对的题目数EY＝4×eq \f(4,5)＝eq \f(16,5).
∴甲、乙两人平均答对的题目数相同．
X
1
2
3
4
P
eq \f(1,14)
eq \f(3,7)
eq \f(3,7)
eq \f(1,14)
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,30)
eq \f(3,10)
eq \f(1,2)
eq \f(1,6)
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,2)
eq \f(3,10)
eq \f(1,30)
X
2
3
4
P
eq \f(2,15)
eq \f(8,15)
eq \f(1,3)