第六章 立体几何初步（B卷·知识通关练）-2023-2024学年高一数学分层专题训练（北师大版必修第二册）

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（时间：120 分钟，满分：150 分）
一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的。）
1．（2023春·高一单元测试）下列命题正确的是（ ）
A．三个点可以确定一个平面B．长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体
C．一条直线和一个点可以确定一个平面D．两条直线可以确定一个平面
2．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知a，b，l是直线，α是平面，若a// α，b⊂α，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2023春·广东广州·高一广州市第二中学校考期中）如图，用斜二测画法所画的一个平面图形的直观图是一个边长为a的正方形O'A'B'C'，则原平面图形的周长为（ ）
A．10aB．8aC．6aD．4a
4．（2023春·高一单元测试）设m，n是两条异面直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．过m且与n垂直的平面有且只有一个
B．过m且与n平行的平面有且只有一个
C．过空间一点P与m，n都平行的平面有且只有一个
D．过空间一点P与m，n都垂直的平面有且只有一个
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=3，AB=2，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为（ ）
A．713B．513C．57D．37
6．（2023春·江苏淮安·高一淮阴中学校考期中）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别为AC，A1B的中点，下列说法中不正确的是（ ）
A．MN//平面ADD1A1B．MN⊥AB
C．MN与CC1所成角为45°D．MN⊥平面ACD1
7．（2023·天津和平·耀华中学校考一模）在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体ABCDEF为“刍甍”，书中描述了刍甍的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即V=16(2AB+EF)⋅AD⋅h，其中h是刍甍的高，即点F到平面ABCD的距离.若底面ABCD是边长为4的正方形，EF=2且EF//平面ABCD，△ADE和△BCF是等腰三角形，∠AED=∠BFC=90°，则该刍甍的体积为（ ）
A．2023B．2033C．103D．403
8．（2022秋·河南漯河·高二校考期末）如图，已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，给出下列结论：
①异面直线AP与DD1所成的角范围为π3,π2；
②平面PBD1⊥平面A1C1D；
③点P到平面A1C1D的距离为定值233；
④存在一点P，使得直线AP与平面BCC1B1所成的角为π3．其中正确的结论是（ ）．
A．①②B．①③C．②③D．③④
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．（2023春·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知空间中三条不同的直线a，b，c，三个不同的平面α，β，γ，则下列说法正确的是（ ）
A．若a∥b，a⊂α，b⊄α，则b∥α
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若α⊥β，a⊄α，a⊥β，则a//α
D．α∩β=a，β∩γ=b，α∩γ=c，则a∥b∥c
10．（2023·高一课时练习）如图AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于A，B点），直线PA垂直于圆所在的平面，点M为线段PB的中点，则以下四个命题正确的是（ ）
A．PB⊥ACB．OC⊥平面PAB
C．MO∥平面PACD．平面PAC⊥平面PBC
11．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知AB为圆锥SO底面圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的一点，N为SA的中点，SA=5，圆锥SO的侧面积为15π，则下列说法正确的是（ ）
A．圆O上存在点M使MN//平面SBC
B．圆O上存在点M使AM⊥平面SBC
C．圆锥SO的外接球表面积为625π32
D．棱长为6的正四面体在圆锥SO内可以任意转动
12．（2023春·浙江杭州·高一杭师大附中校考期中）E、F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上两点，下列说法正确的是（ ）
A．直线BD1⊥平面A1C1D
B．平面A1C1D与底面ABCD的交线平行于A1C1
C．平面B1EF与平面A1B1C1D1所成的锐二面角大小为60°
D．直线D1B1与平面B1EF所成的角为30°
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（2023春·四川德阳·高一四川省德阳中学校校考阶段练习）已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，若该圆台的侧面积为72π，则其母线长为__________.
14．（2023·青海西宁·统考一模）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2,AA1=6，D为B1B的中点，则A1B与C1D所成角的余弦值为______.
15．（2023·全国·高一专题练习）如图，正三棱锥A-BCD中，∠BAD=20°，侧棱长为4，过点C的平面与侧棱AB，AD相交于B1,D1，则△CB1D1的周长的最小值为______．
16．（2023春·广东深圳·高一翠园中学校考期中）设A，B，C，D是同一个半径为5的球的球面上四点，AB=AC=3，BC=33，则三棱锥D-ABC体积的最大值为___________.
四、解答题（本题共6小题，共70分。）
17．（2023春·高一单元测试）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=AD， E，F分别是棱PC，PD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥AB；
（Ⅱ）求证：AF⊥平面PCD.
18．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）如图，已知三角形P'AB是等腰三角形，P'A=AB=2，P'A⊥AB，C，D分别为P'B，P'A的中点，将△P'CD沿CD折到△PCD的位置如图2，且PA=2，取线段PB的中点为E.
(1)求证：CE//平面PAD；
(2)求点B到面ACE的距离.
19．（2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=CC1=2,AB⊥BC.

(1)求证：AC1⊥B1C；
(2)求B1C与平面AA1C1C所成的角的大小.
20．（2023·全国·高三专题练习）如图，点C在直径为AB的半圆O上，CD垂直于半圆O所在的平面，BC//平面ADE．且CD//BE．
(1)证明：平面ADE⊥平面ACD
(2)若AC=1，AB=5，异面直线AD与BE所成的角是45°，求三棱锥A-BCE的外接球的表面积
21．（2023春·天津武清·高一天津英华国际学校校考阶段练习）如图，在圆锥PO中，已知PO⊥底面⊙O，PO=2，⊙O的直径AB=2，C是AB的中点，D为AC的中点.
(1)证明：平面POD⊥平面PAC；
(2)求三棱锥D-PBC的体积；
(3)求二面角B-PA-C的余弦值.
22．（2023春·高一单元测试）如图，在△ABC中，O是BC的中点，AB=AC,AO=2OC=2.将△BAO沿AO折起，使B点移至图中B'点位置．
(1)求证：AO⊥平面B'OC；
(2)当三棱锥B'－AOC的体积取最大时，求二面角A-B'C-O的余弦值；
(3)在（2）的条件下，试问在线段B'A上是否存在一点P，使CP与平面B'OA所成的角的正弦值为53？证明你的结论，并求AP的长．